向學生展示數學思維的美妙

摘 要：概念和應用是數學思維必不可少的兩樣基礎，深度理解“定義”，并掌握“公式”是真正學好數學的基本功，而不是靠題海和訓練套路的。

關鍵詞：直覺；抽象；數學思維

思維是人們根據已知條件，依托已有的知識和經驗，對未知的客觀事物的間接反映，是認識過程的高級階段，即以感知為基礎又超越感知的智力活動。數學思維是一種有序的、有系統的思考，是層層遞進地觀察、猜想、探索和發現事物規律的邏輯思維。

一、 軟件畫圖激發直覺思維

直覺思維是沒有經過完整的分析過程和嚴密的邏輯推理，憑借靈感快速理解，仰仗頓悟作出判斷的非邏輯思維。記得我從理科考場走出來時，聽見學生議論著（2018年全國Ⅰ理科16）已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則函數f（x）的最小值是 ，很多學生說他們的答案是0。為了驗證他們的答案，我利用手機中函數的圖像，發現最小值不是0。

平時我們可以在數學軟件geogebra的在命令框中直接輸入f（x）=2sinx+sin2x，便得到函數的圖像，引導學生發現猜想錯誤，激發了學生的探究的熱情。接著再在geogebra軟件的在命令框中直接輸入derivativef（x）=2sinx+sin2x，便得到f（x）的導函數圖像，引導學生如何由圖像想性質，經歷如何用導數求函數f（x）的最小值的過程。

二、 推理論證形成抽象思維

抽象思維是人們以概念為起點運用分析、綜合、歸納、演繹方法去進行邏輯推理的思維方式，主要用于代數方面。該題推理過程就是學生抽象思維的結果，具體如下：首先，讓學生知道該題是應用導數研究函數的最小值問題，其次，在求解的過程中，讓學生明確函數的相關求導公式，函數的單調性與其導數符號的關系，由函數的單調增區間和單調減區間求得函數的最小值點，第三，求得相應的三角函數值，最后代入求得函數的最小值。

代數推理方法1（直接求導）：首先對函數f（x）=2sinx+sin2x進行求導，化簡求得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+4cos2x-2=4（cosx+1）（cosx-12），由不等式f′（x）>0得函數的單調增區間為[2kπ-13π，2kπ+13π]，k∈Z，由不等式f′（x）<0得函數的單調減區間為[2kπ+13π，2kπ+53π]，k∈Z，比較函數的極值和端點值，從而確定函數的最小值。即當x=2kπ-13π，k∈Z時，函數f（x）取得最小值是-332。

代數推理方法2（換元后求導）：首先引導學生對函數f（x）=2sinx+sin2x化同名，f（x）=2sinx（1+cosx）=2×2tanx21+tan2x2（1+1-tan2x21+tan2x2），

換元，設t=tanx2，則f（t）=2×2t1+t2（1+1-t21+t2）=8t（1+t2）2，求導化簡得f′（t）=-8（3t2-1）（1+t2）3，確定出函數的減區間為（-∞，-33]，[33，+∞），增區間為[-33，33]，由函數的極值和函數圖像，得t=-33時，函數f（x）取得最小值，

確定函數的最小值是-332。

以上過程正如張景中院士所說“好的教材、好的讀物、好的老師，就應當向學生展示數學思維的美妙，引導學生體驗震撼感、力量感、解放感和科學之美”。

三、 日常積累拓寬數學思維

（一） 加強概念和應用，提升直覺思維

數學解題是學生對數學概念、定理和公式的一種靈感和頓悟，是對學生長期以來積累的數學知識的積累，對學生數學思考過程的一種提煉，是數學能力的一種升華。因此學生要熟悉概念、公式和定理的使用條件，結合自身的知識和經驗，提升直覺思維作出正確的判斷。

（二） 加強知識網絡，培養思維導圖

加強各模塊間聯系，構建知識網絡，搭建橋梁在原來認為毫無關聯的各章節知識或諸理論分支之間，往往可以覺察到某種統一性或相關性，進一步溝通內化，拓展學生眼界，讓學生形成思維導圖。

（三） 加強數形結合，培養思維敏銳

學生的觀察力和觀察角度與其的直覺息息相關，觀察力敏銳的學生，洞察事物本質，直覺思維出現的概率高，直覺效果非常好。數形結合激發學生的洞察力和頓悟力，而洞察力和頓悟力又是直覺思維的突出特點，因此，平常解題中常常應用數形結合，提高學生思維的敏銳。

總之，學習數學的樂趣是學生思考之樂，是挑戰之樂。產生數學思維的源泉在雙基和合理認知結構，這就要求教師在平常教學中要幫助學生夯實基礎、熟練通法緊抓不放。只有掌握好數學的基礎知識和基本結構，掌握好數學的基本技能，強化基礎的同時滲透數學思想方法、特別是數形結合思想，抽象概括能力，提升空間想象能力，推理論證能力，數據處理能力，運算求解能力的解題能力。注意幫助學生查缺補漏，舉一反三、觸類旁通，才能有助于學生的思維由單向型向多向型轉變，由直觀向抽象轉變，由粗糙向嚴謹轉變，提高學生的數學思維能力。

參考文獻：

[1]靳峰娜.高中數學教學中培養數學思維能力的實踐探析[J].才智，2014（08）：98.

[2]彭麗霞.高中生數學抽象素養的現狀調查研究[D].福建師范大學，2017.

作者簡介：

陳錦平，福建省福州市，福建省福州高級中學。