函數重要性探究

于等軍

【關鍵詞】 數學教學;函數;重要性

【中圖分類號】 G633.6? 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2019）08—0119—01

函數和我們的生活息息相關，我們都見過天氣預報中的氣溫圖，這個圖就反映了一天中氣溫隨時間而變化的情形。象這種一個量隨另一個量而變化的現象，就屬于函數要研究的內容。在現實生活中，這種現象還有很多。如，郵費與貨物重量的關系、乘車費和距離的關系、購買水果和應付費的關系、工作時間和工作效率的關系等等。由此可見，函數的研究內容廣泛，而且和我們的生活息息相關。下面，筆者從三個方面說明函數的重要性。

一、函數在現實生活中的應用

同其他數學知識一樣，函數來源于實際生活，又能夠對實際生活起指導作用。在現實生活中遇到的很多問題都可以運用函數的知識和方法來分析解決。下面，通過例題說明。

例1 某農機租賃公司共有50臺收割機，其中甲型20臺，乙型30臺。現將這50臺聯合收割機派往A、B兩地區收割水稻，其中30臺派往A地區，20臺派往B地區，兩地區與該農機公司商定的每天租賃價格如下表：

（1）設派往A地區x臺乙型聯合收割機，租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金為y元，求y關于x的函數關系式;

（2）若使農機租賃公司這50臺收割機一天所獲租金不低于79600元，試寫出滿足條件的所有分派方案;

（3）農機租賃公司擬出一個分派方案，使該公司50臺收割機每天獲得租金最高，并說明理由.

分析：此題屬于函數的范疇，用函數知識分析解決。

（1）由于派往A地的乙型收割機x臺，則派往B地的乙型收割機為（30-x）臺，派往A，B地區的甲型收割機分別為（30-x）臺和（x-10）臺.所以y=1600x+1200（30-x）+1800（30-x）+1600（x-10）=200x+74000（10≤x≤30）.

（2）由題意得：200x+74000≥79600，解得x≥28.因為10≤x≤30，x是正整數，所以x=28、29、30，則有3種不同分派方案：

①當x=28時，派往A地區的甲型收割機2臺，乙型收割機28臺，余者全部派往B地區;

②當x=29時，派往A地區的甲型收割機1臺，乙型收割機29臺，余者全部派往B地區;

③當x=30時，派往A地區的甲型收割機0臺，乙型收割機30臺，余者全部派往B地區;

（3）（略）

二、函數在相關學科中的應用

唯物辯證法認為，事物之間存在著普遍聯系，函數與某些相關學科之間同樣也存在著聯系。比如，物理學中的壓力一定時，壓強和受力面積的關系;在彈性極限內，彈簧形變的程度與受力大小的關系等，都是函數關系，而且物理學中很多定律都是用函數關系式表示的。還比如，足球比賽運動員挑射后的足球運動路線和建筑學上某些橋梁的橋洞及某些建筑物的大門都是二次函數的圖象拋物線形狀的。下面，例題說明。

例2 行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，還要繼續向前滑行一段距離才停止，這段距離稱為“剎車距離”。為了測定某種型號汽車的剎車性能（車速不超過130km/h），對這種汽車進行測試，測得數據如下表：

（1）y是x的函數，估計函數的類型，并求出函數解析式;

（2）該型號汽車在國道上發生了一次交通事故，現場測得剎車距離為46.5m，請推測剎車時的速度是多少？請問在事故發生時，汽車是超速行駛還是正常行駛？

分析：（1）設y與x之間的函數關系式為y=ax2+bx+c，由題意，得c=0，1.1=100a+10b+c，2.4=400a+20b+c，解得y與x之間的函數關系式為y=0.001x2+0.1x.

此外，函數知識和方法在醫學、統計學、航天航空、交通監理等多種學科上都有重要的應用。因此，學好了函數，就為學習其他學科打下了堅實的基礎。

三、函數在數學學科中的應用

在數學各部分內容中，函數與方程、導數、不等式、數列等都有密切的聯系，甚至某些幾何證明與計算的問題也可以用函數知識來解決。函數在數學體系中處于核心地位，有著極端重要的作用。因此，每年中考、高考都把函數內容作為重點考察范圍，且大多作為壓軸題出現。下面，例題說明。

例3 已知函數f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1;

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個零點，求a.

分析：（1）當a=1時，f（x）≥1等價于（x2+1）e-x-1≤0.

設函數g（x）=（x2+1）e-x-1，則g′（x）=-（x-1）2e-x.

當x≠1時，g′（x）<0，所以g（x）在（0，+∞）單調遞減.

而g（0）=0，故當x≥0時，g（x）≤0，即f（x）≥1.

（2）（略）