淺談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)實(shí)施

摘? ?要?發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)施應(yīng)遵從“三會”的總體思想。以函數(shù)零點(diǎn)存在性定理為例，探討了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)實(shí)施過程各環(huán)節(jié)中的體現(xiàn)，同時(shí)要重視數(shù)學(xué)教學(xué)中的情意系統(tǒng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)? 教學(xué)實(shí)施? 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

“研究制定學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”[1] 是《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》（2014年）中的明確要求。教育部成立的一個(gè)研究小組定義學(xué)生核心素養(yǎng)為“學(xué)生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力” [2]（2016年）。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與一般核心素養(yǎng)的重要區(qū)別在于接受過數(shù)學(xué)教育的人具有的數(shù)學(xué)特質(zhì)，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界[3]（簡稱“三會”）。也就是說，“三會”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)。因此，要重視在數(shù)學(xué)學(xué)科中謀求學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，將以人為本的教育理念落到實(shí)處。數(shù)學(xué)教育之父弗賴登塔爾認(rèn)為“學(xué)一個(gè)活動的最好辦法是做。那就是說，如果將數(shù)學(xué)解釋為一種活動的話，那就是必須通過數(shù)學(xué)化來教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)，通過公理化來教與學(xué)公理系統(tǒng)，通過形式化來教與學(xué)形式化體系” [4]。下面以“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”的教學(xué)為例探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中如何實(shí)施。

一、數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施的總體思想

數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施的總體思想是將“三會”落實(shí)到具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)中，要把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與具體數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來，在一系列的數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)隱標(biāo)準(zhǔn)，形成數(shù)學(xué)結(jié)論，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的外顯標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)、經(jīng)驗(yàn)的抽象化、理想化、符號化、形式化;數(shù)學(xué)是直覺的理性化、合理化、結(jié)構(gòu)化、顯性化、實(shí)體化、形式化、實(shí)踐化。然而數(shù)學(xué)又是超越直覺的，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)是可觀察、可測量、可重復(fù)、去情境化的。因此，教學(xué)中學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識與生活經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)的兩個(gè)生長點(diǎn)，其對外在客觀世界與個(gè)體有很大的依賴性，表現(xiàn)出一定的共性和個(gè)性。然而數(shù)學(xué)知識一旦形成，將是去現(xiàn)實(shí)、去經(jīng)驗(yàn)的客觀存在，具有可重復(fù)實(shí)驗(yàn)、但結(jié)果不變的特點(diǎn)。

于是，數(shù)學(xué)教學(xué)需要建立學(xué)生頭腦中新舊內(nèi)容之間本質(zhì)上的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系（非人為的），即學(xué)生腦中反映數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性及知識間邏輯關(guān)系的圖式，其構(gòu)建過程揭示學(xué)生心理的變化過程，是數(shù)學(xué)知識理解的一種內(nèi)隱標(biāo)準(zhǔn)，屬于初步理解;理解這種實(shí)質(zhì)性聯(lián)系后，學(xué)生要能夠?qū)?shù)學(xué)知識的意義做出合理解釋，能用適當(dāng)?shù)男袨榉绞奖磉_(dá)，這是一種指向理解結(jié)果、可觀察、可檢測的顯性標(biāo)準(zhǔn)，屬于深度理解。這就需要學(xué)生通過積極的思維加工去獲得本質(zhì)聯(lián)系，如通過實(shí)驗(yàn)操作去觀察、分析、發(fā)現(xiàn)或驗(yàn)證等活動，用歸納推理方式獲得具有普遍適用性或者規(guī)律性的數(shù)學(xué)結(jié)果。經(jīng)過這一系列數(shù)學(xué)活動，數(shù)學(xué)知識由具體的存在過渡到抽象的存在，也就是說，此時(shí)學(xué)生腦中的數(shù)學(xué)知識具有抽象概括與具體形象二重性，原因在于抽象的數(shù)學(xué)原理與歸納形成原理的過程緊密融為一體。如在高中“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”這一節(jié)，雖然“連續(xù)”概念沒有經(jīng)過嚴(yán)格的定義，但是在學(xué)生頭腦里仍然帶有強(qiáng)烈的具體形象性。在學(xué)習(xí)前與學(xué)生的訪談中發(fā)現(xiàn)學(xué)生頭腦中的零點(diǎn)定理常伴有命題探究過程中的具體表象，具體表現(xiàn)為圖像型與符號型，但常常會忽略函數(shù)連續(xù)的條件，這是沒有嚴(yán)格定義連續(xù)，沒有嚴(yán)格證明定理的伴隨現(xiàn)象。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施的基本過程

由于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在具體情境問題中顯現(xiàn)的，因此數(shù)學(xué)教學(xué)中需要根據(jù)具體的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)問題情境，讓學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)知識的抽象、歸納、演繹、形成過程，感受到數(shù)學(xué)來源于真實(shí)的生產(chǎn)生活，數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)情境的抽象，數(shù)學(xué)是真實(shí)現(xiàn)象的一種符號語言表達(dá)，數(shù)學(xué)是有意義的有力量的。比如，“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”的教學(xué)可依照如下過程展開：讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知（身高、溫度）——觀察發(fā)現(xiàn)（溫度圖像）——?dú)w納類比（溫度零點(diǎn)）——抽象概括（一般函數(shù)零點(diǎn)）——演繹論證或講清道理——多維反思等思維過程（如反思其逆定理等），進(jìn)而積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)自主探索、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識。學(xué)生的感受階段和動手操作活動，各種感官的感知和行為，處于直觀水平，屬于概念具體化世界;學(xué)生對數(shù)學(xué)直觀對象進(jìn)行反思、抽象，屬于符號過程化世界;對所得的一般化數(shù)學(xué)結(jié)論在更抽象的集合等基礎(chǔ)上進(jìn)行結(jié)構(gòu)化、形式化處理，屬于公理形式化世界。

1.創(chuàng)設(shè)情境、提出問題

學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成需要親身感知。為此，首先創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的體驗(yàn)式情境，讓學(xué)生直觀感知連續(xù)的內(nèi)涵。用數(shù)學(xué)的眼光觀察情境中的事物，即從數(shù)學(xué)角度對事物進(jìn)行抽象。數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)性表明數(shù)學(xué)是描述和刻畫自然界各種現(xiàn)象關(guān)系與規(guī)律的一種工具，然而現(xiàn)實(shí)生活中存在的僅僅是數(shù)學(xué)概念的原型，并不存在真正數(shù)學(xué)意義上這些概念，即數(shù)學(xué)是形象與抽象、直覺與理性、實(shí)驗(yàn)與邏輯的統(tǒng)一體。所以數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)聯(lián)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生頭腦中找概念，即為概念尋找認(rèn)知的固著點(diǎn)，使概念盡可能與已有經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)，盡可能直觀化，降低數(shù)學(xué)抽象帶來的認(rèn)知負(fù)荷。數(shù)學(xué)知識的“合理化”解釋的（如數(shù)學(xué)原始概念、數(shù)學(xué)規(guī)定，當(dāng)前學(xué)段不能嚴(yán)格定義或證明的概念和命題）主要途徑是尋找學(xué)生現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)中的“原型”（包括生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)）。

具體地說，數(shù)學(xué)教學(xué)中幫助學(xué)生尋找數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)世界的“根”或“原型”，揭示數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)背景，進(jìn)而幫助學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)、歸納、抽象出數(shù)學(xué)研究對象，這也是使抽象的數(shù)學(xué)知識具體化、形象化、合理化、人性化的重要方法。于是，數(shù)學(xué)教學(xué)需要貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，需要理解蘊(yùn)含在學(xué)習(xí)材料中各種觀點(diǎn)的對話與競爭，學(xué)會在交流與溝通中理解數(shù)學(xué)。如高中階段“連續(xù)”的嚴(yán)格定義要不要講？若不講嚴(yán)格的定義，那么如何讓學(xué)生理解“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”中“連續(xù)”的條件的意義？連續(xù)函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中的“原型”是什么？聯(lián)系生活，不難發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)“原型”可以是身高的連續(xù)不斷變化、溫度的連續(xù)不斷變化，水流、電流等的連續(xù)不斷變化。進(jìn)一步，函數(shù)零點(diǎn)存在問題的現(xiàn)實(shí)“原型”可以是溫度在某個(gè)時(shí)刻過零攝氏度。于是身高、溫度隨時(shí)間的不斷變化關(guān)系可作為連續(xù)函數(shù)的認(rèn)知固著點(diǎn)，溫度變化的數(shù)學(xué)表格數(shù)據(jù)表達(dá)、圖像與函數(shù)圖像的作法（學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)）關(guān)聯(lián)起來，然后以學(xué)生成長過程中的身高的變化過程創(chuàng)設(shè)情境，感知連續(xù)變化。

2.合作探究、發(fā)現(xiàn)新知

學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成需要在做數(shù)學(xué)和交流中進(jìn)一步感知、顯現(xiàn)。通過小組合作探究，學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程，將數(shù)學(xué)思考的方式方法轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的思維方式。各小組分別完成一定的探究任務(wù)，組內(nèi)合作交流，分析操作對象的特征，表述數(shù)學(xué)結(jié)論。各組展示，歸納各對象的相似點(diǎn)和相異點(diǎn)，進(jìn)一步概括各個(gè)數(shù)學(xué)因素之間的邏輯關(guān)系并得出概念性結(jié)論。這時(shí)的數(shù)學(xué)結(jié)論對情境有較大的依賴性。

在注重?cái)?shù)學(xué)知識的現(xiàn)實(shí)“原型”的同時(shí)還應(yīng)注重知識的邏輯性和實(shí)證性。由于直觀具體是數(shù)學(xué)理解的起點(diǎn)，是走向形式化的基石，故可運(yùn)用幾何畫板做身高連續(xù)變化的實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生理解連續(xù)概念涵義。弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化應(yīng)“從最低的層次開始，也就是先對非數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)化，以保證數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，同時(shí)還應(yīng)該進(jìn)到下一個(gè)層次，即至少能對數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行局部的組織。” [5]“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”的探究活動過程中數(shù)學(xué)化的層次可分為：第一層次，溫度連續(xù)變化的數(shù)學(xué)化（橫向數(shù)學(xué)化）。從溫度隨時(shí)間不斷變化中歸納、抽象出連續(xù)函數(shù)及圖像感官特征。第二，溫度零點(diǎn)的數(shù)學(xué)化（縱向數(shù)學(xué)化）。從溫度的零點(diǎn)一般化為連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn);從溫度零點(diǎn)存在圖像特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量特征。這是數(shù)學(xué)概念的符號過程化。

3.抽象概括，得出新知

將前面具體問題的探究過程進(jìn)行壓縮，一般化拓展為去情境的數(shù)學(xué)結(jié)論，得出新知，這是符號概念化的過程。從具體動作開始，逐漸提煉發(fā)展成符號化的形式系統(tǒng)，不再操作實(shí)物，而是對符號的“所指”進(jìn)行操作，得到結(jié)論還原到所指。在這一階段引入術(shù)語、定義、證明上升到概念水平。從概念中產(chǎn)生方法，即要經(jīng)過提煉、概括的過程，這是一個(gè)精致化的過程（類似于從過程到符號的壓縮）。通過作溫度函數(shù)的圖像，體會連續(xù)的形象特征、尋找“零點(diǎn)”等，這是從生活經(jīng)驗(yàn)入手進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，觀察圖像，歸納提煉，抽象概括存在零點(diǎn)的圖像的共同特征的過程，展示數(shù)學(xué)知識的思想性和創(chuàng)造性。定理的探究過程中充分地體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想及從特殊到一般的研究方法。函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的特征歸結(jié)為區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號情況，函數(shù)在閉區(qū)間上零點(diǎn)存在問題歸結(jié)為函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值乘積的符號情況。將函數(shù)、方程與不等式關(guān)聯(lián)起來，得出函數(shù)零點(diǎn)存在的充分條件，創(chuàng)造出求解方程近似解的理論基礎(chǔ)。

4.應(yīng)用新知，深入理解

在新知的靈活應(yīng)用過程中，進(jìn)行反思，批判性地理解。得出定理后，直接應(yīng)用定理判斷連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上零點(diǎn)是否存在，進(jìn)而尋找在零點(diǎn)存在的區(qū)間。在此過程中反思零點(diǎn)存在性定理的條件與結(jié)論間的充分性、必要性關(guān)系。即連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間零點(diǎn)存在，一定需要滿足區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值乘積小于零嗎？區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值乘積大于零時(shí)一定不存在零點(diǎn)嗎？區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值乘積小于零的閉區(qū)間上零點(diǎn)是否唯一？若滿足條件的區(qū)間上存在多個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)又需滿足什么條件才能是零點(diǎn)唯一？函數(shù)必須是連續(xù)的嗎？討論區(qū)間由閉區(qū)間改為開區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間時(shí)，結(jié)論將會如何改變？等等。在定理的應(yīng)用過程中，定理的探究過程會以壓縮形態(tài)存在形式頭腦中，從特殊具體的溫度函數(shù)連續(xù)拓展到一般的連續(xù)函數(shù)，從溫度的零點(diǎn)存在條件拓展到一般函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，此時(shí)要有意識地反思這個(gè)概念的概括過程的合理性，深入理解定理對實(shí)際問題的解決功能。

5.鑒古引新，感知文化

數(shù)學(xué)知識 “人性化”特征體現(xiàn)的主要途徑之一是數(shù)學(xué)知識的歷史（產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用過程），其中的艱苦、曲折、交流、對話。由于函數(shù)零點(diǎn)與其對應(yīng)方程根之間的同一關(guān)系，因此函數(shù)零點(diǎn)存在性定理在求解方程的應(yīng)用是非常重要的。當(dāng)方程的精確解不存在根式形式時(shí)，不是放棄求根，而是尋找近似解，用逼近思想創(chuàng)造了二分法等多種求方程近似解的方法，充分地表現(xiàn)出數(shù)學(xué)的理性精神。

6.課堂小結(jié)，完善認(rèn)知

美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“獲得的知識如果沒有完美的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命”。課堂小結(jié)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生把所學(xué)知識消化、吸收，融合于學(xué)生的整體智力結(jié)構(gòu)中;幫助學(xué)生把知識體系編織成前后有序，環(huán)環(huán)相扣的邏輯體系，即把知識編織成一個(gè)有條理的系統(tǒng)。“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”是在方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的基礎(chǔ)上提出來的，與用二分法求方程近似解存在前后邏輯關(guān)系，為其提供理論依據(jù)。

三、教學(xué)實(shí)施中的情意系統(tǒng)

蘇霍姆林斯基認(rèn)為，教育過程追求真正有用的知識——對知識有深刻的理解并且把知識多次反復(fù)思考過，在知識的活的身體里要有情感的血液在暢流。數(shù)學(xué)通過數(shù)與形這兩個(gè)基本對象賦予客觀世界和主體世界以數(shù)學(xué)意義。知識是一個(gè)有機(jī)的多層次體系。第一層顯性層，由原理、概念、命題構(gòu)成，表現(xiàn)知識的最基本特征。第二層準(zhǔn)顯性層，有思維方式、方法和過程構(gòu)成，它潛隱在知識表征背后，是一套具體的程序。第三層是隱性層，由態(tài)度、情感和價(jià)值觀構(gòu)成，深深地扎根在知識體系的內(nèi)部，是在人類探索知識的過程中所積淀起來的各種情感、價(jià)值體驗(yàn)的濃縮結(jié)構(gòu)和隱蔽形式。數(shù)學(xué)情感、態(tài)度與價(jià)值觀構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)中的情意系統(tǒng)，是推動學(xué)生走向“樂學(xué)、深度學(xué)習(xí)”的動力系統(tǒng)，是核心素養(yǎng)中所指的必備品格，比認(rèn)知過程更重要。

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國教育部. 教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見[EB/OL].[2014-04-08].http：www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s7054/201404/t20140408_167226.html.

[2] 核心素養(yǎng)研究課題組.中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)[J].中國教育學(xué)刊，2016（10）.

[3] 史寧中，林玉慈，陶劍，郭民.關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].課程·教材·教法，2017（04）.

[4] 弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[5] BRUNER J.The Process of Education[M].Cambridge：Harvard University，1977.

[作者：李紅梅（1979-），女，四川樂至人，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院副教授，碩士。]

【責(zé)任編輯? 劉永慶】