淺談高中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

李勇

摘要：數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)思想中非常重要的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)原則，也是全面提高學(xué)生素質(zhì)的重要方法之一，掌握好數(shù)形結(jié)合的思想是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有至關(guān)重要作用和地位。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的思想是解決高考數(shù)學(xué)試題的基本方法之一，它是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，可以實(shí)現(xiàn)化繁為簡、化難為易、化抽象為具體，從而達(dá)到簡潔明了的解題效果。尤其在高中數(shù)學(xué)中的集合、函數(shù)、方程、幾何、復(fù)數(shù)等問題中有著非常重要的應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的一種非常重要的思想方法

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：數(shù)與形，本是相依倚，焉能分作兩邊飛；數(shù)無形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫分離。 這就說明數(shù)與形是緊密聯(lián)系、不可分割的。數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如通過觀察函數(shù)的圖象來直觀的研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如借助曲線的方程來精確的闡明曲線的幾何性質(zhì)。實(shí)際上就是在解決數(shù)學(xué)問題時，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)抽象概念具體化。在解析幾何中，我們充分強(qiáng)調(diào)了用代數(shù)方法解決幾何問題的解析法，它解決了許多緊靠圖形無法精確討論的問題，顯示“數(shù)”的巨大威力。同時我們也看到許多問題若從“形”的角度去思考，可以找到直觀、簡捷的解題方案，這充分展現(xiàn)了“形”的無窮力。

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則

1、等價性原則

利用數(shù)形結(jié)合解決問題時，代數(shù)和幾何的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞。有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng)。

2、雙方性原則

既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)進(jìn)行幾何分析容易出錯。

3、簡單性原則

不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合。具體運(yùn)用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與二次曲線。

三、數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需要做到以下四點(diǎn)：

1、要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

2、要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

3、要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

4、精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解。

很多數(shù)學(xué)概念都具有明顯的幾何意義，如果能善于利用這些幾何意義，往往能收到事半功倍的效果。數(shù)學(xué)中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。

四、下面我們從幾個方面談?wù)勗鯓佑脭?shù)形結(jié)合的思想方法解題

（一）數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，集合知識非常重要，在高考中占一定的比例。所以學(xué)好這部分的知識對于學(xué)生來說是非常重要的。單純的講解會讓學(xué)生感受不到數(shù)學(xué)的真實(shí)存在性，這樣也會使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中存在這樣或那樣的問題。所以在集合運(yùn)算問題中，當(dāng)所給問題的數(shù)量比較復(fù)雜，不好找線索時，我們常常要借助數(shù)軸、韋恩圖來處理集合中的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，利用直觀的圖形，從而使問題更加簡化，運(yùn)算更加快捷。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

利用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)是一般常見的數(shù)學(xué)方法之一。函數(shù)圖像的幾何特征和數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征和方法。 利用函數(shù)圖像的直觀性來討論函數(shù)的最值問題，求解變量的取值范圍，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想考察學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，邏輯思維能力，是高中函數(shù)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一。

（三）數(shù)形結(jié)合思想在方程中的應(yīng)用

1.用函數(shù)的圖象討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的解的個數(shù)的問題是一種非常重要的思想方法，其根本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)表達(dá)式（不熟悉時，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個數(shù)即為方程解的個數(shù)。

2.函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值（值域）經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

（四）數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用

復(fù)數(shù)的幾何意義用向量表示，把復(fù)數(shù)與平面幾何和解析幾何有機(jī)地聯(lián)系起來，復(fù)數(shù)幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。所以在解決一些復(fù)數(shù)問題時可以借助復(fù)數(shù)的幾何意義，從而輕松簡潔的解決問題。

經(jīng)常教導(dǎo)學(xué)生在以上領(lǐng)域運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題，對于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高解題能力是很有幫助的，凡是涉及到幾何圖形或具有幾何意義的數(shù)學(xué)問題都可以讓學(xué)生考慮先從幾何圖形的關(guān)系上分析問題，養(yǎng)成從“形數(shù)”結(jié)合上逐步推理的好習(xí)慣。這樣做既可以培養(yǎng)對“形數(shù)”兩方面的分析能力又可迅速的估計出答案或答案的大致情形以尋找并發(fā)現(xiàn)解答問題的途徑，有時還可以防止和糾正某些計算錯誤。高考十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考查，我們要有意識的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題和解決問題，形成能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量的精確刻化與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。所以數(shù)形結(jié)合思想必須引起高中生的重視。

參考文獻(xiàn)：

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[2]孔令偉.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用[D].遼寧師范大學(xué)，2012.