淺談數學核心素養發展的教學實施

摘? ?要?發展學生數學核心素養的教學實施應遵從“三會”的總體思想。以函數零點存在性定理為例，探討了數學核心素養在教學實施過程各環節中的體現，同時要重視數學教學中的情意系統，促進學生數學核心素養的發展。

關鍵詞 數學核心素養? 教學實施? 函數零點存在性定理

“研究制定學生發展核心素養體系和學業質量標準”[1] 是《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》（2014年）中的明確要求。教育部成立的一個研究小組定義學生核心素養為“學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力” [2]（2016年）。數學核心素養與一般核心素養的重要區別在于接受過數學教育的人具有的數學特質，即會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界[3]（簡稱“三會”）。也就是說，“三會”是數學核心素養的外在表現。因此，要重視在數學學科中謀求學生核心素養的形成與發展，將以人為本的教育理念落到實處。數學教育之父弗賴登塔爾認為“學一個活動的最好辦法是做。那就是說，如果將數學解釋為一種活動的話，那就是必須通過數學化來教數學、學數學，通過公理化來教與學公理系統，通過形式化來教與學形式化體系” [4]。下面以“函數零點存在性定理”的教學為例探討數學核心素養在課堂教學中如何實施。

一、數學教學實施的總體思想

數學教學實施的總體思想是將“三會”落實到具體的數學內容教學中，要把數學核心素養與具體數學教學內容關聯起來，在一系列的數學教學活動過程中展現數學的內隱標準，形成數學結論，展現數學的外顯標準。數學是現實、經驗的抽象化、理想化、符號化、形式化;數學是直覺的理性化、合理化、結構化、顯性化、實體化、形式化、實踐化。然而數學又是超越直覺的，體現在數學是可觀察、可測量、可重復、去情境化的。因此，教學中學生已有的數學知識與生活經驗是數學的兩個生長點，其對外在客觀世界與個體有很大的依賴性，表現出一定的共性和個性。然而數學知識一旦形成，將是去現實、去經驗的客觀存在，具有可重復實驗、但結果不變的特點。

于是，數學教學需要建立學生頭腦中新舊內容之間本質上的實質性聯系（非人為的），即學生腦中反映數學知識的本質屬性及知識間邏輯關系的圖式，其構建過程揭示學生心理的變化過程，是數學知識理解的一種內隱標準，屬于初步理解;理解這種實質性聯系后，學生要能夠對數學知識的意義做出合理解釋，能用適當的行為方式表達，這是一種指向理解結果、可觀察、可檢測的顯性標準，屬于深度理解。這就需要學生通過積極的思維加工去獲得本質聯系，如通過實驗操作去觀察、分析、發現或驗證等活動，用歸納推理方式獲得具有普遍適用性或者規律性的數學結果。經過這一系列數學活動，數學知識由具體的存在過渡到抽象的存在，也就是說，此時學生腦中的數學知識具有抽象概括與具體形象二重性，原因在于抽象的數學原理與歸納形成原理的過程緊密融為一體。如在高中“函數零點存在性定理”這一節，雖然“連續”概念沒有經過嚴格的定義，但是在學生頭腦里仍然帶有強烈的具體形象性。在學習前與學生的訪談中發現學生頭腦中的零點定理常伴有命題探究過程中的具體表象，具體表現為圖像型與符號型，但常常會忽略函數連續的條件，這是沒有嚴格定義連續，沒有嚴格證明定理的伴隨現象。

二、數學教學實施的基本過程

由于數學核心素養是在具體情境問題中顯現的，因此數學教學中需要根據具體的數學教學內容創設合適的數學問題情境，讓學生深度參與數學知識的抽象、歸納、演繹、形成過程，感受到數學來源于真實的生產生活，數學是現實情境的抽象，數學是真實現象的一種符號語言表達，數學是有意義的有力量的。比如，“函數零點存在性定理”的教學可依照如下過程展開：讓學生經歷直觀感知（身高、溫度）——觀察發現（溫度圖像）——歸納類比（溫度零點）——抽象概括（一般函數零點）——演繹論證或講清道理——多維反思等思維過程（如反思其逆定理等），進而積累數學活動經驗，學習自主探索、創造數學知識。學生的感受階段和動手操作活動，各種感官的感知和行為，處于直觀水平，屬于概念具體化世界;學生對數學直觀對象進行反思、抽象，屬于符號過程化世界;對所得的一般化數學結論在更抽象的集合等基礎上進行結構化、形式化處理，屬于公理形式化世界。

1.創設情境、提出問題

學生的數學核心素養的形成需要親身感知。為此，首先創設有利于學生進行深度學習的體驗式情境，讓學生直觀感知連續的內涵。用數學的眼光觀察情境中的事物，即從數學角度對事物進行抽象。數學的現實性表明數學是描述和刻畫自然界各種現象關系與規律的一種工具，然而現實生活中存在的僅僅是數學概念的原型，并不存在真正數學意義上這些概念，即數學是形象與抽象、直覺與理性、實驗與邏輯的統一體。所以數學教學要關聯學生的現實，從學生頭腦中找概念，即為概念尋找認知的固著點，使概念盡可能與已有經驗相關聯，盡可能直觀化，降低數學抽象帶來的認知負荷。數學知識的“合理化”解釋的（如數學原始概念、數學規定，當前學段不能嚴格定義或證明的概念和命題）主要途徑是尋找學生現實經驗中的“原型”（包括生活經驗、數學經驗）。

具體地說，數學教學中幫助學生尋找數學知識在現實世界的“根”或“原型”，揭示數學知識的現實背景，進而幫助學生從中發現、歸納、抽象出數學研究對象，這也是使抽象的數學知識具體化、形象化、合理化、人性化的重要方法。于是，數學教學需要貼近學生的現實生活與數學現實，需要理解蘊含在學習材料中各種觀點的對話與競爭，學會在交流與溝通中理解數學。如高中階段“連續”的嚴格定義要不要講？若不講嚴格的定義，那么如何讓學生理解“函數零點存在性定理”中“連續”的條件的意義？連續函數在現實世界中的“原型”是什么？聯系生活，不難發現連續函數的現實“原型”可以是身高的連續不斷變化、溫度的連續不斷變化，水流、電流等的連續不斷變化。進一步，函數零點存在問題的現實“原型”可以是溫度在某個時刻過零攝氏度。于是身高、溫度隨時間的不斷變化關系可作為連續函數的認知固著點，溫度變化的數學表格數據表達、圖像與函數圖像的作法（學生已有的經驗）關聯起來，然后以學生成長過程中的身高的變化過程創設情境，感知連續變化。

2.合作探究、發現新知

學生的數學核心素養的形成需要在做數學和交流中進一步感知、顯現。通過小組合作探究，學生經歷發現問題、解決問題的過程，將數學思考的方式方法轉化為學生自己的思維方式。各小組分別完成一定的探究任務，組內合作交流，分析操作對象的特征，表述數學結論。各組展示，歸納各對象的相似點和相異點，進一步概括各個數學因素之間的邏輯關系并得出概念性結論。這時的數學結論對情境有較大的依賴性。

在注重數學知識的現實“原型”的同時還應注重知識的邏輯性和實證性。由于直觀具體是數學理解的起點，是走向形式化的基石，故可運用幾何畫板做身高連續變化的實驗幫助學生理解連續概念涵義。弗賴登塔爾認為，學習數學化應“從最低的層次開始，也就是先對非數學內容進行數學化，以保證數學的應用性，同時還應該進到下一個層次，即至少能對數學內容進行局部的組織。” [5]“函數零點存在性定理”的探究活動過程中數學化的層次可分為：第一層次，溫度連續變化的數學化（橫向數學化）。從溫度隨時間不斷變化中歸納、抽象出連續函數及圖像感官特征。第二，溫度零點的數學化（縱向數學化）。從溫度的零點一般化為連續函數的零點;從溫度零點存在圖像特征轉化為數量特征。這是數學概念的符號過程化。

3.抽象概括，得出新知

將前面具體問題的探究過程進行壓縮，一般化拓展為去情境的數學結論，得出新知，這是符號概念化的過程。從具體動作開始，逐漸提煉發展成符號化的形式系統，不再操作實物，而是對符號的“所指”進行操作，得到結論還原到所指。在這一階段引入術語、定義、證明上升到概念水平。從概念中產生方法，即要經過提煉、概括的過程，這是一個精致化的過程（類似于從過程到符號的壓縮）。通過作溫度函數的圖像，體會連續的形象特征、尋找“零點”等，這是從生活經驗入手進行數學思考，觀察圖像，歸納提煉，抽象概括存在零點的圖像的共同特征的過程，展示數學知識的思想性和創造性。定理的探究過程中充分地體現著數形結合思想、化歸思想及從特殊到一般的研究方法。函數在整個區間上的特征歸結為區間端點函數值的符號情況，函數在閉區間上零點存在問題歸結為函數在區間端點函數值乘積的符號情況。將函數、方程與不等式關聯起來，得出函數零點存在的充分條件，創造出求解方程近似解的理論基礎。

4.應用新知，深入理解

在新知的靈活應用過程中，進行反思，批判性地理解。得出定理后，直接應用定理判斷連續函數在閉區間上零點是否存在，進而尋找在零點存在的區間。在此過程中反思零點存在性定理的條件與結論間的充分性、必要性關系。即連續函數在閉區間零點存在，一定需要滿足區間端點函數值乘積小于零嗎？區間端點函數值乘積大于零時一定不存在零點嗎？區間端點函數值乘積小于零的閉區間上零點是否唯一？若滿足條件的區間上存在多個零點，函數又需滿足什么條件才能是零點唯一？函數必須是連續的嗎？討論區間由閉區間改為開區間、半開半閉區間、無窮區間時，結論將會如何改變？等等。在定理的應用過程中，定理的探究過程會以壓縮形態存在形式頭腦中，從特殊具體的溫度函數連續拓展到一般的連續函數，從溫度的零點存在條件拓展到一般函數零點存在的條件，此時要有意識地反思這個概念的概括過程的合理性，深入理解定理對實際問題的解決功能。

5.鑒古引新，感知文化

數學知識 “人性化”特征體現的主要途徑之一是數學知識的歷史（產生、發展、應用過程），其中的艱苦、曲折、交流、對話。由于函數零點與其對應方程根之間的同一關系，因此函數零點存在性定理在求解方程的應用是非常重要的。當方程的精確解不存在根式形式時，不是放棄求根，而是尋找近似解，用逼近思想創造了二分法等多種求方程近似解的方法，充分地表現出數學的理性精神。

6.課堂小結，完善認知

美國心理學家布魯納認為：“獲得的知識如果沒有完美的結構把它聯系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據在記憶中僅有短促得可憐的壽命”。課堂小結環節幫助學生把所學知識消化、吸收，融合于學生的整體智力結構中;幫助學生把知識體系編織成前后有序，環環相扣的邏輯體系，即把知識編織成一個有條理的系統。“函數零點存在性定理”是在方程的根與函數零點的基礎上提出來的，與用二分法求方程近似解存在前后邏輯關系，為其提供理論依據。

三、教學實施中的情意系統

蘇霍姆林斯基認為，教育過程追求真正有用的知識——對知識有深刻的理解并且把知識多次反復思考過，在知識的活的身體里要有情感的血液在暢流。數學通過數與形這兩個基本對象賦予客觀世界和主體世界以數學意義。知識是一個有機的多層次體系。第一層顯性層，由原理、概念、命題構成，表現知識的最基本特征。第二層準顯性層，有思維方式、方法和過程構成，它潛隱在知識表征背后，是一套具體的程序。第三層是隱性層，由態度、情感和價值觀構成，深深地扎根在知識體系的內部，是在人類探索知識的過程中所積淀起來的各種情感、價值體驗的濃縮結構和隱蔽形式。數學情感、態度與價值觀構成數學教學中的情意系統，是推動學生走向“樂學、深度學習”的動力系統，是核心素養中所指的必備品格，比認知過程更重要。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部. 教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見[EB/OL].[2014-04-08].http：www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s7054/201404/t20140408_167226.html.

[2] 核心素養研究課題組.中國學生發展核心素養[J].中國教育學刊，2016（10）.

[3] 史寧中，林玉慈，陶劍，郭民.關于高中數學教育中的數學核心素養[J].課程·教材·教法，2017（04）.

[4] 弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[5] BRUNER J.The Process of Education[M].Cambridge：Harvard University，1977.

[作者：李紅梅（1979-），女，四川樂至人，西華師范大學數學與信息學院副教授，碩士。]

【責任編輯? 劉永慶】