從數學本質中提高課堂效率

陶方雙

摘要：如何提高高三數學復習課的效率，讓學生減少重復低效的勞動而又有所收獲，成為廣大數學教師探討和研究的熱點話題。

關鍵詞：數學本質；課堂；效率

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）07-0118

一、引言

目前高三數學復習課的情形正如章建躍所言：“大量數學教師在課堂上沒有抓住數學概念的核心進行教學，學生經常在沒有對數學概念和思想方法有基本了解的情況下就盲目進行大量解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領，學生花費大量時間學數學，完成無數次的解題訓練，但他們的數學基礎仍非常脆弱。”本文以高考中的幾個熱點知識和概念為例，淺談如何對核心概念進行的復習，并構建一堂高效的數學復習課。

案例1：《平面向量基本定理的復習》筆者以2016年杭州第一次模擬卷中的試題為引題：

設O是△ABC的內心，AB=c，AC=b，若 =λ1 +λ2 ，則（ ）

A. = B. =

C. = D. =

分析：此題信息較集中，學生不容易找到突破點因而此題得分率較低。而部分教師在做試卷分析時還美其名曰此題需要用三角形內心性質：a +b +a = ，也有教師建議用特殊值法處理：∠A=90°，b=4，c=3等方法。用三角形內心的向量表達式能快速解題，然而這些都增加了學生負擔；用特殊值法解題能快速得到答案，然而學生知其然而不知其所以然。解題過程過于注重技巧，淡化對概念的理解，忽視對蘊含其中的核心數學思想方法的揭示，從而使整個講解顯得立意不高，學生的思維能力沒有得到實在性發展，這種舍本逐末的做法結果往往事倍功半。

教師引導：“O是△ABC的內心”解讀為O是三角形角平分線的交點；向量方程 =λ1 +λ2 本質是平面向量基本定理的內容。基本定理從形上表示的內容是λ1 ，λ2 為鄰邊 為對角線的平行四邊形，結合 為∠A的角平分線，所以所做平行四邊形為菱形，即λ1 =λ2 ，所以答案選C。平面向量基本定理的內容是平面任意向量都可以由兩個不共線向量線性表示且表示唯一，然而我們應該更深刻地知道平面向量基本定理體現的幾何意義及應用。筆者以此為契機拋出幾道變式題：

變式1：點P為△ABC所在平面內一點，且滿足 = + ，則S△APB∶S△APC等于______。

設計意圖：強化平面向量基本定理的幾何屬性，加深對向量數與形兩方面特征的理解。

變式2：在△ABC中，已知 · =9，sinB=cosA·sinC，S△ABC=6，且P為線段AB上的點，且 =x +y ，則xy的最大值為__________。

設計意圖：平面向量基本定理 =x +y 中若 ⊥ ，且 ， 為單位向量，此時x，y具有坐標的內涵。

變式3：已知O是△ABC內心，若 = + ，則cos∠BAC________。

設計意圖：進一步深入理解基本定理，當 =x +y 且x+y=1時，A，B，C具有共線特征。適當調節系數，可以構造三點共線簡化問題的解決。 = + = = （ ）+ = （ ）+ ，其中D為AB中點。

高考數學命題重視核心數學知識，強調重要的數學思想和方法，要求考生不但要知其然，更要知其所以然；通過引例的分析使學生知道問題本質，從而以不變應萬變；通過變式題組，引導學生遇到問題回歸基本概念，基本方法。

二、核心概念教學及提高課堂教學效率的幾點思考

1. 研讀校本，研究概念

要讓學生輕松而高效地學習，除了不搞題海戰術，更要正本清源，不論是新授課還是復習課都需要對基本概念、基本定理和核心知識中所包含的數學思想方法給予足夠的重視。然而當下許多教師對概念解讀不到位，流于表面，導致講不透的現象屢見不鮮。如在圓錐曲線中弦長公式的講解，講弦長必是直線與圓錐曲線交于兩點A，B，則AB= ，久而久之學生碰到如直線與圓錐曲線交于兩點，但卻要解決AP（P直線與x或y的交點）相關問題，只能束手無策。 事實上，設直線l：y=kx+b上存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2）則

AB= = x1-x2

或AB= y1-y2

這個公式本質是兩點間距離公式，不妨稱為直線上兩點距離。只要是處理直線上兩點的距離問題都可用此公式，那么當學生再次碰到形如2011年浙江省填空題17題或焦半經相關問題時，將不會束手無策或者因為方法不好導致計算量太大而無功而返或者抱怨沒學好焦半經公式而后悔懊惱。

2. 合理設計，層層推進

教師在教學過程中要精心設計問題，鼓勵和引導學生去自主探索、動手實踐等等學習方式，充分發揮學生學習的主觀能動性，使學生的學習過程變為在教師引導下的“再創造”過程。

教師理解再透徹如果沒有好的教學設計，只能讓學生有“老師好厲害，這個證明真神……”等感嘆。波利亞曾說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入完整的理論領域。”這說明了例題選取的重要性。典型的例題能反映高中數學的核心概念和思想方法，能進行知識間的內在聯系，能以點帶面可以通過類比聯想的方式遷移發散。因此要構建高效課堂，使學生跳出題海，就必須精選例題，用盡量少的例題將考綱要求的知識、方法和思想呈現給學生。

3. 放慢腳步，把課堂真正還給學生

高三復習時間緊任務重，有的教師為了追求教學內容的完整性，課堂教學猶如行云流水，一氣呵成；在一些難點問題上，教師“舍不得”在課堂上花時間探究，以自己的經驗代替學生的思考；在一些大運算量問題前總以“同學們課后自己算下”的方式處理；這種脫離“以生為本”的教學方式，只能使學生的思維發展停滯不前，打擊學生的學習積極性和學習信心。這種動腦思考和動手實踐的過程性的缺失，是課后再多練習也無法彌補的。如解析幾何中的計算，在問題解決思路清晰后，再復雜的計算也要留給學生自己處理，有目的地在課堂安排大運算量的訓練，能促進學生運算規劃意識、提高綜合運算能力，更能磨煉學生意志等人格品質。這也是學科素養培養的有效途徑。

高中數學新課標指出：“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐等學習數學的方式，這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造過程。”總之，讓學生及時體驗到復習中的成功和快樂，在復習中不僅學會知識，而且學會學習，才能使數學復習課堂教學收到最大效益。

參考文獻：

[1] 展國培.核心概念后續教學的聚焦點：聯系、方法、思想[J].中學數學教學參考，2016（11）.

[2] 孫 衛.重視核心知識點的探究，提升高三專題復習深度[J].中學數學研究，2013（1）.

（作者單位：浙江省泰順中學 325500）