理論背景及應用在高中數學教學中的提升作用

鄒司偉

[摘? 要] 理論背景及應用為高中數學課程“教什么”和“怎么教”提供了新的方向. 教師在授課中，有針對性地引入數學概念的發展歷史，適當穿插理論背景及應用的講解，能夠加深學生對概念的理解和對數學學科價值的認識，激發學生的好奇心和求知欲. 文章結合教學實際引導學生從理論背景中尋找解題思路、尋找知識點之間的聯系、尋找數學的思想方法三個方面入手，探討如何讓學生在更深層面上理解數學科學，構建起思想層面上的數學觀念.

[關鍵詞] 數學;理論背景;提升

隨著新課改的深入，新的教學方式、教學理念不斷引入到教學活動中來，對學生的培養也逐漸由單純講解知識點向整合發展轉變，旨在不斷提升學生的綜合素質能力. 在高中數學教學過程中，也相應地存在“授之以魚，不如授之以漁”的轉變. 理論背景及應用在高中數學課程“教什么”和“怎么教”的問題上提供了新的方向. 在授課中，有針對性地引入數學概念的發展歷史，適當穿插理論背景及應用的講解，能夠加深學生對概念的理解和對數學學科價值的認識，激發學生的好奇心和求知欲. 文章引導學生從理論背景中尋找解題思路、從理論背景中尋找知識點之間的聯系、從理論背景中尋找數學的思想方法三個方面入手，探討如何讓學生在更深層面上理解數學科學，實現發展學生數學思想方法、提高學生數學素養的目的.

從理論背景中尋找解題思路

數學是一門注重培養學生的邏輯思維能力和訓練學生的邏輯嚴謹性的學科. 在數學教學實踐中，筆者發現學生學習中的困惑，不在于知識點記憶不牢，而是不知道運用哪一個知識點來解題. 即使將公式、定理背得滾瓜爛熟，依然無從下手. 這就要求教師善于引導學生尋找解題思路，培養學生的知識應用能力.

2009年，筆者協助導師開展助教工作，那是筆者人生第一次走上講臺. 教的是一個大一金融班的高等數學課程，筆者帶著成為一名教師的神圣感和榮譽感，而學生給了筆者第一次站上講臺的尷尬. 第一節課，一位男生就站起來發問，“我們為什么要學ε-N語言？”雖然筆者努力說服他數學理論的重要性，但很明顯地，他并不認同. 后來，在與學生的交流中，筆者發現很多學生對數學學科很喜歡，但習慣于背概念、公式、定理以及做習題的學習模式，而對數學的基礎理論并不感興趣，不明白為什么要去深入理解那些晦澀難懂而又出不了考題的基礎理論.

第一次站上講臺的尷尬讓筆者始終記憶猶新. 回顧自己的學生時代，同樣把大量的時間花在了練習習題上，并沒有深入地探索數學的理論背景，了解背后的思想根源和實際意義是什么.

當時筆者給了他兩種解法，一種是通過不等式變形，整體代換的方法;一種是通過取對數，將不等式組轉化為線性規劃的方法. 對于第二種方法，雖然過程他懂，但他問筆者：“老師，你是怎么想到取對數的？”這的確是一個值得思考的問題. 對教師來說，這是一個再自然不過的解法了，但為什么學生想不到呢？

這個問題筆者思考了很久，直到再一次拿起《必修1》的教材，在之前忽略的閱讀內容中找到了答案：“歷史上在計算機發明以前，人類缺乏有效的大數計算工具，對數是被開發出來簡化煩瑣的計算的. 在對數的作用下，高階運算可以被降為低階運算. 對數工具的發明，可以說是‘延長了數學家的壽命.” 這個僅僅是看起來有趣的閱讀內容提及的降階思想，雖然與應試考點沒有直接關聯，但正是這道題目解題思路的來源.

這道題目同樣是使用對數工具降階運算等級，從而簡化問題. 但如果學生在平時學習中不了解對數的本源意義，面對這類看似不等式的問題時，往往很難聯想到運用對數工具.

類似地，在教學中談及角度的推廣和弧度制時，很少會談到為什么要進行這樣的推廣. 但三角函數的推廣在之后的學習中是有重要意義的，比如函數中常用的三角代換技巧、圓與橢圓的參數方程等，在這些領域，三角函數都扮演著非常重要的角色.

這時，問題變成了三角代換，而學生初見這個問題，是很難想解決方法的. 如果在教學中，一開始就有意地傳達三角函數的代數意義，在之后介紹到三角代換的技巧時，就不會顯得生硬，學生也更容易理解.

從理論背景中尋找知識點之間的聯系

近年來，高考中越來越多地出現復合型問題. 對學生的知識點考察也越來越全面化，這也是教學活動的一個指向標. 教師應更加重視理論背景的介紹，讓學生了解知識點之間的橫向和縱向聯系，從總體上把握數學知識的脈絡和體系，拓寬學生的思維、思路，進一步培養和提高學生運用所學數學知識解決實際問題的能力.

舉個例子，高中數學的孤島——復數. 這個概念在江蘇高考中為B級考點，與其他概念聯系不大. 但如果深究一些，會發現復數與其他概念之間有很多有趣的聯系. 作為A級考點的矩陣變換就有這樣一個應用，利用伸壓變換矩陣，可以將一個橢圓變形為一個圓. 圓相較橢圓來說，有很多良好的幾何性質，利用其幾何性質可以將問題在圓中解決，再使用變換矩陣的逆變化將問題還原，這就是常用的仿射變換方法. 既然橢圓問題可以用這種方法轉化為圓問題，那其他圓錐曲線，比如雙曲線也可以嗎？然而在實數域內，雙曲線與圓之間有一道不可逾越的鴻溝：無論使用什么變化矩陣，都無法改變平方項的系數符號. 這時，只要將矩陣中的元素擴充到復數域，問題就迎刃而解了，這正是復數工具的作用. 使用這個特殊的仿射變換，可以得到很多關于雙曲線的二級結論，如雙曲線的中心弦公式等. 解決這個問題的關鍵，就是對復數這個B級考點的擴充和深化，進而讓學生理解，擴充數域不僅僅是一個理論，更是有實際意義的.

從理論背景中尋找數學的思想方法

在教學中筆者發現，培養學生對數學的興趣，引導學生了解這一學科的前世今生，感受這一學科的理性美，尋找這一學科的思想方法，能夠有效激發學生的學習自主性和創造性.

上高中的侄子曾經問過筆者這樣一個問題：“能不能定義一個數I，與0的乘積等于1？”

他告訴筆者，老師是這么引入復數單位的：談到虛數的大致過程是通過計算，最后得到的結果是對-1開根，因此定義一個i，i的平方等于-1，式子就有結果了，答案是i.

侄子提問：為什么不能定義一個數，和0相乘等于1呢，這樣其他數除以0就有結果了.

老師回答：0不能做除數.

問題似乎是解決了，但侄子依然不明白，雖然0不能做除數，但-1也不能開根呀，為什么老師能定義i，而自己不能定義1與0的商呢？

這個問題的答案涉及了數學的本源與邏輯范疇，如果抓住機會適當引導，可以作為一堂很有深度的科普課.

其實，數學是一門純邏輯的學科，權威沒有用，有用的只有邏輯推理. 歐幾里得是幾何學大師，他定下了幾何學的5條共設，在此基礎上發展出了輝煌的歐式幾何. 但一樣會有后代的數學家來挑戰歐式幾何的第五共設，而正是這種挑戰，推進了非歐幾何的建立. 數系的擴充也同樣如此. 幾千年來，人們認為負數沒有平方根，而由于實際需要，先代的數學家打破傳統，創造了復數單位，推廣了數系. 先人敢于挑戰傳統，教師又有什么理由來彈壓學生呢？

后來，筆者在教學中也遇到了學生問同樣的問題，筆者覺得能問出這個問題的孩子是很有想法的. 筆者贊賞了他，并與他一起推理引入1除0的商后，數系發生的變化，并在嚴密的邏輯推理下得到了這樣一個結果：“如果引入1除0的商，那么在滿足原有運算規則的條件下，實數系中的每一個數都會等于0. ”學生發現，對比復數單位的引入，兩者的結果是完全不同的. 引入復數單位能夠擴大數系，幫助解決更多的運算問題;而引入1除0的商卻會破壞整個實數系，導致任何運算都沒有意義. 此后，筆者每提及數系擴充，必講這個問題. 筆者也更加深刻地感受到，教師不能將課堂當成自己的“一言堂”，而是應該在講解基本知識框架的基礎上，讓學生通過自己的思考來體會知識發現創造和應用的過程. 只有通過自己探索并理解的知識，才能真正成為學生自己的知識.

數學科學的內容，包括數學知識和蘊藏于知識中的思想方法. 概念、定理、公式等是數學的外在表現形式，但其背后的思想方法的教學價值還未引起充分的重視. 實際上，數學思想方法在科研中具有舉足輕重的地位和作用，具體表現在：一是提供簡潔精確的形式化語言;二是提供數量分析及計算的方法;三是提供邏輯推理的工具. 在教學中，經常會碰到這樣的學生，將“為什么”作為口頭禪. 雖然這些“為什么”不一定與考試有關，但這正是學生求知欲的體現. 比如“為什么e是自然對數，這個無理數哪里自然了？”“為什么兩平面平行，一定有線面平行？”等等. 這些問題看似刁鉆，但其實都指向了數學的本源. 如果好好利用，可以有效激發學生對數學的興趣，讓學生在學習數學知識、方法的同時，構建起思想層面上的數學觀念，并在此基礎上進行解題分析，將知識運用得更加得心應手.