正確獲取數據信息 培養學生的數學素養
——關于統計與概率中考題給出數據信息的基本方式

☉山東省沂南縣第四中學 李樹臣

☉山東省榮成第二實驗中學 王 華

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）指出“數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養”，十大“核心概念”是數學素養的重要組成因素.統計與概率方面的內容主要承載著形成與發展學生的數據分析觀念、運算能力、推理能力、應用意識等“核心概念”的任務，這對于培養和提高學生的數學素養具有重要的作用.

解答統計與概率方面的問題，首先就是通過閱讀題目，獲取盡可能多的信息，然后利用這些信息進行解答.學生獲取數據信息的能力是學習統計與概率方面的知識、解答與之相關問題的重要基礎.

在各地的中考試卷中，有關統計與概率的考題都占有一定的比例，各種題型都有，給出信息的方式眾多.仔細閱讀、分析2018年各地關于統計與概率部分的中考題發現，考題中給出信息的方式主要有以下八種類型，我們結合具體題目加以分析（所選題目均為2018年各地中考數學試題）：

一、用文字語言給出

案例1：（湖南婁底）從2018年高中一年級學生開始，湖南省全面啟動高考綜合改革，學生學習完必修課程后，可以根據高校相關專業的選課要求和自身興趣、志向、優勢，從思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6個科目中，自主選擇3個科目參加等級考試.學生A已選物理，還從思想政治、歷史、地理3個文科科目中選1科，再從化學、生物2個理科科目中選1科.若他選思想政治、歷史、地理的可能性相等，選化學、生物的可能性相等，則選修地理和生物的概率為______.

解：畫樹狀圖，如圖1所示：

由圖1可知，學生A從政治、歷史、地理中先選1科，再從化學、生物中選1科，共有6種等可能的結果，其中選修地理和生物的只有1種結果，所以選修地理和生物的概率為

點評：本題以學生選課為背景，與學生的學習現實密切相關，主要考查學生用列表或畫樹狀圖的方法求概率的能力，解答的關鍵是閱讀題目，理解題意，正確找出先“從政治、歷史、地理中選1科”，再“從化學、生物中選1科”的所有可能情況，并找出選修地理和生物學科的情況數.用列表法或畫樹狀圖法求概率適合于兩步完成的事件.解答的關鍵是，首先通過列表或畫樹狀圖不重復、不遺漏地列出所有可能的結果，找到總數量及欲求情況的數量，然后根據概率=所求情況數與總情況數之比求出答案.

圖2

二、用平面圖形給出

案例2：（甘肅白銀）如圖2，在正方形方格中，陰影部分是涂黑3個小正方形所形成的圖案.

（1）如果將一粒米隨機地拋在這個正方形方格上，那么米粒落在陰影部分的概率是多少？

（2）現從方格內空白的小正方形（A、B、C、D、E、F）中任取2個涂黑，得到新圖案，請用列表或畫樹狀圖的方法求新圖案是軸對稱圖形的概率.

解：（1）觀察圖2，發現正方形網格被分成9等份，其中陰影部分面積占其中的3份，所以米粒落在陰影部分的概率是

（2）把從A、B、C、D、E、F中任取2個涂黑的情況列表（如表1）：

表1

由表1可知，共有30種等可能結果，其中是軸對稱圖形的有10種，故新圖案是軸對稱圖形的概率為

點評：本題是計算概率的問題，問題中的關鍵信息“隱含”在平面圖形中.解答（1）的關鍵是觀察圖形，找出總份數和陰影部分的份數；解答（2）的關鍵是列出“從A、B、C、D、E、F中任取2個涂黑”的所有情況，再結合圖形判斷出是軸對稱圖形的情況數.

三、用表格給出

案例3：（臺灣）一個箱子內有4顆相同的球，將4顆球分別標示號碼1、2、3、4，今翔翔以每次從箱子內取1顆球且取后放回的方式抽取，并預計取球10次，現已取了8次，取出的結果如表2所示：

表2

若每次取球時，任一顆球被取到的機會皆相等，且取出的號碼即為得分，請回答下列問題：

（1）請求出第1次至第8次得分的平均數.

（2）承（1），翔翔打算依計劃繼續從箱子里取球2次，請判斷是否可能發生“這10次得分的平均數不小于2.2，且不大于2.4”的情形.若有可能，請計算出發生此情形的機率，并完整寫出你的解題過程；若不可能，請完整說明你的理由.

（2）因為這10次得分的平均數不小于2.2，且不大于2.4，所以這10次得分之和不小于22，且不大于24，而前8次的得分之和為20，所以后兩次的得分之和應不小于2，且不大于4.后兩次摸球得分的情況如表3所示：

表3

可見一共有16種情況，其中得分之和“不小于2，且不大于4”的有6種結果，所以后兩次的得分“不小于2，且不大于4”的機率為

點評：本題第（1）問根據算術平均數的定義列式計算可得；第（2）問需要先根據這10次得分的平均數不小于2.2，且不大于2.4，得出后兩次得分的范圍，然后用列表法表示出所有等可能的結果，并從中找出“不小于2，且不大于4”的結果數，最后利用概率公式計算可得答案.

解答時根據“這10次得分的平均數不小于2.2，且不大于2.4”推出“這10次得分之和不小于22，且不大于24”，結合前8次的得分之和為20，得到“后兩次的得分之和應不小于2，且不大于4”是解題的關鍵，同時要正確理解“不小于、不大于”的含義.

四、用折線統計圖和表格給出

案例4：（山東菏澤）為了發展學生的核心素養，培養學生的綜合能力，某中學利用“陽光大課間”，組織學生積極參加豐富多彩的課外活動，學校成立了舞蹈隊、足球隊、籃球隊、毽子隊、射擊隊等，其中射擊隊在某次訓練中，甲、乙兩名隊員各射擊10發子彈，成績用如圖3所示的折線統計圖表示：（甲為實線，乙為虛線）

圖3

（1）依據折線統計圖，得到表4：

表4

其中a=______，b=______；

（2）甲成績的眾數是______環，乙成績的中位數是______環；

（3）請運用方差的知識，判斷甲、乙兩人誰的成績更穩定；

（4）該校射擊隊要參加市組織的射擊比賽，已預選出2名男同學和2名女同學，現要從這4名同學中任意選取2名同學參加比賽，請用列表或畫樹狀圖法，求出恰好選到1男1女的概率.

解：（1）觀察折線統計圖，可知a=8，b=7.

（2）甲射擊10次的成績中次數最多的是8環，所以甲成績的眾數是8環；乙射擊10次的成績重新排列為：6、7、7、7、7、8、9、9、10、10，則乙成績的中位數為所以甲成績的方差為6-8）2+2×（7-8）2+4×（8-8）2+2×（9-8）2+（10-8）2］=1.2（環），乙成績的平均數為（環），所以乙成績的方差為［（6-8）2+4×（7-8）2+（8-8）2+2×（9-8）2+2×（10-8）2］=1.8（環），可見，甲的成績更穩定.

（4）用A、B表示男生，用a、b表示女生，從4名學生中選派2名的情況如表5所示：

表5

顯然共有12種等可能的結果，其中一男一女的有8種，所以所求概率

點評：本題以甲、乙兩名隊員進行射擊訓練為背景，把兩名隊員各射擊10發子彈的成績用折線圖和表格的形式給出.第（1）題要求學生直接寫出表格中a、b的值，這兩個值隱含在折線圖中，觀察可得.第（2）題求甲10次射擊成績的眾數，只要找出10個成績中出現最多的一個數即可；求乙10次射擊成績的中位數，需要把這10個成績按照從小到大的順序排列起來，求中間兩個數的平均數.第（3）題判斷甲、乙兩人誰的成績更穩定，正確計算出甲、乙兩人10次成績的方差是關鍵.第（4）題用列表法表示出從2名男同學和2名女同學中選出2名同學的所有情況，并找出1男1女的情況是計算概率的關鍵.

五、用圖表和條形圖給出

案例5：（湖北潛江）在2018“新技術支持未來教育”的教師培訓活動中，會議就“面向未來的學校教育、家庭教育及實踐應用演示”等問題進行了互動交流，記者隨機采訪了部分參會教師，對他們發言的次數進行了統計，并繪制了不完整的統計表（如表6）和條形統計圖（如圖4）.

表6

圖4

請你根據所給的相關信息，解答下列問題：

（1））本次共隨機采訪了______名教師，m=______；

（2）補全條形統計圖；

（3）已知受訪的教師中，E組只有2名女教師，F組恰有1名男教師，現要從E組、F組中分別選派1名教師寫總結報告，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求所選派的2名教師恰好是1男1女的概率.

解：（1）由圖4知C組共有15名，從表格中可知C組人數占25%，所以本次共隨機采訪了15÷25%=60（名），m=100-10-20-25-30-10=5.

（2）D組教師有：60×30%=18（名），F組教師有：60×5%=3（名），補全后的統計圖如圖5所示：

圖5

（3）E組共6名教師，4男2女，F組有3名教師，1男2女，從E組、F組中分別選派1名教師的情況用樹狀圖表示，如圖6所示：

圖6

顯然共有18種可能，而1男1女的有10種情況，所以所求概率

點評：本題以“教師發言”次數為背景，把發言次數用不完整的表格和條形統計圖給出，需要求的一些數據隱含在表格和條形統計圖中，學生只要認真閱讀題目，從表格和條形統計圖中獲取有關的信息就能順利解答.解答第（1）題的關鍵是從圖4中得到C組共有15名教師，從表格中發現C組人數占25%；第（2）題補全條形統計圖的前提是先求出D組和F組的教師數；解答第（3）題首先要求出E組和F組的教師數，然后正確畫出樹狀圖.

六、用扇形和條形統計圖給出

案例6：（天津）某養雞場有2500只雞準備對外出售.從中隨機抽取了一部分雞，根據它們的質量（單位：kg），繪制出圖7和圖8.請根據相關信息，解答下列問題：

圖7

圖8

（1）圖7中m的值為______；

（2）求統計的這組數據的平均數、眾數和中位數；

（3）根據樣本數據，估計這2500只雞中質量為2.0kg的約有多少只.

解：（1）m%=1-22%-10%-8%-32%=28%.故m=28.

（2）觀察條形統計圖.

在這組數據中，1.8出現了16次，出現的次數最多，則這組數據的眾數為1.8.

將這組數據按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個數都是1.5，則這組數據的中位數為1.5.

（3）因為在所抽取的樣本中，質量為2.0kg的數量占8%，所以由樣本數據，估計這2500只雞中質量為2.0kg的數量約占8%，有2500×8%=200（只）.所以這2500只雞中質量為2.0kg的約有200只.

點評：用樣本的情況來估計總體是學習統計的目的之一，最近幾年各地的中考題中經常提供一個與學習生活或家庭生活有關的問題情境，從中抽取一個樣本，把對樣本的調查結果用不完整的表格、條形圖或扇形統計圖給出，讓學生們根據它們提供的部分信息求解有關的問題.

本題以“養雞”為背景，主要考查了平均數、眾數、中位數的統計意義及利用樣本估計總體等知識.解答本題的前提是認真觀察給定的扇形統計圖和條形統計圖，從中獲取有關的信息.解答（1）時利用“五類情況的和等于1”計算；解答（2）時理解“三數”的意義是關鍵；解答（3）的關鍵是從圖7中找出“質量為2.0kg的數量占8%”.

七、用頻數分布直方圖和表格給出

案例7：（北京）某年級共有300名學生.為了解該年級學生A、B兩門課程的學習情況，從中隨機抽取60名學生進行測試，獲得了他們的成績（百分制），并對數據（成績）進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.A課程成績的頻數分布直方圖如圖9所示（數據分成6組：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

圖9

b.A課程成績在70≤x＜80這一組的是：

70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5

c.A、B兩門課程成績的平均數、中位數、眾數如表7所示：

表7

根據以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中m的值；

（2）在此次測試中，某學生的A課程成績為76分，B課程成績為71分，這名學生成績排名更靠前的課程是________（填“A”或“B”），理由是_______；

（3）假設該年級學生都參加此次測試，估計A課程成績超過75.8分的人數.

解：（1）共有60個學生參加測試，中位數是第30個數和第31個數的平均數，即=78.75.

（2）該學生A課程成績為76分，小于A課程樣本數據的中位數78.75，說明A課程成績在后30名，而B課程成績為72分，大于B課程樣本數據的中位數70，說明B課程成績在前30名.

（3）抽取的60名學生中，A課程成績超過75.8分的人數為36，所以×300=180（人）.

答：該年級學生都參加測試，估計A課程成績超過75.8分的人數為180.

點評：本題主要考查的知識點有中位數，用樣本估計總體.有關的信息隱含在頻數分布直方圖和表格中.認真閱讀頻數分布直方圖，從中獲取數據信息是解答本題的關鍵.對于第（1）題來說，通過觀察直方圖，前三組中已有2+6+12=20（個）數據，這60個數據中的第30個和31個都在70≤x＜80組中，分別是78.5和79，這是求m的重要前提.第（2）題只要利用A、B兩課程樣本數據的中位數，判斷出該學生A課程成績在中位數后，而B課程成績在中位數前即可.解答（3）的關鍵是通過觀察直方圖，得到A課程成績在80≤x＜90、90≤x≤100的人數分別是18、8； 借助信息b得到在75.8＜x＜80范圍內的人數為10，從而得到超過75.8分的有36人.

八、用扇形圖和頻數直方圖給出

案例8：（安徽）“校園詩歌大賽”結束后，張老師和李老師將所有參賽選手的比賽成績（得分均為整數）進行整理，并分別繪制成扇形統計圖（如圖10）和頻數直方圖（如圖11）.部分信息如下：

圖10

圖11

（1）本次比賽參賽選手共有______人，扇形統計圖中“69.5～79.5”這一組人數占參賽總人數的百分比為______；

（2）賽前規定，成績由高到低前60%的參賽選手獲獎，某參賽選手的比賽成績為78分，試判斷他能否獲獎，并說明理由；

（3）成績前四名是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人作為獲獎代表發言，試求恰好選中1男1女的概率.

解：（1）5÷10%=50，所以本次比賽參賽選手共有50人，“89.5～99.5”這一組人數占參賽總人數的百分比為（8+4）÷50×100%=24%，所以“69.5～79.5”這一組人數占參賽總人數的百分比為1-10%-36%-24%=30%.

（2）他不能獲獎.理由如下：他的成績位于“69.5～79.5”這一組，而“59.5～69.5”和“69.5～79.5”兩分數段的百分比為10%+30%=40%，因為成績由高到低前60%的參賽選手獲獎，他位于后40%，所以他不能獲獎.

（3）畫樹狀圖（如圖12）：

圖12

共有12種等可能的結果，其中恰好選中1男1女的結果數為8，所以恰好選中1男1女的概率

點評：本題把“參賽選手的比賽成績”進行整理，制成扇形統計圖和頻數直方圖，要求從扇形統計圖和頻數直方圖中獲取有關的信息，解答與比賽成績相關的三個問題.求（1）中參賽選手人數的關鍵是利用扇形統計圖中“59.5~69.5”這一組占10%，從直方圖中發現這一組有5人.求“69.5~79.5”這一組人數占參賽總人數的百分比時首先應根據扇形統計圖和頻數直方圖求出“89.5～99.5”這一組人數占參賽總人數的百分比，然后利用四個組的和為1進行計算.解答第（2）題的關鍵是判斷成績為78分的選手位于后40%.求解第（3）題的關鍵是正確畫出樹狀圖.

從前面所舉例題中，我們可以發現，統計與概率方面的題目幾乎都有生活背景，涉及我們生活的方方面面，這體現出“數學來源于生活”的真理.事實上，統計與概率方面內容主要承載著《課標（2011年版）》提出的數據分析觀念、運算能力、推理能力、應用意識等“核心概念”的形成與發展.本部分內容的教學中，我們要結合具體的知識點，加強利用本部分知識解決生活、學習中的實際問題的活動，以培養和發展學生 的應用意識，這樣的活動應體現《課標（2011年版）》提出的“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，經歷這樣的過程，可不斷培養和提高學生的綜合數學素養.