換元法在高中數學解題中的應用

劉霏芃

摘 要：換元法是高中數學習題解答中的重要方法之一，能夠將一些復雜的問題通過換元進行簡單化處理，將非標準的問題轉化為標準化問題，促進問題的解答。

關鍵詞：換元法；高中數學；解題；應用

高中數學具有大量的題目與試題類型，在解答過程中應當充分運用合理的思想與方法，對題目進行簡單化與標準化處理，在解題過程中經常使用到的數學方法之一是換元法，在方程、不等式以及函數等問題解答過程中具有較為廣泛的運用。

換元法的運用豐富了高中數學解題思想，積極為學生提供了多種解題角度，能夠幫助同學們對題目中的各項條件進行有效梳理，下文介紹了換元法在三角函數解題中的運用，在復合函數中運用換元法，運用整體換元法解題，在不等式解題中運用換元法等，充分探討了換元法在高中數學解題中的各種運用方式。

1換元法在三角函數解題中的運用

在三角函數的解題過程中，教師可以引導學生將代數關系式代入到三角函數之中進行解答，對三角函數中的余角、同角、補角等關系進行分析，同時充分利用asinx+bcosx=[a2+b2]sin（x+[φ]），由a與b共同確定[φ]角數值，其中a與b都是一種非零實數，已知有tan[φ]=[ba]。

例題1：假設現有實數a、b之間滿足關系式a2+b2-ab=1，那么a2-b2的取值范圍是多少？

解題分析：利用換元法，假設a=[ρ]cosθ，b=[ρ]sinθ，以此替換原方程式中的a與b，能夠得出（[ρ]cosθ）2+（[ρ]sinθ）2-[ρ]sinθ·[ρ]cosθ=1，對其進行化簡處理，能夠得出[ρ]2=[22-sin2θ]，進一步得出a2-b2=[22-sin2θ]。此時把[22-sin2θ]設定為常數，把h代入到公式之中能夠得出hsin2θ+cos2θ=2h，通過已知條件能夠得出tanθ=[1h]，θ的取值范圍在0-2[π]。

之后結合三角函數的性質能夠得到-1≤[2hh2+1]≤1，對其進行求解能夠得出h的取值范圍在-[33≤h≤33]，結合h值與a2-b2數值之間的關系能夠得出-[233≤]x2-y2[≤233]，最終得出本題答案。三角函數是高中數學學習的重要模塊，學生在學習過程中容易出現概念上的混亂，給解題帶來干擾，通過換元法的運用能夠有助于同學們樹立三角函數概念，從而正確解題。

2在復合函數中運用換元法

復合函數是高中函數體系中難度較大的知識點，在高考選擇題或者天空題中都有體現，在復合函數的解題過程中運用換元法能夠達到事半功倍的效果。

例題2：現已知具有函數f（x），當x<0的情況下，具有f（x）=3x-2這一表達式，當x>0的情況下，具有f（x）=2x這一表達式，求解為了得到f（x）≥1，x在實數范圍內的取值包括哪些？

解題分析：此題可以使用換元法進行求解，當x>0的情況下，假設t=3x-2，能夠得出t≥1，以t=2x進行計算能夠更為快捷地得到答案。在計算過程中可以引入圖像，能夠對題目中的概念進行更為直接地展示，在直角坐標系之中更加方便各項題目的解答，要求充分結合x與t之間的關系來進行構圖。

在函數值的解題過程中，通過新元的構建與代換，能夠充分而有效地分析出題目中各個復雜變量之間的關系，將各個不明朗的關系進行清晰而直觀地展示，簡化解題步驟，縮小取值范圍，為題目解答提供了 一種新的解題思路，能夠比較快速地求解出函數最值問題等。

3運用整體換元法解題

例題3：現假設已知有x與y值滿足，x2+y2-2x+2y+1=0，那么[y+2x+2]的取值范圍是多少？

解題分析：對題目條件進行分析可以看出可以把點P看作是圓上的一點，符合（x-1）2+（y+1）2=1的條件，現在假設k=[y+2x+2]，那么可以把這一題目進行如下轉化，求解直線y=k（x+2）-2與圓之間是否具有公共交點，有幾個，此即是k值的取值范圍。

通過直線與圓之間交點的問題的轉化，能夠看出圓心（1，-1）和直線之間的距離位置d=k=[k+1+2k-21+2k]≤1，能夠求得4k2-3k≤0，對其求解能夠得出0≤k≤[34]，因此最終得出的范圍在[0，[ 34]]。

在這一解題過程中充分運用了整體換元的方法，將k值整體換作了[y-2x+2]，從而豐富了解題思路，將其轉化為直線與圓之間的關系，將其代入到圓的方程式之中進行計算，同時綜合利用直線斜率、三角函數知識以及幾何知識等進行解題，利用三角函數的有界性進行解題構造出一個關于k的不等式從而最終得出本題的答案。

4在不等式解題中運用換元法

不等式證明與解答問題是高中數學重要的應用模塊，采用換元法可以對題目進行新元替換，幫助同學們梳理解題思路，從而達到更為效率地解題。

例題4：現有[（x-1）29]+[（y+1）216]=1，不等式x+y-k>0這一條件始終成立，那么k值的取值范圍是什么（ ）？

解題分析：在這一不等式的解答過程中，教師可以引入一些新的變量，將題目中的條件進行充分顯現出來，構建新的不等式關系，首先采用換元法，假設[x-13=cosα]，同時[y+14]=[sinα]，由此能夠得到x=1+3cosa，y=-a+cosa值，把這這兩個不等式均代入到x+y-k>0之中，能夠計算出3cosa+4sina-k>0，由此能夠得出3cosa+4sina=5sin（a+[φ]），5sin（a+[φ]）>0，對其進行求解，得出k<-5，不等式恒成立。在具體的解答過程中通過換元法構建出新的不等式關系，簡化了解題思路，有效促進了解題方式的簡便化。是對不等式問題解答的重要突破口，提供了一種新的有效解題方法。

5結束語

在數學題目的解答過程中應當通過題目的設置充分分析題目中所運用到的是數學思想與數學方法，運用正確的數學思想進行解題，換元法的運用能夠對數學解題達到事半功倍的效果，要求學生對此能夠靈活掌握。

參考文獻

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