淺談直觀演示中的數學教學

摘?要：《課程標準》強調：“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系。”從這句話中不難看出，直觀教學在小學數學教學中占據重要地位，因而教育專家與一線教師努力加工教材，盡可能使抽象的數學內容直觀具體化，目的是促進學生頭腦中數學知識的形成。不過，重視直觀的同時，抽象也不可偏廢。

關鍵詞：直觀;抽象;數學教學

停留在直觀層次的數學教學，知識點零散，學生難以把握數學知識的內在聯系，無法構建知識網絡，更別談在數學中滲透思想與方法了。所以小學數學教學應直觀引入，保證數學知識的形成;逐步抽象，使數學知識確立并形成知識結構。本著這一原則，筆者深入思考小學中分數的定義，產生了如下認識。

一、 份數定義：分數意義的直觀理解

第一學段初步認識分數，以具體例證的方式給出分數的定義：像13、14這樣的數叫作分數，不過第一學段的分數總會賦予一定的生活意義，便于學生的理解。比方說：13表示把一塊蛋糕平均分成3份，表示其中的一份。第二學段再次認識分數時，則明確給出了分數的定義：把“單位1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數，叫作分數。對比兩個不同的學段，對于分數意義的理解實際并無區別，唯一不同的是將具體物體抽象成“單位1”。經過第二學段的學習，學生認識到這個“單位1”不僅表示一個物體，還可以表示幾個物體，概括講是表示一個整體。而我們遇到分數時，無一例外需要對一個整體平均分，并明確需要表示出幾份。經過這樣的過程，學生就能夠在頭腦中完善、形成一個“有血有肉”的分數。

以上分數定義中，需要明確平均分的份數以及要表示的份數，因而可稱為“分數的份數定義”。用這樣的方式定義分數有其合理性。首先，直觀形象地表示部分與整體的關系，需要分成幾份，需要表示出幾份。并且通過對大量實例的觀察總結中，學生認識到了“平均分”的重要性。再次，便于學生理解分數相加減得到的結果的合理性。總的來說這樣的定義方式以直觀形象的特點著稱，符合低年齡段學生的認知特點。到了第二學段，學生的思維能力與認知結構均有了一定的發展。這時候，對分數意義的認識理應有新的突破，向分數的本質內涵深入，往抽象層面發展;而非仍然強調以分物體的方式理解分數的意義，停留在對分數的直觀認識上。因為不斷強化分數的份數定義，容易使學生形成對分數的狹隘認識與思維定勢。舉個簡單例子，下面的圖形在學生初步認識分數時經常用到，不可謂不熟。在問及：“看到這個圖形你能想到什么分數時”，學生也能快速給出14的答案。“還能表示其他的分數嗎？”很少有學生給出不同的答案了。第二學段再次認識分數后，還是提問這兩個問題，學生反應仍是如此。這不得不讓人深思了，難道這幅圖只能表示“14”？答案當然是否定的。而學生之所以出現這樣的回答，勢必與課上、練習中反復強調“分數的份數定義”有關。看到一個圓被平均分成4份，就將圓視為整體（單位1），并且被平均分成4份;看到其中較為醒目的黑色，自然而然的視為需要表示出的1份。通過這則案例，不難想象大部分學生會帶著以分物體理解分數意義的方式離開小學，進入初中學習。而這種停留對分數直觀層面意義的理解方式，不利于學生認識分數的本質意義，更無益于明晰分數、除法的內在聯系，構建知識網絡。正確的態度是以分數的份數定義初步認識分數，但不應過度強調;到了第二學段，要盡可能以較為抽象，接近分數本質的定義理解分數。

二、 商定義：分數本質意義的表達

最初分數的產生源于實際度量的需要，剩下的部分不能恰好量盡，那么剩下的是多少呢？這時就需要一個新的數表示。而在數學中以邏輯方式給出定義則是出于整數系對于除法運算封閉的需要。所謂封閉是指：若某集合（數系）內兩個元素經過某種運算得到結果仍然是該集合里的元素，就稱該集合對于這種運算封閉。基于此，我們發現整數系對于除法并非總是封閉的，比如：3÷5的結果，顯然這一結果無法在整數系中找到對應的元素。為了使除法對于整數系總能夠實施，就有必要將整數系擴充，使得某些除法運算的結果得到合理的安排。自然經過擴充后的整數系不再是原本意義上的整數系，形成了有理數系。而有理數系與整數系的區別在于添加了一種新的元素——分數。由此看來，分數與除法是有內在聯系的。a÷b（b≠0），當b能整除a時，得到的商是整數;當b不能整除a時，得到的商便是分數，可用ab表示。所以分數還可以表示為兩個數相除的商，這便是分數的商定義。循著這一定義的發展脈絡，我們發現這一定義方式較之份數定義更接近分數的本質，更為抽象也更具有普遍意義。

以上分數的商定義及其來龍去脈過于抽象，萬不可在教學中實施。那么是否分數的商定義在小學課堂中便沒有立足之地呢？也非盡然。立足于學生的知識結構與認知特點加工教學內容，同樣能適合學生接受，正如布魯納所說：“任何科目都能夠按照某種正確的方式交給任何年齡階段的任何兒童。”第二學段學完分數后，通常會有這樣的教學環節：引導學生認識除法與分數之間的關系。通過教學學生發現：分子相當于被除數，分母相當于除數，分數線相當于除號。顯然這種只將兩者表達形式建立起聯系的認識，無法深入到分數與除法的本質關系，學生也自然無法領略到分數商定義的內涵所在。

小學數學教材編寫的螺旋上升的原則有力地說明了小學數學學習應是直觀到抽象過程。以這樣的原則實施教學，進行知識點的再認識，有利于學生數學抽象思維的發展。在再認識的過程中會促進以往所學的知識點的整合，構建知識網，深化對所學知識的理解。

作者簡介：

梁濤，江蘇省揚州市，寶應縣柳堡鎮中心小學。