數學思維的“道”與“術”：改變思考策略，促進思維轉化， 讓數學思維不止是“術”，更是“道”

趙金潔

摘 要：數學教學不僅僅是“術”的教育，更是“道”，即數學思維、數學邏輯的培養。就如何培養及引導學生的數學思維及邏輯，提升數學學習效率以及農村小學較大差異化的環境下進行思考題的教學進行具體分析。

關鍵詞：農村小學；數學化思維邏輯；數形結合

一、緣起

在博大精深的中國文化中，“道”與“術”的概念深深影響著一代又一代的中國人。老子曾說：“有道無術，術尚可求也。有術無道，止于術。”莊子曾說：“以道馭術，術必成。離道之術，術必衰。”《孫子兵法》說，道為術之靈，術為道之體；以道統術，以術得道。[1]數學，不僅僅只是簡單的算術，更是思維邏輯的培養。

在具體的教學中觀察到：人教版數學二年級上冊數學“廣角簡單的排列和組合”的教學中，對于3個數字可以組成6個兩位數，而三個人只能握3次手的現象，在教學過程中學生出現兩種截然不同的情況：部分學生的第一反應是3個人也會出現6次握手，而且其中有很多學生對此深信不疑；而也有部分學生很快就能得出正確的結論，并對此有良好的理解。目的是考查學生實際的理解程度，鼓勵其大膽發言，闡述自己的思路。然而回饋效果不甚理想。直到讓學生進行實際操作時，他們才發現確實是握3次手。而當把題目場景改成打電話時，依然有部分學生不理解，只有再次通過實際操作活動演示后才得以理解。因現場教學中出現這樣的情況，即增加了一道練習：10個人打乒乓球，每兩個人打一場，需要打幾場？通過前兩次的教學以及練習，學生慢慢掌握了解題的關鍵以及技巧。

出現這樣的情境，引起我對思考題教學問題的思考。新教材取消了獨立的應用題教學單元，而是放在“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”及“綜合與實踐”四大領域的相關模塊中，這樣的教學雖然可以清晰傳授每個知識點，但容易造成系統訓練的缺乏，不利于模型思想的形成。

其次思考題的教學在新授知識之后，它的存在與否并不影響單元教學的完整性。這會使部分教師選擇將少數看似不重要的內容刪除，從單獨知識點來說并不影響過多，而最后落實到學習方式上容易“就題論題”，學生對于解決問題的策略以及蘊含的數學思想難以領悟，其隱性價值也就無法實現。

對于解決問題的教學，最重要的是數學化，即通過教師講解的數學知識、技能和方法，逐漸形成自己的數學思想和方法，學會用數學的眼光看待事物，學會用數學的方法解決問題。[2]

任何一個有效教學必定要促進學生當下發展，同時要具有超越時空的穿透力，對學生長遠發展產生影響。因此，小學數學更應該重視數學思想方法、數學活動經驗等數學素養的培養，為學生的后續學習和可持續發展奠定基礎。對于解決問題的教學，我有以下幾點思考。

二、改變思考策略，促進思維轉化

（一）直觀演示，在活動中呈現，讓思維從障礙走向疏通

學生的認知能力的喚醒、思維能力的激活、知識技能的獲得、情感態度的提升、數感的發展都離不開足夠的資料，包括物質資料和文字資料等的支持。對于思考題的教學，學生只有“見多”才能“識廣”，從而促進思維的有效轉化。通過演示及練習，在實踐中領悟，即從量變到質變，從術到道的領悟。

【片段一】角的認識

在《角》的教學中，“角的大小與什么有關”這一內容教科書中并未明確指出，而在練習中會有出現。因此需要教師增加一個活動“做角”，引導學生玩“角變大變小”的游戲，引導學生一邊玩活動角一邊觀察：角的大小有什么變化？角的大小與什么有關，與什么無關？

“做角”這一活動使學生對角的認識由靜態向動態過渡，使得他們直觀地看到，兩條邊張開的越大，角就越大，張開的越小，角就越小。設計游戲活動，學生一掃前面長時間上課的疲累，開始興致勃勃嘗試動起來。即使不能概括出最終的知識點，當別的學生在老師的引領下得出結論時也能馬上獲得經驗。學生在玩中學，通過感知（感知角的大小變動）—表象（發現邊長不變的情況下角的大小在變化）—抽象（抽象出角的大小和張開的大小有關）—形成結論（角的大小和邊長無關，和兩邊張開的大小有關），在實踐活動中深刻建立了角的表象。

小學生的思維尤其是低段的孩子其思維發展主要是以具體形象思維為主。而活動可以讓學生“動”起來，從而讓學生的思維“活”起來。蘇霍姆林斯基也曾說：“兒童的智慧在他的手指尖上。”[3]通過活動學生本已乏累的腦袋得到了新鮮的血液，開始調節放松，何樂而不為？活動的價值也得以體現，學生經歷了、體驗了、收獲了知識，給解題帶來了新的思路。在此類題目的教學中，教師要從學生的角度出發，不要害怕活動浪費時間，或者害怕活動破壞課堂紀律，而是讓學生積極參與到課堂教學中，大大提高了學習的效率，避免后期不必要的重復練習，這在一定程度上也為課堂教學節約了大量的時間。

（二）數形結合，問題解決媒介化，讓思維從模糊走向清晰

《義務教育數學課程標準（2011年版）》把“符號感”改為“符號意識”，是新課標提出的十大核心概念之一。現行的小學數學教材也十分注意符號化思想的滲透，即使對一年級的學生也不例外，可以看到很多的數字符號、運算符號、圖形符號等。如教材中就有“□”或“（）”代替變量“x”，讓學生填適當的數，或者在天平秤上擺上物體顯示重量，然后用另一物體替代。隨著年級的上升，各種量的關系變化都是用字母表示，傳遞出大量的信息，把復雜的語言表述簡單化，以便于記憶和利用。除了有利于表述外，數學符號還有助于思維的發展。都說數學學習是思維的體操。

數學大師華羅庚教授說過：“……數缺形時少直覺，形缺數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休。”如“和倍問題”“和差問題”等。

【片段二】和倍問題

思考題：一個減法算式里的被減數、減數與差相加，得數是1000，已知減數是差的4倍，差是多少？

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當學生初次閱讀本題，很多學生找不到突破口，更有甚者完全無法理解題意。此類題型，數形結合，以圖形符號為媒介發現規律。此題初讀時雖知道減數與差的4倍關系，卻找不到其他關系。在滲透本題時，筆者在教學時適當放慢腳步，讓學生將分析題意與畫示意圖相結合，引導學生思考“1000”在本題中的作用，重復讀題以及畫出線段圖后，它們之間的內在聯系一目了然。通過線段圖掌握了它們的數量關系，隨之差和減數各是多少呼之欲出。這種解決思考題教學的新思路值得我們繼續實踐和探索。如“植樹問題”“上樓問題”就可以借助線段圖幫助學生理解，從而讓數學思維不止是“術”，更是“道”。

（三）豐富題型，舉一反三，讓思維從膚淺走向深刻

在講解一類題型時，教師可根據現實教學需要，培養學生的聯想創造能力，進行題目的改編。正如愛因斯坦所說：“提出一個問題比解決一個問題更重要。”讓學生根據原題中的數量關系進行改編，類似于我們的同課異構。通過類比，舉一反三，幫助學生分析理解，抓住學習數學思想這一本質。

【片段三】

練習：六一節表演節目，每兩個男生中間站一個女生，一共有8個男生，可以站幾個女生？

在練習時僅僅講解此題，學生的思維容易受到限制，僅僅停留于實物與圖形。教師在講解時可以適當增添該類練習。如：（1）如果把一根木頭據成10段，需要據幾次？20段需要據幾次？（2）小丁去樓下運水，從一樓運到九樓，一共運了幾層？（3）一串珠子按照一黑一白的順序排列，白色珠子有10顆，黑色珠子有幾顆？

借助課堂豐富各類題型，通過一類問題實現有效的建構，如借助“排隊問題”引出“上樓問題”“鋸木頭問題”“串珠子問題”等，發現“間隔數和點數之間的關系”的規律，最終實現知識的建構，讓學生的思維從膚淺走向深刻。

（四）建模型，思想方法一體化，讓思維從具體走向抽象

“模型思想”也是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的十個核心詞之一。從廣義的角度來說，數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關系式、圖表、程序等都是數學模型。[4]

小學數學教材的編寫有兩條線索：一是處于表面的知識；二是隱含于知識背后的思想方法。教師只有創造性地使用教材，變“教教材”為“用教材”，做到源于教材卻高于教材，這樣才能體會知識深處的數學思想方法。

“植樹問題”“上樓問題”都可以劃歸為“間隔數和點數的關系”問題。雖然在教學中，我們不能馬上用抽象的字眼——化歸來歸納，但是大部分學生通過親身經歷、體驗、感悟解題過程，基本上已經學會用自己的語言進行描述，在頭腦中留下了深刻的印象。隨著學習的過程，當再次遇到類似的問題時，他們沉睡的思維記憶就會被重新激活，就會抓住解題的關鍵，學生的數感也會得到一定的提升。因此，教師在遇到此類教學問題時千萬不能走過場，就題論題，應當下意識地抓住典型材料，把各個知識點連成線、線成面、面成體，逐步將知識結構立體化。在解題過程中，有意識地滲透數學思想方法，如化歸思想、建模思想、函數思想、極限思想、集合思想、優化思想、統計思想、分類思想等。

三、結論

教師在教學時切忌就題論題式地教學，要把對數學之“道”的培養融合在“術”的教學中。當學生出現理解困難時，針對不同的教學題型應該采取不同的教學策略，活動題型可以讓學生親身體驗其產生的過程，讓學生感悟及記住這一經歷，并以此將真正的思維邏輯印刻在腦中，真正變為己用。用數形結合理解數量關系的題型，教師可通過畫圖幫助學生理解，讓模糊的思維清晰化，并且舉一反三，拓寬學生的思維，架構題型之間的內在聯系，最終建模。

但要注意的是“道”的形成是一個長期的過程，需要教師在教學的過程中不斷地關注，有意識地去滲透，因人制宜地開展教學。尤其是筆者這樣的較發達地區的農村小學，學生兩極差異化明顯，如何在差異化中追求教育的平衡與發展，這值得我們一直不斷地探究。但通過這樣系統化的練習，想必學生會逐步形成自己的數學思想和方法，學會具體問題具體分析，學會用數學的眼光看待問題，用數學的方法解決問題，最終達到數學化。

參考文獻：

[1]孫武.孫子兵法[M].四川文藝出版社，2008.

[2]鄭文慶.思考題教學問題與解決策略[J].小學數學名師說課，2017.

[3]潘曉玲.小學數學思考題解決方法初探[J].課堂內外，2016.

[4]武國芬.經歷問題解決的過程，深入理解概念的本質[J].小學數學名師說課，2017.

編輯 高 瓊