芻議“基本圖形”在初中幾何教學中的應用

包賢明

摘要：與小學數學相比，初中對平面圖形學習從簡單的、靜止的、直觀的慢慢轉變成了復雜的、運動的、抽象的。其研究的難度和深度都有了大幅度提高，這對于學生的思維表現能力和邏輯發展能力也都有了更高的要求，在這種情況下，我們應更加重視“基本圖形”的教學和深度挖掘，并引導學生對幾何題型探索和解題方法提煉，可以較為有效地進行數學教學。

關鍵詞：基本圖形;初中數學;平面幾何;數學學習

中圖分類號：G633.6 ? 文獻標識碼：A ? 文章編號：1992-7711（2019）01-0014

一、平面幾何的學習現狀

初中數學平面幾何主要研究圖形的形狀、大小和性質，和小學數學相比，其研究難度和深度都有了大幅度提高，圖形學習從簡單的、靜止的、直觀的慢慢轉變成了復雜的、運動的、抽象的。這對于學生的思維表現能力和邏輯發展能力也都有了更高的要求，數學學習也追求“活學活用”，創新多變的“新穎”題目也不斷出現，這也引導著數學幾何的變革方向。那么，在平面幾何教學中，有沒有更加高效的方法呢？有沒有方法可以讓學生能更好地理解抽象的數學幾何概念定理？筆者認為，在數學教學中，應更好地發揮“基本圖形”的引領作用，引導學生整理歸納各類“基本圖形”，揭示它背后所蘊含的數學知識和提煉解題方法，可以較為有效地開展數學教學。

二、解決的策略

1. 建立“基本圖形”與幾何知識的雙向關聯

在教學過程中把基本的定義定理以“基本圖形”的形式反映出來，建立最基本的基本圖形庫，要讓學生一想到幾何知識就聯想到與之相關的幾何圖形，看到幾何圖形就想到相應的幾何知識，改變那種把性質定理的文字表述與圖形割裂開的學習方法。

建立“基本圖形”與幾何知識的雙向關聯，是分析解決問題的先決條件，沒有這種基本的關聯，訓練思維能力就缺少了必要載體。如一提到平行線的性質和定理就聯系到“三線八角”基本圖形，一提到垂徑定理就聯想到右圖基本圖形，這種“基本圖形”本身就是“定義定理”的組合部分，它是教師傳授幾何知識的載體，也是學生加深概念印象和靈活運用幾何定理的“圖示”。

2. 歸納整理各類習題中出現的“基本圖形”

盡管數學練習千變萬化，但是絕大多數題目都能從中提煉出一些基本元素，教師在教學中幫助學生梳理、提煉這些“基本圖形”，遇到問題時分離這些“基本圖形”，在“基本圖形”殘缺時，構造“基本圖形”，可以以這些“基本圖形”為載體，培養學生的空間想象能力，分析推理能力。

當然，這種整理歸納不僅是對“基本圖形”的提煉，也包括揭示各圖形之間的聯系和區別，把各個基本圖形置于網狀結構中系統排布，讓學生感知各知識板塊之間的變化和聯系。

如下圖是三角形和角平分線結合下的“基本圖形”，其圖形變化一脈相承，而結論運用也簡練方便。在△ABC、飛鏢形、八字形中，BI、CI分別是內或外角平分線，∠BIC與其余各角分別有以下的關系：

3. 注重對“基本圖形”的提煉，滲透數學思想方法和解題技巧

如果說教學和看書一樣都經歷由薄到厚、再由厚到薄的過程，那最后的“薄”就是“基本圖形”，而很多幾何題型都是以一個或幾個“基本圖形”按照一定的“組織形式”而形成的，這些基本圖形承載著題型的考點內容和解題方向。這些圖形存在某種類似，但求證的結論有所不同，而其解法和技巧基本都是一致的，同時這類題型所演變的大量題目的解題技巧基本都是一致的，這類題完全可以歸為一類。

4. 整理與“基本圖形”有關的幾何輔助線的常規添法

通過添加“輔助線”解題是學生解題的難點，但是“常規輔助線”的添加也正是基于“基本圖形”的基礎之上，系統研究幾何基本圖形，可以讓學生根據考題信息檢索到考點知識以及與考點知識所對應的圖形，從而自然而然添加輔助線。

在解決與圓有關的問題時，常常需要添加適當的輔助線，架起題設和結論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，例如：（1）見弦作弦心距;（2）見直徑作圓周角;（3）見切線作半徑。而這三種輔助線添法，對應著如下三個“基本圖形”。

三、“基本圖形”對教學的作用

1. 有利于學生解題思維的發展

在初中數學幾何中，“基本圖形”就像一塊塊“預制板”，是數學幾何大廈的基本模塊。通過掌握“基本圖形”，學生既可以理解數學知識的由來，也可以掌握性質定理所衍生的推論以及習題中所常用到的基本結論。學生學習的核心在于“解題能力”的提升，如果學生能掌握“基本圖形”，對其解題思路的拓展都有著積極作用。

2. 有利于解題時探求思路拓寬條件

“基本圖形”是和數學知識的雙向關聯，每個基本圖形都對應著一類幾何知識，并且其背后的結論也都是固定的，事實上，幾何“題型”很多都是幾個“基本圖形”的組合應用，只要我們能挖掘每個“基本圖形”背后的探究思路就能大致理出這類“題型”的解決方向。“基本圖形”對學生解題思路的拓展也體現在“輔助線”的添法上，這也是我們研究的重點。

3. 有利于學生構建網狀的幾何知識體系

數學教學主張在網狀的知識結構圖中進行聯系教學，而幾何基本圖形之間的承接和變化都是一脈相承的，并且“基本圖形”可以幫助學生整合題型，這有利于學生對數學知識點進行分類檢索，符合建構主義理論。

4. 有利于讓學生深入感受數學思想方法

數學教學的核心在于思想方法的滲透，對于很多學生而言，思想方法是空洞無物、束之高閣的，而細心研究幾何“基本圖形”，既可以感受大量的“數形結合”思想，也可以從圖形的演變過程中感受“類比遷移”“化歸”等重要思想，并且很多幾何題目輔助線的添法或者解題方法本身就是數學思想方法推導下的產物，如角平分線的解題思路在于“對稱”的思想方法。

5. 有利于促進教師的成長

優秀教師不僅需要具有專業的數學知識、心理學教育學，更需要理解數學知識內部的聯系和區別，必須具有一定的教學高度，才能整合知識、高屋建瓴，讓學生自然而然地掌握所學知識，做到水到渠成。數學幾何“基本圖形”是數學抽象符號、定義定理的直觀圖形，對于教師而言，每個圖形都對應著相應的教學知識點。在幾何教學中，探究這些“基本圖形”對教師成長都有著積極的作用。

綜上所述，教師在平時的數學教學中應更加重視“基本圖形”的教學，在課堂上或習題課中，教師應有意識的對平面幾何基本“圖形”進行整理、挖掘、引導學生歸納、提煉解題方法等，這對學生的數學學習，尤其是平面幾何的學習，為學生建立平面幾何知識體系，形成數學思想方法有著積極而深遠的意義。

參考文獻：

[1] 吳曉華，談基本圖形在初中幾何教學中的應用[J].學科活動，2014（5）.

（作者單位：浙江省桐鄉市烏鎮中學 ? 314500）