為兒童數學學習打開了一扇理性精神之窗

李冬芳 徐國明

【摘要】橫向數學化和縱向數學化都是數學學習的重要方式，在小學數學教學中，尤其是“圖形與幾何”概念的教學，往往從生活世界引向數學世界，比較重視幾何直觀，忽視縱向數學化。其實，雖然小學階段學生形象思維占主導，實際上學生知識的掌握卻是在橫向數學化的學習中逐步向縱向數學化展開。因此，我們需要反思幾何抽象在“圖形與幾何”學習中的地位，小學階段“圖形與幾何”領域的學習是否需要縱向數學化，以及需要怎樣的數學化學習過程。

【關鍵詞】圖形與幾何 數學教學 縱向數學化 橫向數學化

小學數學中“圖形與幾何”的內容屬于經驗幾何的范疇，基本上是一些直觀感性的內容，加之小學生的思維特點是形象思維占主導，學生在理解抽象的幾何概念時，受心理因素的影響，容易遇到辨認困難、缺乏空間想象力等一系列學習障礙。此時，設計合理的生活情境，給學生提供具體形象的學習材料，從生活引入數學學習，是行之有效的教學方法。然而，我們知道，幾何是指基于空間和圖形這種存在而抽象出概念（如點、線、面、體），得到概念之間的關系（如兩點確定一條直線），建立基于概念的命題（如等邊三角形的各個角都是60°）。“圖形與幾何”領域中的數學概念在現實生活中并不存在，作為用數學語言和符號揭示圖形與幾何本質屬性的思維形式，概念的學習相對比較抽象，因而縱向數學化是非常重要的。

一、問題發現，“圖形與幾何”教學一定要從生活原型出發嗎

橫向數學化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數學化是“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”。小學數學中的“圖形與幾何”領域是一些直觀感性的內容，小學“圖形與幾何”教學一定要從生活原型出發嗎？奧地利數學家和心理學家恩斯特·馬赫指出：人們的空間感覺系統與歐氏空間是不同的。幾何空間在一切地方和在一切方向都是同一性質的，是無邊界的、無限的。視覺空間是有邊界的和有限的，而且它的廣延在不同方向是不同的，“天穹頂”就是一個極好的例子。這就說明，“圖形與幾何”教學中概念的學習不能僅僅停留在感官的基礎上，縱向數學化是深入學習必不可少的一種學習方式。

例如，蘇教版數學四年級上冊“三角形的高”的兩次對比教學：第一次，采用生活中的人字梁導入，讓學生測量人字梁中的幾條垂直線段，再通過人字梁的高度是上面頂點到它對邊的距離，類比抽象出三角形高的內涵，揭示數學概念：從三角形的一個頂點到對邊的垂直線段是三角形的高，然后讓學生練習（圖1），整個新授過程用了20分鐘。雖然從生活原型出發的教學符合小學生的思維特征，卻會因為過分依賴于生活直觀，而受生活經驗中高自上而下非本質屬性影響，在練習中不少學生出現從頂點自上而下畫出一條線段的高的錯誤。第二次教學，教師先讓學生找出三角形的一組頂點和對應邊，學生基于上學期“垂直與相交”單元所學知識，嘗試“作點到直線的距離”，在此基礎上直接推衍出概念：這個頂點到對邊的垂直線段就是該三角形的高。只用了10分鐘左右，學生自己探索出畫法，完成了練習。對比發現：縱向數學化的教學效率和學習效果明顯優于橫向數學化。兩次教學的數據對比見下表。

從兩次教學的數據對比可以看出常規練習的結果差別不大，變式練習差異明顯。我們知道四年級學生的思維已經具有一定的抽象水平，并且在上學期“垂直與相交”單元學習了點到已知直線的距離，學生以此為上位概念。新舊知識鏈接貫通的縱向數學化的學習，更容易讓學生排除非本質因素的影響，關注數學本身，直擊概念本質。

由此，筆者認為在“幾何與圖形”的教學中，過多依賴于生活直觀，注重橫向數學化，對縱向數學化重視程度不夠，甚至對縱向數學化下意識地回避，其直接后果就是學生對所學內容缺乏深刻理解，無法建構起整體的聯系，浪費了大量的寶貴教學時間。事實上，課程改革理念重視在具體的感性材料里提取數學對象的本質特征，形成理性認識。這并不代表忽略縱向數學化，從發展思維的角度看，縱向數學化的學習對學生的數學學習和思維發展有著重要的價值。

二、理性思考，“圖形與幾何”教學中縱向數學化的時機

幾何概念是抽象的，學生幾何思維水平是由直觀向抽象發展的。荷蘭范·希爾夫婦針對平面圖形的認識提出如下的幾何思維水平：水平1為直觀化；水平2為描述/分析；水平3為抽象/關聯；水平4為演繹/形式化推理；水平5為嚴密/元數學。中小學階段對于幾何圖形的學習，顯然主要是上面的第一、二水平，而第三、四水平呢，應該是高中，甚至大學學習應達到的。可以看出，學生思維水平是一個從直觀化水平不斷地提高到描述、分析、抽象和演繹等復雜水平，不斷進步的過程，從直觀辨認到探索特征是符合兒童認知規律的。什么情況下可以進行縱向數學化呢？弗賴登塔爾指出：“數學教育本身是個過程，不僅是傳授知識，更要在過程中讓學生親身實踐而抓住其發展規律，學會抽象化、形式化的方法。”學習都是有階段性的，在某一階段，學生經過學習會經歷一些過程，同時得到一些結論，這樣的結論在更高階段的學習中又作為繼續學習的常識和基礎。因此，概念的形成不可能只停留在直觀感知的水平上，隨著學生學力的增長，數學化是可以從橫向進一步往縱向深入的。我們認為：當學生頭腦中已經具備順應新知的上位概念時，必須引導學生進行抽象思維，進行有意義的學習。

例如：蘇教版數學四年級上冊《軸對稱圖形》一課，“對稱軸”概念是新知，對于教材中的問題：“你能從幾何圖形中找出軸對稱圖形，并指出對稱軸的位置嗎？”教學中，教師雖然要求學生用提供的圖形動手折一折、找一找，但實際學生卻極少主動通過動手去折的方法找到圖形的所有對稱軸的。他們看著圖形想了一下就找到了，只是在直觀想象有困難、有疑惑時，他們才考慮操作。如在判斷平行四邊形是否是軸對稱圖形時，動手操作驗證自己的想象對不對。這是因為學生在三年級時，知識體系中就具備了一個圖形只要“對折后兩邊能完全重合”就是軸對稱圖形的概念。在三年級學習時通過折疊來判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，到了四年級，他們已經不需要折疊操作了，完全可以在頭腦中想象完成操作。此時，學生的思維已經具備了“為直觀化”水平。說明學生的幾何思維水平跳一跳，完全可以達到“水平2”；學生不需要實際動手去折，他們通過頭腦想象出折疊的樣子，就能找到對稱軸，并畫下來。學生的感受依然很深刻，思維卻更趨向理性。可見，現實背景和實踐操作能為學生理解概念提供有效的感知基礎，但不是唯一的途徑。雖然分析、抽象對于小學生來說有難度，但也正是這種難度讓學生的思維深度發展，學習變得更有價值。

三、實踐建構：探尋縱向數學化的可行之策

1.變“孤立學習”為“比較中學習”

學生的知識掌握是螺旋上升的，在某一階段，學生習得的一些知識經驗又作為后繼學習的基礎，先前習得的知識經驗會“再一次被提煉、組織，而凝聚成新的法則，新的法則又成為新的常識，如此不斷地螺旋上升，以至于無窮”。數學知識的學習不能孤立。縱向數學化注重知識間的內在聯系，可在有限的時間內把新知與舊知、顯性與隱性的知識點勾連起來，螺旋上升，在聯系中比較，以“動一發牽全身”的基本思想來組織教學，以達到最佳的學習效果。

例如：教學蘇教版數學四年級上冊“直線、射線和角”一課時，教師首先復習線段的特點，出示歐幾里得“公設2”：一條線段可以繼續延長。讓學生將線段有限延長，得出還是線段，仍然有兩個端點，有限長。接著讓學生將線段的一端“無限延長”，嘗試畫出圖形，得出描述性定義：這樣的圖形就是射線。那射線為什么是直的，怎樣表示無限延長？因為線段是直的，射線是線段無限延長得到的，所以射線也是直的，線段的一端無限延長是射線，射線只有一個端點。這時，學生還發現把線段的兩個端點去掉，兩端無限延長，得到的圖形是直線。師生共同畫出直線，揭示概念。最后通過填寫表格（如下表），比較異同，呈現知識間的聯系，完善認知。

這樣教學從已經學過的線段出發，有限延長，無限延長，在對比中打通了三種線之間的關系，揭示了三種線的概念與特征。橫向數學化使學生掌握的知識逐步完整，使學生對數學知識的學習逐步達到舉一反三、融會貫通的境界。

2.變“碎片式學習”為“結構式學習”

數學知識之間具有很強的邏輯聯系，但教材往往以分散式的點狀在各學段安排知識點，提高了學生學習的難度，降低了教學效率。幾何概念本來就是相互關聯的，對于圖形的認識，不僅包含對圖形自身特征的認識，還包括對圖形與圖形之間的關系、圖形各元素之間的關系的認識。各類圖形與幾何知識在教材中的編排又是分散學習的，教學中教師應重視在圖形及其性質之間建立聯系，以適當的形式把分散的內容串起來，變“碎片式學習”為“結構式學習”，有助于學生形成良好的認知結構。

例如：教學“梯形的面積”時，可讓學生回憶以前學過的求圖形面積的方法。尤其是三角形的面積計算公式的推導方法，共同理出一條研究的路線轉化成學過的求圖形面積的方法——面積與底和高相關，使學生從整體上初步感知這些知識，為后續發現問題、研究問題提供“腳手架式”的結構支撐；接著通過類比遷移、實踐操作逐步展開探究：梯形可以轉化成平行四邊形，在轉化中學會梯形的面積計算公式。然后對單元知識進行整理（見圖2），即實現第二個整體，同中比異，異中求同，縱橫溝通，形成知識體系。這樣，學生對每個圖形的面積都有了更為深刻的認識。

3.變“單一教學”為“縱橫交錯學習”

任何知識的學習都不是孤立的，在學習中教師要及時引導學生將數學知識系統化，建立起學科的知識體系和框架。同時，任何學習方法也不是單一的，縱向數學化和橫向數學化的使用也不是互不相容的，合理選擇運用，二者互相補充，可以取得事半功倍之效。

例如：蘇教版數學三年級下冊“認識面積”一課的教學，教材上的安排是從生活出發的橫向數學化，按照“物體上有面—面有大小—面積”，一步一步環環相扣，幾乎花去一大半的教學時間才揭示面積的概念：“物體面的大小是物體的面積。”其實，面積的概念是在學習周長之后學習的，生活中也很常見，如大家常說家里的住房面積，田地的面積，學校的占地面積。我們不妨先采用縱向數學化的教學設計，教師出示紅黃兩根同樣長的長繩，設計三次比賽活動。第一次，比線的長短。第二次，圍成兩個圖形（見圖3），比較周長。第三次，跟第二次圍的圖形相同，比較圍成的圖形大小。比較圍成的圖形大小時，提出問題：

圖形大小還是指邊線的長短嗎？讓學生指出圖形大小指的是什么，并用彩筆涂色表示圍成的圖形大小，得出圍成的圖形的大小就是圖形的面積。然后，回歸到生活中，進行橫向數學化學習，摸一摸、找一找生活中常見物體的面積，比較面積大小。再提供學具操作，學習比較平面圖形的面積大小。面積與周長的概念唇齒相依，將面積概念建立在與周長的聯系與區別中進行認識，由周長入手，從對比中引入面積，學生在建構面積時眼中也有周長，周長和面積的區別也不言而喻。這樣設計將縱向數學化和橫向數學化交錯使用，體驗更有針對性，學生的思維由此打通，“破繭飛翔”。

小學階段“圖形與幾何”屬于直觀幾何，教學中需要“橫向數學化”通過直覺觀察、操作感知來學習，也需要“縱向數學化”的“系統性”，為學習數學打開了一扇理性精神之門。

【參考文獻】

[1][荷蘭]弗賴登塔爾.數學教育再探：在中國的講學[M].上海：上海教育出版社，1999.

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[3]劉志強.縱向數學化：數學學習的必由之路[J].教育研究與評論（小學教育教學版），2014（10）.