新課程背景下淺談數學核心素養之數學抽象的培養

張君

摘 要：數學是源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，理解和表達世界中事物的本質和規律。2017版的《高中數學課程標準》所提到的數學核心素養其包含的第一點就是：數學抽象，抽象就是把握住不同現象的共同點，將這個共同點所體現的問題解決掉，從而解決一類問題乃至幾類問題，它體現了數學的本質，貫穿于數學發展、應用的始終。

關鍵詞：數學抽象;數學概念;概念課;函數單調性;教學設計

數學研究的是抽象的概念并加以運用，事實上學生在高一、高二時學習的數學其主體內容就是數學概念，而數學概念是所有數學題目的來源、前提和邏輯基礎，所以必須重視數學概念課的教學。數學概念的得出絕不是教師灌輸的結果，概念應該是學生作為主體對某個知識點由直觀到抽象的結果，與此同時，將具體事物抽象的越深入，那么抽象出來的定義和方法就更具有解決問題的普遍性。抽象主要包含兩點：一是找對象間的關系（找共性），二是建立數學模型（發現一般規律，解決問題），但是學生在學習的過程當中往往缺乏抽象的能力，不能把直觀的現象抽象成結構和規律，更不用說舉一反三加以應用。以下是筆者以人教A版高中數學必修一第一章第三節《函數的單調性》的教學設計片斷為例，淺談關于在數學概念課中怎樣幫助學生提升數學抽象素養的一點想法。

一、基本情況分析

教材在單調性的前一節的內容是函數的定義，學生已經知道函數的概念以及函數的表示方法，知道函數是表示物體變化規律的數學模型，掌握了函數的變化規律也就掌握了物體的變化規律，因此在求了函數的定義域之后入手研究函數的變化規律以及如何求函數的值域就勢在必行。研究函數的單調性承載著研究函數變化規律、求函數值域的重要使命，也直接為之后學習指數函數、對數函數、冪函數等函數建立研究模型，單調性是函數中最為重要的性質之一，這就需要學生對單調性本身有透徹的理解。但是學生在初中學習的函數相關的描述基本以靜態為主，他雖然已經具備了通過幾何直觀把圖形語言歸納為“ 隨 的變化而變化”的自然語言的能力，但是還未能掌握把“ 隨 增大而增大”或者“ 隨 增大而減小”抽象為數學的符號語言的能力，也尚未掌握把“無限”轉化為“有限”的能力，對“任意”的理解也還不夠到位，這就需要教師精心設計教學環節，引導學生通過幾何直觀，運用數形結合的數學方法，去探索單調性的本質，抽象出單調性的定義，并能夠運用單調性的定義判斷、證明函數的單調性。

二、教學目標

1、能夠理解并抽象出函數單調性的概念，能夠利用定義判斷、證明函數單調性。

2、培養學生數學抽象的核心素養。

三、教學過程設計片段

（一）創設情境，引入課題

師：著名的艾賓浩斯遺忘曲線，反映了人類大腦對新事物遺忘的規律，大家說說看，它反映了我們大腦記憶的什么變化規律？

生1：說明我們記憶力會下降，能記住的內容會越來越少。

師：能不能說的詳細一點？如何描述記憶力下降這一變化規律？

生1：隨著天數的增加，人所能記住的內容越來越少。

師：是的，記憶力下降就是隨著天數的增加，記住的內容反而減少了，所以古人云：溫故而知新其實是符合我們的認知規律的。

設計意圖：概念的獲得本就是從直觀到抽象的過程，把知識點承載到情境里既貼近生活又有實際意義，學生在觀察艾賓浩斯遺忘曲線之后，聯系生活實際，很自然地就可以把下降的變化趨勢描述為記憶力隨著日子的增加而降低，為函數單調性中“y隨x的增大而增大”、“y隨x的增大而減小”的表述做好鋪墊。

師：請大家觀察以下函數，作圖并指出其圖像變化趨勢或者變化規律。

例1.f（x）=x;2.f（x）=-2x+1;3.f（x）=x2

（畫圖過程略）

生2：f（x）=x的圖像呈上升的趨勢。

師：請具體描述一下何謂上升的趨勢？

生2：隨著x的增大，y的值也增大。

師：確實，隨著x的增大，f（x）的值也增大，那么函數f（x）=-2x+1呢？

生2：它的圖像呈下降趨勢，隨著x的增大，f（x）的值反而減小了。

師：那函數f（x）=x2呢？

生2：f（x）=x2它的圖像先下降后上升，也就是說在（-∞，0）上f（x）隨x的增大而減小，在（0，+ ∞）上f（x）隨x的增大而增大。

師：很好，這就是函數的單調性，如果一個函數f（x）在某個區間D上滿足f（x）隨x的增大而增大，我們就說函數f（x）在區間D上單調遞增，是增函數，區間D是函數的增區間，同理，如果它在另一個區間E上滿足f（x）隨x的增大而減小，我們就說函數f（x）在區間E上單調遞減，是減函數，區間 是函數的減區間。大家想象一下，如果函數f（x）在某個區間上先單調遞增后單調遞減，那函數在這個區間上有什么值？

學生集體回答：最大值

師：是的，所以如果我們掌握了函數的單調性，不僅可以知道函數的具體變化趨勢，還可以直接求出函數的值域，所以單調性是函數很重要的一個性質。

設計意圖：一方面強化單調性的本質是研究“f（x）隨 變化而變化的規律”，另一方面，通過具體例子讓學生潛移默化地知道函數的單調性是局域性的，不一定是整個定義域里都單調，幫助學生全面理解單調性定義。

（二）抽象概括，突破難點

師：那若已知函數y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，那f（1）和f（2）相比哪個值大？

f（2）和f（3）相比呢？

生3：因為f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，1<2，所以f（1）

師：那如果反過來，如果函數y=f（x）在（0，+∞）上單調遞減呢，那f（1）和f（2）相比哪個值大？f（2）和f（3）相比呢？

生4：因為f（x）在（0，+∞）上單調遞減，所以x取值大的函數值反而小了，因為1<2，所以f（1）>f（2），同理f（2）>f（3）。

師：大家能不能就增函數為例把這個現象用數學語言概括一下？

生5：如果函數在某個區間上為增函數，只要a

師：那如果在區間上為減函數呢？

生5：如果函數在某個區間上為減函數，只要af（b）。

設計意圖：潛移默化地讓學生知道利用函數的單調性是兩個數字比大小的常用方法，另一方面利用具體兩數比大小幫助學生抽象出以“若af（b）”來描述減函數。

師：反之，如果函數f（x）在區間[1，4]上滿足f（2）

生6：不能，比如（略）。

師：我們把條件改為f（1）

生6：不能，比如（略）。

師：我們把條件改為在區間[1，4]有n個數，滿足x1

f（x1）

生6：不能，比如（略）。

師：那如果改成無數個呢？

這個時候有很多學生認為可以，此時教師讓持反對意見的學生回答反對的理由，并強調無數不等于所有。

師：對的，“無數”不等于“所有”，從這“無數”個里面我們取相鄰的兩個，再用放大器把這兩個數字之間的區間放大，顯然還有無數個函數值無法比大小，那么到底如何用數學符號來描述函數在f（x）在區間D上單調遞增？請大家以小組為單位，統一小組意見后，我們一起展示大家的意見。

設計意圖：拆分、剖析“在某個區間上，f（x）隨著x的增大而增大”，把定義細化，以便學生全面理解函數單調性的定義，強化學生對“所有”的理解，同時引發了學生的認知沖突，調動了學生鉆研定義的積極性。

師展示學生某小組研究的成果：在區間D上，只要x1

師：這里的兩個數x1，x2是確定的嗎？

生7：這兩個數是不確定的，我們可以任意選擇。

師：那能不能再斟酌一下，如何精準地用符號語言描述增函數的定義？

生7：在區間D上，任取兩個數x1，x2，若x1

師：非常好，有限個哪怕無限個自變量x滿足x1

然后繼續叫學生用數學符號語言描述減函數的定義。

設計意圖：這一段是本節課的難點，學生在用數學符號語言描述單調性定義的時候經歷了“從2個——有限個——無限個——所有——任意兩個”的構建經歷，對高一新生而言是一個不小的挑戰，需要教師層層設計精心提問，引導學生由直觀抽象出單調性的本質。

師：請同學們結合剛剛研究過的幾個函數思考一下這個單調區間D和函數定義域是什么關系？

生8：單調區間可以是整個定義域，也可以是定義域的某個子集。

師：既然單調區間可以是整個定義域，也可以是定義域的某個子集，請結合剛剛我們對單調性定義的研究總結一下增函數以及減函數的完整定義

生8回答，師板書定義。

設計意圖：再次強調函數的單調性具有局域性，單調區間不等同于定義域，鞏固單調性定義。

例2：接下來請同學觀察函數 的圖像，根據圖像回答以下問題：

⒈該函數在定義域里單調嗎？

⒉請說出它的單調區間

學生回答過程略。

設計意圖：學生通過觀察圖像很容易把反比例函數兩條分支各自單調遞減誤解為在整個定義域上為減函數，實質上還是因為對函數單調性的定義其本質理解不夠到位，此時就需要教師多提問學生多啟發學生，使學生明確判斷函數在某個區間上是否單調必須嚴格按照定義出發，定義是檢驗單調與否的根本標準，強調解題必須立足于定義，而證明不單調只需舉個特例就行。同時使學生明確單調區間不能用并集表示。

（三）探索應用，加深理解

師：剛才我們研究了單調性的定義，那拿到一個陌生函數，大家說說看我們可以通過哪些方法來判斷該函數在某個區間上的的單調性？

生9：如果有圖像，那就可以通過圖像直接判斷，如果沒有圖像可以通過定義判斷證明。

師：通過圖像我們判斷出函數 在區間（0，+∞）上為減函數，下面請大家以小組為單位討論如何用單調性定義來證明這個結論。

該題學生證明過程略，學生在經過了小組討論后來證明結論相對簡單，然后請一位同學總結從定義出發證明函數單調性的基本步驟：

1.設值：在給定區間上任取兩數x1，x2，且x1

2.作差：f（x1）-f（x2）

3.變形：基本方法有通分、因式分解、配方等

4.定正負：判斷f（x1）-f（x2）的正負

5.下結論

設計意圖：使學生明確判斷單調性的辦法是直觀函數圖法像或定義法，之后叫學生通過小組討論解題后總結用定義證明單調性的基本步驟，實質上就是學生對單調性定義的再一次抽象并加以應用的過程，所以要養成學生適時總結的習慣。

四、教學小結、反思

本節課的教學目的非常明確，就如何引導、啟發學生通過觀察圖像到認識函數值隨自變量變化而變化的規律再到具體函數值比大小到最后抽象出函數單調性的概念，以及如何利用單調性定義證明函數單調性而展開，提升學生數學抽象這一核心素養的教學目標貫穿整堂課的始終。學生在經歷了情景導入，直觀抽象，探索運用的幾個環節之后，對函數單調性的定義應該說有了整體、系統的認識及掌握。

在應試教育中，無論是老師還是學生都在分數與時間的壓力下負重前行，高中三年，有很多老師、學生都想通過題海戰術來提升數學成績，但是我隨著接觸的孩子越多就發現很多孩子其實很努力但是根本不會學習，他拼命刷題但是任然對知識一知半解，題目稍微變一變就又不會做了，所以我認為在教師層面提升學生數學成績最根本有效的方法就是提升學生的抽象思維的能力，因為抽象思維能力決定學力的高低，真正拉開學霸與普通學生間的差距的也正是抽象思維能力的高低。而如何通過課堂教學提高學生的抽象思維能力、讓學生從根本上認識數學并利用知識解決問題，這就需要教師牢記使命的同時提升自身的教學水平，精心備課服務于學生。數學概念是所有數學題目的來源、前提和邏輯基礎，也是對數學現象的溯源以及抽象，所以必須重視數學概念課的教學。以下幾點是我以數學概念課為例，如何提升學生的抽象思維能力的一點想法，歡迎老師批評指正。

1、由具體情景引入新課。抽象不是憑空出現的，它絕大部分來自于直觀，這就要求教師在引進新概念時要尋找、設計貼近生活的、有典型意義的例子或情景，讓學生帶著興趣去觀察、比較，然后從這些常見的例子發現其含有的共性，以便從這些共性中抽象出概念的本質。

2、必要時可以選擇導向型教學。針對比較復雜的概念，當學生還不具備抽象能力時，教師可以通過具體問題引導學生從某個角度入手，建立一定的研究模型，通過某種模式分析因果和統計數據來得出最終的結果，從某種角度來講利用模型研究更為快速、有效，因為它具有明確的導向性。如本堂課，高一新生很難直接抽象出通過在給定區間上任取兩數比較其對應函數值大小來體現單調性的本質這一技巧，所以筆者就在學生嘗試用數學符號語言來描述單調性的定義以前，就引入了反復運用單調性來比兩個數的大小這個教學片斷，有意讓學生建立可以通過兩個數比大小這個模型來定義單調性的意識。

3、加強定義要素的結構訓練。數學的概念、定義是用最精煉的語言描述一件事物，它沒有一個字是多余的，所以教師備課時一定要精讀、細解定義，精心設計教學環節引導學生把定義拆解、細化，拆分地越細致學生思維就越嚴謹，內化知識就越徹底。

4、知行合一。學習概念定義最簡單的驗證的方法就是讓學生用自己的話把這個概念或者定義復述清楚，如果能夠復述清楚的，那么就說明基本懂了，如果復述不清楚那么應該沒有掌握 。在運用一個概念定義解題前連定義本身描述的是怎樣一件事情都說不清楚又何談掌握呢？解題就是知行合一，能夠說清楚是最簡單的行，知而不行就是未知。

5、必須培養學生養成及時總結、歸納的習慣。通過總結歸納，可以把已有的知識點聯系起來，梳理整齊形成體系。總結歸納的本質是對知識的深度思考，深度思考不僅使學生對該知識點記得更牢而且運用得更靈活自如，很多時候成績好的學生確實比成績較差的學生更擅于總結歸納。

數學的教育不只是灌輸數學方法，比如歸納、類比、數形結合、整體換元等，這些都只是解題時的手段和工具，我們所要培養的是讓學生認識到這些解題方法的背后是什么？為什么要解決該問題？這個問題它代表的是哪類問題？它的本質是什么？大象無形，大音希聲，大道至簡，這就需要學生具備應有的抽象能力，能抽象出復雜問題的本質，所以一個優秀的數學老師應該立足于培育學生的抽象思維能力，把提高學生的核心素養作為根本任務落實到位，這樣，數學必不會成為學生學習途中的攔路虎。教學相輔，在提升學生素養的同時，相信老師自身都會有長足的進步。