游戲與數學聯系的魅力

湯衛紅

【關鍵詞】游戲;多連方;核心素養

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2019）17-0050-06

【課前慎思】

學完北師大版五下“正方體的平面展開圖”后，有學生問我：為什么正方體的平面展開圖只有11種？真的找不到第12種嗎？我一時語塞，不知如何回答。這個問題一直縈繞在我心頭，苦苦思索后我發現：如果找出所有的六連方，再逐一確認它們是否為正方體的平面展開圖，不就能解決了嗎？那么，六連方一共有多少種呢？我花了半個小時走了不少彎路才研究出來。我想，這個問題讓學生自由探究是完全有可能探究出答案的。怎樣開發出這節課呢？必須得引導學生從簡單的想起，有序探索，分類思考。開發后的實施發現，學生確實感受到了挑戰性和趣味性。但我仍覺得單一，因為沒有體現“整合數學”的豐富性和聯系性。正當我苦思冥想時，看到學生玩古典智力玩具“傷腦筋十二塊”，觸發了我聯結的通道：這不就是五連方嗎？游戲的背后正是數學。順藤摸瓜，我又想到四連方與俄羅斯方塊，它們之間天然的聯系讓我喜出望外。于是，就有了《多連方與游戲》這節課。

【課堂實錄】

一、初聊游戲，激趣引疑

師：同學們，你們喜歡玩游戲嗎？都喜歡玩哪些游戲？

生：密室逃脫、吃雞、王者榮耀……

師：網絡游戲很容易上癮哦！咱可以用其他益智游戲來替代喲！

生：魔方、數獨、魯班鎖、九連環、俄羅斯方塊、傷腦筋十二塊……（板書：游戲）

師：真好！這些益智游戲有益身心。同學們剛才提到了俄羅斯方塊、傷腦筋十二塊，請仔細觀察這兩個游戲的畫面，你有什么發現？

生：它們都是由完全一樣的正方形組成的。

師：這樣的圖形叫作多連方。（板書：多連方與）學貴有疑，你想研究什么問題？

師根據生的回答板書：什么是？多少種？規律？聯系？有什么用？

二、體悟策略，有序探索

師：今天這節課，咱們就主要圍繞這些問題展開研究。你認為首先要解決什么問題？

生一致決定先研究什么是多連方。師給出一個正方形，指名生貼在黑板上。

師：這是不是多連方？

生（搖頭）：不是！

師再給出一個同樣大小的正方形，生將兩個正方形邊與邊重合貼在一起。

師：這個圖形，咱們給它取個什么名字？

生：二連方。（板書：二連方）

師（把兩個正方形擺成頂點相接）：這是不是二連方？

生：不是！必須是邊和邊重合。

師接著給出三、四、五、六個正方形，生依次擺出。板書：三連方、四連方、五連方、六連方。接下來研究有多少種。

師：這個六連方讓你想起了什么？

生：哇！這不是正方體的平面展開圖嗎？

師：正方體的平面展開圖有多少種？

生：11種。

師：那你猜猜，六連方有多少種？

生：肯定不止11種。我記得課上判斷時，有的六連方不能圍成正方體。我猜有28種。

生（七嘴八舌）：32種、36種、48種……

師（演示課件）：給大家看一眼。（生準備數，師隱去圖）

生：這么多，看得眼花繚亂！

師：如果現在讓你研究出六連方有多少種，你有什么想法？

有的生表示有點難，也有的表示有信心研究，但擔心會亂、重復或遺漏。

師：既然大家感覺研究六連方有點復雜，咱得想想辦法。你覺得可以怎么辦？

生1：要分類研究，按一定順序慢慢去找。

生2：我覺得可以倒回去，先研究五連方。

生3：五連方可能也比較難，可以先研究四連方……可以一直退到二連方。

師：同學們真有辦法！華羅庚爺爺說過——我們要善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地步。二連方有幾種？為什么只有一種？

生（操作）：因為旋轉后跟橫著擺的一樣。

師：在數學上，這樣旋轉以后完全一樣的二連方只能稱為一種。現在怎么研究三連方？

生：在二連方上添加一個正方形。

師：想一想，三連方有幾種？

生紛紛表示有兩種，師指名擺出兩種。

師：為什么只有兩種？二連方可以從6個位置“長”出一個正方形。預學時，就有同學畫出了這樣的6種。（出示圖1）

生：第四個圖形和第一個相同。第三、五、六個圖形都可以通過旋轉與第二個圖形重合。

師：這里雖然有重復的，但操作方法有什么值得咱們學習的地方？

生：他是從最左邊的位置開始有序地沿順時針方向添加的。

師：為了方便研究和交流，咱們像這樣從最左邊的1號位開始，沿順時針方向依次在2號位、3號位……進行添加。為什么從二連方上只能長出兩種三連方？咱從二連方這個圖形的特征上找找答案。

生：因為二連方是軸對稱圖形，左右對稱、上下對稱。

師：接下來，我們再來“長”出——（四連方）。

出示共學活動一（如圖2）：

（圖2）

學生獨立完成，4人小組交流，一組匯報。

生1：我們從“一”字形三連方開始添畫。從最左邊1號位開始，依次畫出了3種四連方。由于對稱性，從4號位開始就會跟前面的重復。

生2：在L型三連方上，在1號位添畫會和上面的第三個四連方重復。在2號位添畫沒有重復。在3號位添畫與上面的第二個圖形重復。接著在4號位添畫，成為一個田字形。在后面的6號位至8號位添畫，也都會重復。

生3：這樣，我們一共找到了5種四連方。我想特別強調，大家在畫的時候一定要先想想是否與之前的重復，如果重復就不用畫了。

生4：大家還有什么疑問或補充？

生5：我覺得第二行，在7號位添畫應該是可以的，與之前的不重復。

生4：把右邊這個四連方逆時針旋轉90°，再翻轉就和左邊的四連方重合了。所以只能算一種。（操作并講解如圖3）

生5：我明白了！我還想到一種更簡便的方法，只要通過軸對稱就可以證明兩個四連方是一樣的。（操作演示如圖4）

師：為什么在這兩個位置添畫會重復？你能從三連方本身的特征上找到答案嗎？

生3：因為三連方是軸對稱圖形，而這兩個位置正好是對稱關系。

三、聯系游戲，辨析深化

師：看著四連方，我不禁想起好玩的游戲（板書：俄羅斯方塊）。可俄羅斯方塊有7種，這是怎么回事呢？結合游戲規則想想。

生2：游戲規則中只有平移和旋轉兩種運動，沒有翻轉。所以，L與J、Z與S都必須出現，否則就沒辦法鋪滿平面。（如圖5）

師：為什么俄羅斯方塊中沒有出現與I、T、O這三種四連方形狀一樣、方向不同的圖形呢？

生：因為它們都是軸對稱圖形，即使方向變了，通過旋轉也都能和原來的重合。

四、深化探索，挑戰思維

出示共學活動二（如圖6）：

學生獨立探究后小組交流，一組匯報。

生1：我們在“一”字形四連方上依次從1號位開始添畫，共有3種。到4號位時就開始與前面的重復了，不用再畫了。

生2：在L形上添畫，1號位與上面的第三個五連方重復。在2、3、4、6號位添畫都出現了新的五連方，在7號位上添畫與第一行的第二個五連方重復。再在8、9、10號位上添畫。共可以畫7個五連方。

生3：在T形上添畫，只能找到十字形這一種五連方，其他的都重復了。

生4：在Z形上添畫，也只能找到W形一種。而在田字形的每個位置添加都一樣，且與第二行的第二個五連方重復。這樣，我們一共找到了12種五連方。

生1：我想強調，一定要注意有序，否則就容易遺漏。當然，我們發現越到后來重復得越多，越要仔細檢查是不是重復。

生5：我有質疑，我覺得在T形右下角位置添畫與之前的不重復。

生2：我可以驗證給大家看。右邊的五連方逆時針旋轉180°就會跟左邊的重復了。（如圖7）

生6：在Z形下方添畫得到的五連方，我覺得也是重復的。

生5：這個我看出來了，先順時針旋轉90°再翻轉，就和剛才的重復了。

生7：我覺得可以更簡單，通過軸對稱就能發現重復。（如圖8）

師：為便于記憶，有人把五連方形象地看成12個英文字母，看一看，是哪12個？

生：哇！正好是26個字母中的后12個。

師：五連方讓我們想起的游戲是——（傷腦筋十二塊）

師：五連方跟傷腦筋十二塊完全一致嗎？

生：完全一致，都由12個正方形組成。

師：游戲規則跟俄羅斯方塊有什么不同？

生：傷腦筋十二塊允許翻轉，因為在拼圖時是可以翻過來拼的。

師（出示拼圖）：咱們來驗證一下，看看這兩幅拼圖中的同一個形狀是不是翻轉了。

生（演示）：這一塊就用了翻轉。

師：假如傷腦筋十二塊不允許翻轉，哪些形狀需要給出另外一種？

生：P、Q、R、S、Y、Z這六種需要給出它們的軸對稱圖形。

師（出示圖）：研究了半天，我們再來看看俄羅斯方塊與傷腦筋十二塊這兩種拼圖游戲，其實都與哪一個數學知識有關？（密鋪）

師：我們已經研究了什么是多連方、有多少種、它們之間的關系及其與游戲的聯系，你還想研究什么？

生：我想研究有什么規律，這樣我們就可以推斷六連方有多少種了。

師：仔細觀察黑板上這張表，你有沒有發現什么規律？

生1：我發現n連方的個數=（n-1）連方的個數的2倍+（n-2）連方的個數。比如，四連方的個數就是三連方個數2乘2加二連方個數1，共5個;五連方的個數就是四連方個數5乘2加三連方個數2，共12個。

生2：這么看，六連方應該有12×2+5=29個。

師：真是這樣嗎？咱們得——（驗證）

師：這個研究起來比較復雜。我們可以先對這12種五連方——（分類）能分成哪幾類？

生：一字形一類、1+4一類、2+3一類、1+1+3一類、1+3+1一類，1+2+2一類。

師：由于這個工作量非常大，現在咱們來分工合作探究。4人小組分成兩個2人小組，分別完成3個五連方基礎上的“生長”。

出示共學活動三（如圖9）：

學生合作探究后全班交流，一組重點匯報。

生1：在一字形上添畫，從1號位到4號位有4種，從5號位到10號位就與之前的重復了。

生2：1+4類，第1幅圖可以在2、3、4、6、7、9、10、11、12號位添畫，共有9種;第2幅圖可以在4、5、10、11號位添畫，共4種。這樣我們兩人就找到了17種。

生3：2+3類，第1幅圖可以在1、3、4、5、6、8、9、10、11、12號位添畫，共10種。但在1、8號位添畫與第1小組的重復了，我們劃掉了。所以，只有8種。

生4：2+3類，第2幅圖可以在1、3、4、5、8、9號位添畫，但在1號位添畫與第1小組的也重復了，共5種。第3幅圖可以在1、3、10、11號位添畫，但1號位添畫與第1小組的也重復了，共3種。我們兩人共找到16種。

師生針對有質疑的圖形進行驗證交流。

師：六連方的探究才進行了一半，但我們已經可以推翻剛才的猜想了。

生：是啊！已經33種了，剛才的規律不靈了。 師：其實，探究看似才進行了一半，但勝利的曙光已近在咫尺。觀察圖形的特征，想一想，哪類圖形可能已經“生長”不出不一樣的六連方了？

生：我覺得1+3+1這一類可能已經“生長”不出了。我隨意試了幾個，都重復了。

師：確實如此，現在咱們只有在L形、W形上找答案了。這兩種五連方各自只能長出一種不重復的六連方了，猜猜可能是哪兩種。

出示所有六連方圖（如圖10），學生歡呼。

師：現在，咱們確定六連方共有35種，可以嘗試回答為什么正方體只有11種展開圖了。

生：只要逐一驗證哪些六連方能圍成正方體就可以確認了。

五、暢談收獲，延伸拓展（略）

【課后反思】

數學的教育功能不只在技術與工具層面，還在于文化熏陶與人格培塑層面。數學中蘊含的理性精神、積極情感、審美旨趣、文化意識、文化品格等都應當成為數學教育的價值取向。“整合數學”的課堂追求在育人高度上考量學科內、學科間、超學科的聯系與整合。本課在以下三個方面作出了努力：

第一，以多連方為載體，將數學內部的圖形變換知識一體化應用，設置具有挑戰性的任務，促進學生空間觀念的深度發展。平移、旋轉、軸對稱等變換，在探究多連方有多少種、辨析是否為同一種、分辨游戲與多連方的聯系與區別中都得到了豐富而靈活的應用。這是在小學階段全部學完幾種變換后的一次綜合應用，如何使學生基于已有經驗實現再發展是本課教學一個重要目標。我試圖基于操作并超越操作，遵循能想象不操作、能推理不操作的原則，充分調動學生觀察、想象、推理、驗證的積極性。當然，在模糊的地方還是要以實際操作來驗證。同時，注意引導學生深入理性分析層面把握圖形特征，為其想象圖形的位置關系、運動和變化提供有力的依據。在學生表達的過程中激發其他學生依據描述想象和理解，也旨在促進他們進一步發展空間觀念。

第二，在思想方法上，突出有序、分類、簡化等的一致性，促進學生形成“帶得走”的思考力。在實踐中，我欲擒故縱，面對挑戰性較強的問題，啟發學生自主尋找簡化的策略，在抓住基本操作方法的基礎上不斷邁進，一步步體驗成功，感悟“生長”的力量，自然體會到分類思考、各個擊破、縱橫比較的益處。探究過程中的有序思考、分解散點、小心驗證都讓學生體會到思想的巨大能量，在“縱向數學化”的道路上享受到柳暗花明、乘勝追擊、大膽猜測、求證糾錯的高峰體驗。

第三，打通游戲與數學的聯系，引導學生在“橫向數學化”的世界里自由穿梭，體會數學在游戲創造和規則設計中的價值。在課的高潮部分，學生發現原來游戲背后真的是數學，且由于規則的需要，數學的簡潔、抽象需要做一些讓步，學生驚嘆于這種聯系和區別。實踐表明，學生課外對七連方、八連方及其相關拼圖游戲的熱衷更彰顯出數學與游戲打通的巨大魅力。數學眼光、普遍聯系、模型應用等思想或意識也正潛移默化地成為學生素養的一部分。