入乎其內　出乎其外

繆素平

[摘 要]累積經驗是學生數學素養發展的必然路徑。從數學活動經驗的內涵特征入手，在課堂教學中有效落實“活動經驗目標”，引領學生在數學活動中積累有效的活動經驗，真正建立自己的經驗系統，建構屬于自己的知識結構，提升自身的數學素養。

[關鍵詞]數學活動經驗;內涵特征;方法策略

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）17-0001-03

數學活動經驗，不像具體知識那樣“看得見、摸得著”，它是一種認識，是個體對自己以往經歷的數學活動在認知方面自覺或不自覺的感性概括，是通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識。這種認識包括感性知識、情緒體驗和應用意識。數學活動經驗具有以下特性：

自我性。對于同一個數學活動，即使外部條件相同，每一個學生仍然可能有不同的理解，所獲得的數學活動經驗也就有所不同，有的較為清晰，有的較為模糊;有的較為豐富，有的較為單一。數學活動經驗是屬于學習者個人的，隱藏在學習者個人的內心深處，是個性化的。學生參與到教師創設的情境或者生活實際中，在經歷數學活動的過程中親身體驗，才能真正地“接受”相應的經驗，完成經驗累積的過程。數學活動經驗是基于學生主體的，屬于特定的學習者自己。因此，數學活動經驗具有主體性和自我性。

實踐性。數學活動經驗離不開實踐活動，實踐活動是經驗產生的源泉。只有親身經歷、體驗數學活動，學習者才能形成數學活動經驗。離開了實踐活動就不能形成有意義的數學活動經驗。教學中，教師應引導學生探究、思考、預測、推理、抽象、反思，讓學生在實踐中積累數學活動經驗。例如，學習“千克”這個知識時，可讓學生親自到超市、商店等地方去體驗物品的“千克”，感受物品的輕重。

動態性。數學活動經驗能夠反映學生在特定學習環境中或某一學習階段對學習對象的一種經驗認識是感性的、非嚴格性的。與形式化的數學知識相比，它缺乏明晰的結構體系，既沒有明確的邏輯起點，也沒有明確的邏輯結構，是隱性的和個性化的。隨著學習內容的深入，獲得的活動經驗也不斷變化、不斷發展，是動態的、可變的。由于學生個體之間的差異較大，那些沒有經過加工的“原始經驗”，含有許多主觀的、片面的非本質因素，在學習過程中也是可變的。比如，在學習“角的認識”之前，學生在生活中經常接觸到“角”，他們認為 “角落”那里尖尖的部分就是“角”，這是學生形成的角的初步經驗，含有主觀的、片面的非本質因素。等學習了“角”之后，學生才完善、修正對“角”的認識，真正建立角的概念：從一點引出的兩條射線所組成的圖形。

“入乎其內，故有生氣。出乎其外，故有高致。”（王國維《人間詞話》）“入”指觀察、實踐，“出”指得道、總結。同理，學生只有充分參與數學實踐活動，經歷知識的發生發展過程，才能積累厚實的活動經驗。反思目前的課堂教學，發現教師往往不重視學生數學學習過程本身，忽略了促使學生生動活潑地學習和發展的長效性目標。學生學習的經驗主要被解題的經驗所替代，數學活動經驗單一和不足已是一個不爭的事實，學生的數學素養并沒有得到真正的提高。“活動經驗目標”是否能持續健康地向前推進，決定著課程是否能有進一步發展。

一、活動孕伏，延續經驗

數學知識的系統性，決定了數學活動經驗的積累是一個循序漸進的過程。學生學習數學需要有一個意義建構的過程，這一過程以原有經驗為基礎，又通常是從操作性的活動開始的，并且所建構的意義最終以經驗的形態儲存在學生的大腦中，就如陶行知所做的比喻：“我們要有自己的經驗做根，以這經驗所發生的知識做枝，然后別人的知識才能接得上去，別人的知識方能成為我們知識的一個有機體部分。”教師要抓住時機，做好前期的鋪設，并以此為契機引領學生展開新知探究活動。在這過程中，教師要善于抓住學生經驗的生長點，在合適的時機開展數學活動。

如教學四年級“平行四邊形的認識”時，可引導學生動手操作，通過分一分、畫一畫、剪拼組合等活動方式，將平行四邊形剪拼后轉化成其他平面圖形。學生在操作活動中積累了剪拼平行四邊形的經驗，初步感知了轉化思想。到了五年級學習“平行四邊形的面積”時，學生四年級積累的剪拼平面圖形的經驗就成了推導面積公式的橋梁，也是學生思維獲得突破的有效途徑。后續推導三角形、梯形的面積公式時，學生就能夠自覺利用已有的活動經驗，自主使用剪拼法將其“轉化”，從而順理成章地進行推導。

作為數學教師，應該站在系統的高度整體地看待數學活動經驗的積累和運用，尋求知識經驗形成的前因后果，讓各類活動經驗呈一貫性和連續性。學習中，善于抓住學生前期學習中蘊含的經驗“生長點”，適時組織學生開展數學活動。

二、操作體驗，積累經驗

數學活動經驗的積累，離不開豐富的數學體驗。但在教學中，教師往往會忽略體驗的有序性，要么讓學生自由體驗，要么一手包辦，直接替代學生的體驗，導致數學活動可有可無，學生的數學活動也支離破碎，雜亂低效。因此，教師要增強數學活動的規劃意識，對數學活動進行整體規劃和組織，選準展開點，使學生的數學活動經驗自然生長。

【教學片段1】厘米的認識

師：請從學具盒中找出1厘米長的小棒，將其放在左手大拇指與食指之間，然后拿掉小棒，手指不要動，看一看1厘米有多長。閉上眼睛，想一想1厘米有多長，再伸手比畫1厘米的長度，并用小棒去驗證一下，看看比畫得準不準。（學生活動，交流）

師：現在把1厘米的長度記在腦子里，并從信封里摸出一個1厘米長的物體。（學生有的摸出一枚1厘米長的釘子;有的摸出棱長為1厘米的正方體;有的摸出火柴盒，并指出它的高是1厘米……）

師：在你的生活中，哪些物體的長大約也是1厘米？

生：語文書的厚度;硬幣的寬度;玉米粒的長度……

師（出示鉛筆、橡皮、小棒等物品）：你能估一估這些物體大約長幾厘米嗎？

（學生估完后，用尺驗證，修正自己的厘米“經驗”）

通過做一做、看一看、記一記、比一比、量一量，能夠化靜態為動態，化抽象為具體，新知在學生的體驗中已經呼之欲出。實驗活動時，只有保證學生思維的連貫性和科學性，學生才能拓展視野，拓寬思路，全方位、多角度地獲取多樣化的信息，積累豐富的數學活動經驗。

三、問題質疑，完善經驗

數學活動經驗的激活，來自于教師的有效引導。根據建構主義理論，學習者的知識建構需要觸發經驗激活點。教師要設置有效問題，引導學生自主質疑、主動探究，使數學活動更有針對性，也更具思維含量，完善學生的活動經驗。

【教學片段2】平面圖形的面積關系

師（出示三角形和梯形，引導學生寫出面積公式：S=ah÷2和S=（a+b）h÷2）：請大家仔細觀察這兩個公式，能發現什么？

生1：這兩個圖形的面積公式都是用底乘以高再除以2。

生2：三角形只有一個底，梯形有兩個底。

師：它們之間有沒有聯系呢？（電腦演示：梯形的上底漸漸縮短）

生3：當梯形的上底縮至0時，就變成了三角形。如果還用梯形的面積公式計算面積，就是S=（a+0）h÷2，也就變成了S=ah÷2，所以，三角形的面積公式也可以從梯形的面積公式推導而來。

師：由此，又能想到什么呢？

生4：長方形和平行四邊形的面積公式是不是也可以由梯形的面積公式推導而來呢？

出示：

（學生的提問其實是創造了一種新的法則：任何三角形及規則的四邊形的面積都等于上下底之和與高的乘積的一半）

教師引得巧妙、導得合理，學生就會不斷提出問題和解決問題，溝通平面圖形面積計算之間的聯系，構建知識系統，完善面積公式推導的經驗。同時，學生還能學會從“高處”、從整體且有條理、完整地分析平面圖形的面積計算，讓“書越讀越薄”。

問題質疑中，學生已有的活動經驗不斷被激活，本來有缺陷或有漏洞的經驗逐漸被修正，粗糙的經驗漸漸趨于精致，淺層次的經驗獲得了有效提升，新生成的數學活動經驗很自然地嵌入學生的經驗系統里。在問題的驅動下，主動的行為參與，自覺的思維參與，使學生的數學活動經驗得到生長。

四、反思交流，總結經驗

每個學生在活動中都是以自己的方式理解數學的。因而，要想突破個人數學活動經驗的局限性，一個根本的方法是給學生提供“合作交流”的平臺，促進個人經驗的交流與融合，實現對個人經驗的優化和內化。這樣的合作交流，既能豐富活動經驗的理性意義，又能提高學生自主積累經驗的能力。可以說，反思交流提升了活動經驗的理性品質，加速了其內化為個體數學素養一部分的進程，提煉了數學活動經驗的“內化點”。在教學實踐中，通過合作交流旨在完成對個體活動經驗的 “四個提升”：把感性的經驗逐步理性化，把模糊的經驗逐步明晰化，把松散的經驗逐步結構化，把知識型的經驗逐步策略化。

【教學片段3】平行四邊形的面積計算的總結

師：這節課我們探討了平行四邊形面積的計算公式，回憶一下，我們是怎樣研究的，中間有沒有遇到哪些困難，又是怎樣克服的？

生1：我一開始是用數方格的方法計算面積，但太繁雜了，后來就覺得應該研究更簡便的方法。

生2：我一眼就能看出“從平行四邊形中剪下一個三角形，平移到另一邊，就能轉化成長方形”。這樣通過長方形面積公式推出平行四邊形面積公式就方便多了。

生3：只要沿著高剪開就能將平行四邊形轉化為長方形，所以不一定是剪三角形，也可以剪梯形。

生4：我把平行四邊形轉化成長方形后，在比較兩個圖形的聯系時，誤以為長方形的長和寬分別對應平行四邊形的兩條鄰邊，后來在同桌的幫助下發現了錯誤。原來長方形的長和寬分別相當于平行四邊形的底和高，看來以后學習中還是要細心觀察。

師（利用課件再次回顧將平行四邊形轉化成長方形的過程）：下節課我們將學習三角形的面積計算，你準備怎么研究？（該問題就是將本節課學生積累的數學活動經驗進行提煉、推廣）

課堂上，引導學生對數學的理解從量的積累到“質”的飛躍，這種經歷生成的經驗才是最經典的。同時，越是復雜的數學活動越需要有積極的情感和意志相伴，這種體驗性成分也是學生數學活動經驗不可或缺的組成部分，它對于學生良好人格的塑造具有不可替代的作用。

五、應用拓展，升華經驗

積累數學活動經驗是數學教學的目標，也是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果，這個過程不是一蹴而就的，也不會一帆風順，需要在做和思考的過程中不斷磨礪、慢慢積淀、逐步積累、漸漸深化。因此，在教學中，教師要讓學生自覺應用所學知識解決各種問題，升華經驗，從而打磨數學活動經驗的“深化點”。學生只有參與了多樣化的數學活動，其前期積累的數學活動經驗才能在經過多次調用和加工后逐漸內化為概括性更強的經驗，進而真正達到理性的領悟，更有效地推廣到同類問題的解決中去。

【教學片段4】三角形的面積計算

師：推導平行四邊形和三角形的面積公式，都是應用了轉化的方法，把還沒有學過面積公式的圖形轉化為已經能求面積的圖形。在推導三角形面積公式時，我們用了兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形，然后推導出三角形的面積公式。

師（出示一個三角形）：能不能將一個三角形轉化成我們學過的圖形？請大家動手試一試。

學生展示多種轉化方法：

（學生通過比較三角形和轉化后的圖形，再次探索三角形的面積公式）

數學活動經驗既是數學學習的產物，也是學生進一步認識和實踐的基礎。在學生積累了豐富的數學活動經驗后，引導學生應用經驗解決問題，能夠累積新的數學經驗，使淺層次的活動經驗向較高層次的活動經驗轉化，激發學生的創造潛能，培養學生的創新意識。

“入乎其內， 出乎其外”，“入”是長期累積，“出”是質的飛躍。因此，教師要引導學生探索多種方法、策略，以 “入乎其內”的體驗學習為基本載體，以 “出乎其外”的經驗感悟為學習目標，用內心的創造與體驗來學習數學，只有這樣，學生才能“心中悟出始知深”，真正建立自己的經驗系統，建構屬于自己的知識結構，提升數學素養。

（責編 金 鈴）