高等數學教學中的一題多解

【摘要】數學教學是數學思維活動的教學，除了掌握基本知識、基本技能外，還要培養學生的思維能力。不同的解題方法，可以培養學生不同的思維方式。本文通過一些典型問題的一題多解來培養學生的發散思維和創新精神，開闊解題思路，從而提高學生分析問題和解決問題的能力。

【關鍵詞】高等數學 一題多解 發散思維

【基金項目】陜西省教育廳科學研究項目（17JK0962）；陜西省職業技術教育學會2016 年度教育科研規劃課項目（SZJY-1657）；商洛職業技術學院2017 年度重大課題（2017JXKT06）。

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）27-0114-02

高等數學是大學里一門十分重要的公共基礎課程，但在實際教學中，很多學生的解題能力往往得不到提高，分析其原因主要就是學生解題思維得不到鍛煉，為了做題而做題，不能舉一反三。對同一道題，如果從不同的角度去分析，采用不同的處理方法，則可得到不同的解法，通過比較，可選擇最優的解法，這對培養學生分析問題，解決問題以及綜合運用知識的能力有極大的好處。為此，以下通過高等數學中幾個“一題多解”的例子，給出發散思維在高等數學中的應用。

1.重要極限的計算

例1 求極限 （1+ ）

解法1：當x=n（正整數）時，設數列u =（1+ ） ，只需證該數列是單調有界的即可。為此計算：

u =（1+ ） =1+n + + +…+

=1+1+ （1- ）+ （1- ）（1- ）+…+

（1- ）（1- ）+…+（1- ）

類似地可計算

un+1=（1+ ）n+1=1+1+ （1- ）+ （1- ）（1- ）+…+ （1- ）（1- ）+…+（1- ）+ （1- ）（1- ）…（1- ）

比較u 與u 的展開式，可知除前兩項外，u 中的每一項都小于u 中的對應項，且u 比u 多了最后的正數項。所以

u

把u 中每個括號內用1代替，則

u ≤1+1+ + +…+

≤1+1+ + + +…+

=1+ <1+ =3

即數列u 有界。從而知，當n→∞時，數列un=（1+ ） 的極限存在，其極限用e表示。

解法2：

（1+ ） = e = e =e

=e =e =e =e

2.函數的反常積分

例2 xe dx

解法1：

xe dx=- e d（-x ）=- e +∞-∞=- +∞-∞=0

解法2：設f（x）=xe ，則f（-x）=-xe ，f（-x）=-f（x）

所以f（x）是奇函數。

由f（x）是偶函數時 f（x）dx=2 f（x）dx，是奇函數時 f（x）dx=0得 xe dx=0

例3 dx

解法1：

dx= dx= t1= （- + ）=

解法2：

dx=- +c

dx= （- ）-（- ）=

解法3：

由當x≤1時， dx發散；當x>1時， dx= 得 dx= =

3.函數的定積分

例4 求定積分 dx

解法1：結合定積分的幾何意義，該定積分為由曲線 y= ，x=0，x=R及x軸所圍圖形的面積，即以R為半徑的四分之一圓的面積，故 dx= πR 。

解法2：令x=Rsint，則dx=Rcostdt，且當x=R時，t= ，于是：

dx= ·Rcostdt=R cos tdt=R dt=R （ t+ sin2t） 0= πR

高等數學中，能利用一題多解例子還有很多，在平時教學

中，教師要積極引導學生進行這方面的訓練，不僅能鞏固基本

知識，掌握基本技能技巧，而且有助于培養全面分析問題的能

力，培養具有靈活性和多向思維能力。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（六版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]崔宏志.高等數學[M].北京：機械出版社，2013.

[3]黃煒.經濟學[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]崔宏志.高等數學[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

作者簡介：

龔加安（1975-），男，陜西商州人，碩士，商洛職業技術學院副教授，研究方向：不確定性推理和數學教育教學。