如何輕松應(yīng)對(duì)初二數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題

李莉珍

【內(nèi)容摘要】動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考的熱點(diǎn)，究其原因，它的開放性充分展示了學(xué)生對(duì)于多種數(shù)學(xué)思想方法和所學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理，解題關(guān)鍵是“動(dòng)中求靜”。初中階段孩子正式接觸動(dòng)點(diǎn)問題是從初二的《勾股定理》開始的，在之后的《平行四邊形》中應(yīng)用更為廣泛，靈活應(yīng)對(duì)初二數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題能夠?yàn)橹锌紕?dòng)點(diǎn)問題的解決打下一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，不容忽視。

【關(guān)鍵詞】動(dòng)中求靜 數(shù)形結(jié)合 方程思想 轉(zhuǎn)化

課改之后數(shù)學(xué)考試中的數(shù)學(xué)壓軸題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展.這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的在于考察學(xué)生分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力等.從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（1）運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類討論思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等。而動(dòng)點(diǎn)問題恰好符合課改對(duì)學(xué)生的能力要求。所謂“動(dòng)點(diǎn)問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目。動(dòng)點(diǎn)問題中一般都會(huì)給出輔助的定點(diǎn)或定直線，找到動(dòng)點(diǎn)滿足的代數(shù)或幾何關(guān)系，解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

初二數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題主要是運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)結(jié)合存在性問題。題目中一般會(huì)給出運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度，我們首先需要根據(jù)“運(yùn)動(dòng)速度×?xí)r間=路程”來表示某些線段的長(zhǎng)。根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的位置可以將線段分為走過的（根據(jù)速度×?xí)r間來進(jìn)行表示）、剩下未走的（用動(dòng)點(diǎn)要運(yùn)動(dòng)的總路程-走過的）兩部分。題目往往會(huì)結(jié)合存在性問題出現(xiàn)，如：是否存在點(diǎn)P（及點(diǎn)Q）使得題目滿足一些什么結(jié)論或當(dāng)某些結(jié)論存在時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P（及點(diǎn)Q）的位置。此時(shí)解答可以把題目要求滿足的情況作為一個(gè)使用條件，使P（及點(diǎn)Q）恰在滿足要求的位置，然后結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行解答。下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析：

【例1】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=20cm，點(diǎn)P、Q分別是AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M以2cm/s的速度自A向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)以3cm/s的速度自D向C運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問：是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得四邊形AMCN是一個(gè)平行四邊形？

解析：此題綜合應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和判定，我們可以考慮利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定方法，采用數(shù)形結(jié)合、方程思想和轉(zhuǎn)化思想解決。由平行四邊形ABCD的對(duì)邊平行且相等可得CD=AB=20cm，CD∥AB，即AM∥CN。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，易得AM=2t，CQ=20-3t，依據(jù)題意，AM和CN相等即可，于是2t=20-3t，解得t=4。

除了以上常見的動(dòng)點(diǎn)類型之外，動(dòng)點(diǎn)定值問題也時(shí)有出現(xiàn)。下面我們來看一個(gè)例子：

【例2】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AH⊥BD于點(diǎn)H。E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)F，EG⊥BD于點(diǎn)G，請(qǐng)問：EF+EG是否隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？說明理由。

解析：此題可利用特殊位置（如當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處）先得到結(jié)論：EF+EG=AH，不會(huì)發(fā)生變化。本題涉及矩形等相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)。

動(dòng)點(diǎn)的題目類型很多，這里很難一一說明，解決動(dòng)點(diǎn)問題其實(shí)不難，一般一眼就可以知道符合題意的動(dòng)點(diǎn)的大概位置，只要在解答時(shí)多注意將代數(shù)和幾何知識(shí)結(jié)合，你就可以慢慢摸索出其中的一些規(guī)律。不管點(diǎn)怎么動(dòng)，只要抓住它停下來的那一刻，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)。解決動(dòng)點(diǎn)問題通常都是假設(shè)滿足條件的未知數(shù)為t（時(shí)間），用t表示題目中的線段。而且初二數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題常結(jié)合勾股定理、平行四邊形的問題來考察，所以要善于運(yùn)用勾股定理、特殊四邊形的性質(zhì)與判定。想要求出滿足條件的t值，需要列出方程；想要列出方程，就要善于利用已知條件、特殊四邊形里的邊角等量關(guān)系。動(dòng)點(diǎn)問題尤其注重學(xué)生對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查，從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。在圖形中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過程?？傊?，在變化中找到不變的性質(zhì)，即“動(dòng)中求靜”是解決數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)探究題的基本思路，這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【參考文獻(xiàn)】

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[2]陳東旭.金太陽導(dǎo)學(xué)案.數(shù)學(xué).八年級(jí).下[M].江西高校出版社.2013-12.

（作者單位：安徽省阜陽市潁上四中）