從能力到思維

張慶宣

[摘要]小學數學的教學離不開計算思維的培養，計算思維就是基于可計算的手段，以定量化的方式進行的思維過程。培養小學生的計算思維是信息化時代對數學教育的合理訴求，是發展學生未來核心素養的必然選擇。數學運算是當前中小學數學學科核心素養內容之一，有利于促進學生數學學習效率的提高。文章結合教學實例，在新知學習中要在演繹推理中讓學生理解算理，在合情推理中掌握算法;在新知應用推廣中以一題多解發展計算思維，在靈活解決問題中發展思維。

[關鍵詞]小學數學;運算能力;運算思維;數學運算

作為數學學科素養內容之一的數學運算，如何在數學教學中有效滲透這種核心理念內容成為當下核心素養時代的教師需要關注的熱點之一。數學是中小學的重要工具學科，許多學生由于沒有正確掌握數學學習方法，導致茫茫然不知所措。運算能力主要是指能夠根據計算法則和運算定律正確地進行運算的能力。數學教育中的計算思維，是指從計算角度思考問題，把問題數量化，化歸或遞歸為可計算的問題，用數據來進行推理。在學習數學的時候，教師需要引導學生學會如何掌握數學運算，掌握數學計算方法，發展數學能力，以及養成良好的數學學習習慣，從掌握數學學習方法進而形成綜合學習的能力。培養小學生的運算能力不但能幫助他們理解計算的算理，而且能促進他們尋求合理簡潔的運算途徑，從而解決問題。因此，在計算教學中既要注重計算能力的培養，更要關注學生思維能力的發展。

一、學習新知中培養運算能力

美國教育家杜威說過：“教學決不僅僅是一種簡單的告訴，教學應該是一種過程的經歷，一種體驗，一種感悟，而經驗是體驗的基礎。”在當前核心素養教育時代下，小學數學教師應該從教育發展的特點出發，根據學生的心理不斷發展的特征，在教學中融入更多的動態因素，讓孩子既學習已有的數學知識，又發展新的數學知識。

1.演繹推理中弄清算理

數學學習過程中，學生不但要知其然而且要知其所以然。在計算教學中，學生只有弄懂算理，對算法才有深刻印象，否則，只能依葫蘆畫瓢地計算。算理是計算的依據，是算法的基礎，能解決“為什么這樣算”的問題。算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和可行性。

2.合情推理中掌握算法

算法就是運算的方法，是由算理抽象、概括而來的運算方法，包括運算順序、運算法則和運算律。算法為學生正確、簡潔、靈活地進行運算提供了適當的操作方法，有助于學生提高運算速度。教學時，算理和算法是一枚硬幣的兩個面，兩者相輔相成。小學數學教學中的算法一般通過合情推理獲得的。

（1）歸納推理中概括法則

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（2）類比推理中推廣運算律

運算定律是小學生數學計算時常用的知識，應用運算定律能使學生的計算比較快捷、簡單。整數加法和乘法中的運算律學生是通過不完全歸納得到的，但這些運算律在小數、分數中的應用是學生通過類比推理獲得的。類比推理是從特殊推向特殊的推理。教學“整數乘法運算定律推廣到小數”時，學生觀察三組算式“0.7×1.2○1.2×0.7”“（0.8×0.5）×0.4○0.8×（0.5×0.4）”和“（2.4+3.6）×0.5○2.4×0.5+3.6×0.5”，發現每組算式的結果都是相等的，從而發現整數乘法的交換律、結合律和分配律對于小數乘法也適用，從而為小數乘法簡便計算奠定了基礎。

張景中院士認為：“數學中的畫圖和推理歸根結底都是計算。推理是抽象的計算，計算是具體的推理，圖形是推理和計算直觀的模型。”培養學生的運算能力，無論是否借助圖形幫助學生數形結合理解算理、掌握算法，都離不開推理，都要有意無意中應用推理，反過來，如果學生的推理能力比較強，對學生理解算理、掌握算法也是有促進作用的。

二、應用新知中發展計算思維

數、量、形和關系是數學的四大內容，教師要培養學生的數學思維，需要考慮到學生在數、量、形和關系方面的發展特點。數學是按一定的邏輯而存在的，其具有一定的機械性。學習數學的過程不應該是機械的，盡管也是按照數學的規律進行的，但是學習應該是動態的，是不斷變化和發展的。畢達哥拉斯認為“萬物皆數”。既然有了數，就會有計算。從計算出發思考問題就是一條很好的思路。隨著信息技術的不斷發展，計算思維終將會成為時代思維的主要方式和手段。因此，教師要在教學中有意識地培養學生的計算思維。

1.一題多解中發展計算思維

一題多解就是教師或學生對同一個問題用不同思路和不同方法進行分析與解答，實現異曲同工的解題效果。一題多解不但能促進學生靈活思考，而且能培養學生綜合應用所學數學知識和其他學科知識解決實際問題的能力，對學生構建知識網絡、開闊視野、發展思維、提升數學素養也很有好處。運算，尤其是簡便運算中有很多題目是可以一題多解。教師要根據教學需要和學情恰當引導學生一題多解，并進行方法最優化。

學習整數乘法運算定律在小數乘法中的應用后，學生需要計算4.8×1.25。有的學生列豎式計算;有的學生根據乘法分配律這樣計算：（1）4.8×1.25=（4+0.8）×1.25=4×1.25+0.8×1.25=5+1=6;（2）4.8×1.25=（1+0.25）×4.8=1×4.8+4.8×0.25=4.8+1.2=6;（3）4.8×1.25=（5-0.2）×1.25=5×1.25-0.2×1.25=6;有的學生根據乘法結合律這樣計算：（1）4.8×1.25=4×1.2×1.25=（4×1.25）×1.2=5×1.2=6;（2）4.8×1.25=6×0.8×1.25=6×（0.8×1.25）=6×1=6;（3）4.8×1.25=0.6×8×1.25=0.6×（8×1.25）=0.6×10=6。不同的學生從不同思路進行計算，最后的結果都是6。本題的核心是解題策略的多樣化，因此，在教學中需引導學生對這些方法進行比較，比較不同方法間的異同點，體會簡便計算的關鍵是根據數據的特征找到合理的方法，培養數學思維的靈活性。

教學中，我們在關注方法多樣化的同時，需要進一步關注不同方法背后的算理支撐，理解算法背后的運算定律，從而更好地理解運算定律的內涵。如果把4.8拆成0.8×6或8×0.6，再用0.8或8與1.25相乘，再乘6或0.6，是依據乘法結合律。如果是把4.8拆成4+0.8或5-0.2，再與1.25相乘，是依據乘法分配律。讓學生通過比較進一步明確，同一道題目，同樣是應用運算定律，但不同的應用方法計算過程也是不一樣的。通過對比讓學生發現在應用運算定律進行簡便計算時，首先要注意運算定律的合理運用，其次要注意計算方法的合理選擇。

一題多解并進行方法多樣化，有助于學生養成簡便計算的習慣，形成能簡便計算就簡便計算并爭取方法最優化的計算思維。這樣允許學生在簡便計算時有不同的理解，不同的方法，體現不同的計算思維，為學生構建屬于自己的數學素養提供了選擇，一題多解的訓練有助于發展學生的數學思維，提升學生的解題能力。

2.靈活解決中發展計算思維

解決實際問題離不開計算。教師要根據教學內容引導學生靈活解決實際問題，并在解決實際問題過程中發展學生的計算思維。例如，把一個禮品盒（如圖4）用紅帶子扎起來，這根彩帶長多少厘米？（打結的紅帶長15厘米）學生一般用（20+8+10）×4-20×2-8×2+15=111（厘米）或（20+8+10）×4-（20+8）×2+15=111（厘米），也有的學生通過觀察發現“彩帶長=2條長+2條寬+4條高+結頭”，列式為20×2+8×2+10×4+15=111（厘米），也有學生是這樣列式的：（20+10）×2+（8+10）×2+15=111（厘米）。學生把彩帶分成2個長方形計算周長后再加上打結的彩帶長度。不同角度思考問題體現了學生不同的計算思維。

對一般問題而言，學生的計算思維和運算能力之間的差距也許并不明顯，對非常規思維解答的問題而言，就能明顯體現出學生的計算思維的層次了。例如，學習了圓的面積后，有這樣一道習題：正方形的面積是8平方分米，你能求出圖（如圖5）中陰影部分的面積嗎？從表面上看，小學生解決不了這個問題，因為求扇形面積要用到圓的半徑，也就是正方形的邊長，而題目里只有正方形的面積是8平方分米，似乎要用到初中開平方的知識。其實，小學知識也能解決這個問題。如果把左圖轉化為右圖，圓半徑的平方就是正方形的面積。因此，如果設正方形的邊長為r厘米，也就是圓的半徑為r厘米，陰影部分的面積就是“半圓的面積-三角形的面積”，可以列式為π×r2÷2-2r×r÷2=π×r2÷2-r2=0.57×r2=0.57×8=4.56平方厘米。也有的學生這樣思考，陰影部分的面積就是“正方形的面積-2個空白部分的面積”，而1個空白部分的面積=正方形的面積-1/4圓的面積。列成綜合算式為：8-2×（8-3.14×8÷4）=4.56平方厘米，如果學生能想到這樣的方法進行解答，就說明學生能把計算轉化為推理了。這樣引導學生認識計算和推理的關系以及由計算發展到推理，從計算角度思考問題，把問題數量化，轉化成可計算的問題，用數據來進行推理，對培養學生的計算思維和推理能力都是非常重要的。

3.游戲活動中發展計算思維

運算能力的培養與發展是一個長期的過程，運算能力的培養不僅包括運算技能的逐步提高，還應包括運算思維的提升。要使學生運算得既對又快，在計算教學時可以采用以游戲的形式展開數學活動，既符合學生的心理特點，又能激發學生的學習興趣，教學時要充分利用好游戲活動的數學價值。

在日常教學中，大部分教師都在抱怨計算課枯燥無味，學生不愛聽，不愿算。運算能力作為學生一種重要數學素養，如何進行適時、適度、適量的訓練？首先要把好口算關，口算訓練重在練習，貴在堅持。在計算教學時，堅持每天課前5分鐘的口算訓練，采用的形式可以是開火車、對口令、找朋友等游戲式的練習形式，這樣寓算于樂，口算時要求學生做到耳聽、眼看、口說、心記，這樣多感官參與計算活動，既訓練口算的反應速度，又及時鞏固計算的方法。在口算訓練中，我時常還穿插一些能夠簡便計算的題目，使學生熟練地運用運算定律、法則、公式、性質等進行口算。如看到455-36-64，學生就能直接說出455-100，看到33×66+67×66，就能直接想到66×100，看到420÷3÷14，就能直接想到420÷42。通過訓練，學生在思考過程中頭腦會浮現關鍵的步驟，主動的省略非必要的過程，使計算自動化，做到脫口而出，達到培養學生計算思維之目的。運算能力的形成不是一蹴而就的，應該循序漸進、螺旋上升，應該貫穿教學活動的全過程。在計算教學時，除了堅持課前的口算訓練，課后我還經常布置一些游戲類的題目讓學生訓練。

總之，對小學生而言，培養學生的運算能力非常重要，發展學生的數學思維更是為了學生的未來著想。一般情況下，二者的區別不太明顯，但在解決沒有固定思考模式的問題過程中，兩者的區別比較明顯。計算思維是信息時代人人要掌握、處處要應用的一種基本思維方式，不但能幫助人們解決生活中的實際問題，而且能幫助人們管理日常生活，方便人與人之間交流與互動。從小學開始，從小學生的運算能力入手培養學生的計算思維，培養學生從計算角度思考問題和分析數量關系非常重要，是教師培養學生核心素養，為他們未來發展謀的大“福利”。

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（責任編輯 陳始雨）