淺談高職高專微分的概念

摘要：微分的概念對于高職高專的學生們來說，是很抽象的數學概念。如何讓學生在理解的基礎上很輕松地記憶這個概念呢？老師可以在教學過程中進行如本文中所敘述的教學設計，這樣學生們就能很容易地理解微分的概念了。

關鍵詞：微分的概念;教學設計;函數

為了讓高職高專的學生很容易地理解微分的概念，教師對微分的概念的教學進行了如下教學設計。

先學習如下引例：

一塊正方形的均勻薄鐵片，遇熱后邊長由x0增加到x0+Δx，問鐵片的面積大約改變了多少？

分析：設正方形的邊長為x，面積為y，則y=x2。鐵片面積在遇熱后增加了，面積的增加量也就是函數值的增量為Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=（x0+Δx）2-x20=x20+2x0Δx+（Δx）2-x20=2x0Δx+（Δx）2。本引例問鐵片的面積大約改變了多少事實上就是求Δy的近似值。當|Δx|=Δx很小時，（Δx）2更小，將（Δx）2舍棄掉，可得Δy≈2x0Δx。

定義1若函數y=f（x）在點x=x0處可導，則函數y=f（x）在x=x0處可微，且函數在x=x0處的微分為dy|x=x0=f′（x0）·Δx。

練習1設函數y=x2，

（1）當x=3，Δx=0.01時，求dy|x=3;

（2）當x=3，Δx=-0.01時，求dy|x=3;

（3）當x=3時，求dy|x=3;

（4）當x=x0時，求dy|x=x0;

（5）當x為任意實數時，求dy。

解y=x2，y′=f′（x）=（x2）′=2x，

（1）dy|x=3=f′（3）Δx=2×3×0.01=0.06;

（2）dy|x=3=f′（3）Δx=2×3×（-0.01）=-0.06;

（3）dy|x=3=f′（3）Δx=2×3Δx=6Δx;

（4）dy|x=x0=f′（x0）Δx=2x0Δx;

（5）dy=f′（x）Δx=2xΔx。

由以上練習一的第四個問題的結果可得，引例中面積的增加量即函數值的增量約等于微分，即

Δy≈dy|x=x0

以上近似結論可以推廣到任意可導函數y=f（x），即若函數y=f（x）在點x=x0處可導，則Δy≈dy|x=x0。

由以上練習一的第五個問題的結果可得如下定義：

定義2若函數y=f（x）在區間I內可導，即它在該區間內的每一個實數x處都是可導的，則函數在區間I內可微，且函數y=f（x）在區間I內的微分為dy=f′（x）·Δx。

考察函數y=x，由以上定義可得：

dy=dy|y=x=f′（x）·Δx=x′·Δx=1·Δx=Δx=dx。

由以上結論可理解為自變量的微分等于自變量的增量，所以可導函數y=f（x）的微分又可以記作：

dy=f′（x）dx，

從而有dydx=f′（x）。

也就是說，導數可以看作函數值微分與自變量微分的比值。因此，導數又叫做微商。由此可見，可導與可微是等價的。

我們求可導函數的微分時，只要先將函數的導函數y′=f′（x）求出來，再乘以dx就可以了。

作者簡介：

鄭曉珍，湖北省襄陽市，襄陽職業技術學院。