借助HPM促進學生對數學概念本質理解的探索

李芳芬

【摘?要】?HPM教學為學生理解數學概念本質開辟了一條新路.本文以對數概念教學為例，將對數發展史上的3個重要階段：簡化運算思想、對數的發明、指對數的互逆關系納入課堂教學中.通過“親歷運算之繁瑣”、“發現數表之便利”、“體會數表之局限”、“彌補數表之缺憾”、“引入符號之迫切”、“兩款對數之發展”六個環節，促進學生對數學概念本質的理解.

【關鍵詞】?HPM;對數;概念教學

在緊張的教學進度安排下，數學概念教學往往容易流于形式.一個定義三項注意或掐頭去尾燒中段等，是常見的概念教學形式，先是簡單粗暴地講完數學概念，再是大量的練習鞏固，看似學生會做題了，但這種成效是短暫性的，學生是照葫蘆畫瓢式解題，過段時間就會忘記，或換一個新穎的題型，學生就無從下手了.問題的根源是學生只學了概念的形式化定義，沒有吃透概念的本質.

面對高中新的數學概念，我們該如何教學呢，如何在情境中自然地抽象出數學概念，把握概念的內涵與外延，體會概念的價值和作用呢？筆者在多年的教學實踐中，深切感受到HPM教學對提升學生理解概念本質有積極的作用（HPM是History Pedagogy of Mathematics的縮寫，指數學史和數學教育的關系）.HPM教學有助于激發學生學習數學的動機和興趣，感受數學是一門不斷演進、人性化的學科，而不是一個僵化的真理系統;有助于學生感悟概念是如何發展的，揭示數學概念、思想的起源;有助于學生理解數學符號、概念、計算法則、表征方式、數學語言的演進過程;根據歷史相似性，過去的數學家所遇到的困難有助于解釋、解決今天學生的學習困難……

本文以人教版高中數學必修1中對數概念為例，在HPM視野下重構對數概念教學，提高學生對對數概念本質的理解.和讀者一起領略HPM的精彩紛呈，如有不當請讀者諒解、指正.

1?設計思路

本文筆者不采用原教材的設計思路，而是遵從歷史發展，對數發明先于指數，感受對數概念產生的必要性、自然性與合理性.但是原本的歷史太錯綜復雜，一一敘述太冗長，一節課也完不成教學任務，最后淪為“數學史課”.能否有一種既能完成教學任務又能詮釋對數本質的教學方式？為此，筆者在整體設計上采用重構式，教學流程如圖1所示[1]，借鑒歷史、重構歷史，結合學生的經驗與認知水平，對對數史資源進行有效的選擇、整合，結合現代多媒體技術，使學生樂于學習，并能從中得到有益的啟迪.

2?教學主要環節

2.1?親歷運算之繁瑣

師生共同觀看視頻《開普勒計算出開普勒定律共算了7遍，過程艱辛》，呈現出古代科學家在探索宇宙時所面臨的運算困境，在沒有計算機時代，龐大的天文數字計算嚴重地束縛著人類探索宇宙的進程.

教師用PPT呈現以下四道計算題：

每個小組負責計算一題，感受大數計算的不便.教師指出這四道計算與古代天文數據計算比還是相形見絀了.那有辦法改進大數計算嗎？

注?前3題的數據都可表示為2的乘方，為第二環節雙數列的對應關系做好準備;第4題的數據為光在真空中的速度乘以一年的總秒數，得到的是天文學單位1光年，為第三環節體驗數表之局限做好鋪墊.

2.2?發現數表之便利

呈現15世紀法國數學家許凱（Chuquet N.1445～1488）在其《算學三部》中給出的雙數列數表[2]，如圖2，結合剛才的前3道計算題，能發現什么規律？

很顯然，前3題的數據在表格中都可查，運用指數律運算能發現規律.

學生依次作答：

能否推廣到一般的情形，用字母表達呢？

總結：第二行（等比數列）中數的乘法、除法、乘方、開方分別對應第一行（等差數列）中數的加法、減法、乘法、除法.古人通過這個對應就可實現簡化計算，使運算降級.

注?（1）高一學生在學習對數時，還未學習等差、等比數列的概念，此處可不提及數列的概念，不妨礙學生的理解.

（2）將乘除、乘方、開方轉化為簡單的加減乘除過程，是對數運算性質的算理本質，為第2課時對數運算性質的推導做好準備.

（3）除許凱外，古代還有很多數學家如阿基米德（Archimedes，約公元前287～前212）、施賴貝爾（Schreyber H.1495～1525）、弗里修斯（Frisius G.1508～1555）、施蒂費爾（Stifel M.1487～1567）等，利用雙數列之間的對應關系提出指數律，從而簡化計算，但當時還沒有冪指數的記法，直到17世紀，笛卡爾（Descartes R.1596～1650）發明了冪的記號，才有形如2m·2n=2m+n的簡便表達方式（指數冪的表達形式經歷了漫長的演變，可以說數學的發展史也是一部數學符號的進化史[3]）.

2.3?體會數表之局限

讓學生思考是否所有的數據計算都可以查表，如不行，請舉例說明，并指出數表存在的問題.

學生發現：（1）若要計算1048576（220）的立方，則數表不夠長;（2）數表第二行的數據間隔大，有許許多多的數據不在數表中，如無法解決課前提出的1光年的數據計算;（3）數表僅僅以2為底，那以3、5等為底的情況呢……

總結：數表缺廣度、精度、密度.能用數表來簡化計算的，僅僅是一小部分的數值計算.

2.4?彌補數表之缺憾

以1光年的數據計算為例，我們希望能查找到2？=299792.468和2？=31536000中的“？”值.基本思想是不斷往圖2第二行數據間隔中填充數，增加數表的密度.請同學們思考有沒有解決辦法？

學生提出兩套方案：

（1）用計算器或電腦計算;

（2）圖2第一行相鄰兩數如5和6對應32和64，它們的算數平均數5.5對應幾何平均數32×64≈45.2548，以此類推，5和5.5的算數平均數5.25對應幾何平均數32×32×64≈38.0546……只要分得足夠細，32和64之間就能不斷填充數.

方案（1）適用于現代，古人沒有高科技;方案（2）思路清晰，方法明確，但造表的計算難度還是非常大的，不過一旦造好將是一勞永逸的，那古人有沒有更好的辦法呢？

納皮爾整整經過二十年的努力制作了一張劃時代的數表，在1614年出版《奇妙的對數定律說明書》，標志對數的產生，成為17世紀三大重要數學成就之一，大大縮短了天文學家用于冗長計算的時間，使天文學家的壽命倍增.納皮爾將圖2數表的第一行數叫做“logarithm”，這個詞由希臘文logos（比）和arithmos（數）組合而成，17世紀由波蘭傳教士穆妮閣（J.N.Smogolenski，1611～1656）傳入中國，明代數學家薛鳳祚（？～1680）將其翻譯為“對數”.

清代康熙皇帝主編的《數理精蘊》中記載：“以假數與真數對列成表，故名對數表.其法以加代乘，以減代除，以加倍代自乘……莫不皆以假數相乘而得真數”，古代“假”（如：假輿馬者非利足也）就有借助的意思，故中國數學家將圖2數表第一行“借來用一下”的數記為“假數”，對應的第二行數即稱為“真數”（筆者認為這是N為什么叫真數的原因），后來將“假數”稱為“對數”，“對”是“對應”、“相對”的意思.

（2）原教材拋開了雙數列之間的對應關系，導致名詞與定義分離，使得學生對對數的理解有障礙.

（3）思考如何得到2？=299792.468中“？”的準確值，為引出對數符號做好鋪墊.

2.5?引入符號之迫切

顯然，大多數的數很難找到甚至找不到對應的精確的冪指數，那如何得到準確值呢？初中我們是如何解決？2=2的？

總結：引入新符號“?”即可解決非完全平方數的平方根問題.為了得到精確值，我們也需要創造新的符號來表示2？=299792.468中的“？”.歷史上曾采用“logarithm”的前三個字母“log”來表示，因為“？”與底數和真數都有關系，故數學家采用log2299792.468來表示，2？=31536000中的“？”=log231536000.推廣到一般化，就有了對數的定義：

如果ax=N，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數.

思考：字母a，N，x的取值范圍.

注?對數的發明先于指數，在討論字母的取值范圍時，理應對a進行正負性討論等，但是需要用到大學知識，不在中學生掌握之內，為降低難度，筆者采用原教材處理方式（采納一個權威的規定，必須取a>0，且a≠1且必須取x的正主值，其他情況都不提，即：對數是只對正的自變量才有定義的單值函數）從指對數的關系出發，得到a，N，x的取值范圍[4].

2.6?兩款對數之發展

課堂上如有時間，可介紹納皮爾和朋友布里格斯（Briggs H.1561～1630）的曠世之約故事，布里格斯后來對對數表進行優化完善，得到常用的以10為底的常用對數，初中曾經發過的《中學數學用表》里面就有一張常用對數表.

另外，在科學技術中常使用以無理數e=2.71828…為底數，它與借貸復利計算有很大關系，在放射性元素的衰變公式、牛頓的冷卻定律等數學模型中都包含e，在物理、化學和建筑學等自然科學中也經常會出現，故引入以e=2.71828…為底的對數，稱為自然對數.

注?（1）根據對數運算原理，人們還發明了對數計算尺.不過隨著科技的發展，對數表、對數尺已讓位給電子計算機.課堂上展示對數尺的圖片，讓學生了解，拓寬學生知識面.

（2）在連續復利計算中，e=limn→（1+1n）n=2.7182818284…即為自然對數的底，也是微積分中的一個重要極限.

（3）常用對數和自然對數的名稱和底數數值不是“空穴來風”，而是“事出有因”.

（4）就像“22”簡化為符號“2”一樣，常用對數和自然對數的符號也分別簡化為“lgN”、“lnN”.

3?教學反思

（1）借助HPM教學，學生明白了對數的來源是航海、天文等的計算需求，不是天上掉下來的，更不是為了高考而設置的，體會數學是有用的，社會生產、科學技術的需要是數學發展的主要動力.

（2）在課后與學生交流中，學生表示很喜歡這樣的課堂，這樣的課生動，有趣，環環相扣，跟隨數學家的足跡，領略大師們的風采，既學完了數學知識，又增加了見識;從課后作業情況看，在概念理解、對數運算上都明顯好于其他班.

（3）筆者備課時，充分利用課后的 “閱讀與思考”一欄：《對數的發明》，不辜負編者的良苦用心.教材副主編章建躍先生曾提出四個理解：“理解數學、理解學生、理解教學、理解技術”，筆者相信這樣設計沒有違背編者的意圖，數學史是踐行四個理解的有效載體.

（4）概念教學要讓學生經歷概念的形成過程，不能無中生有，虛無縹緲，要讓學生能在情境中抽象出數學概念，把握事物的本質，才能真正培養學生數學抽象的素養.

（5）想把數學概念的來龍去脈講清楚，大量的閱讀不可缺少，為理清對數發展史及教育價值，筆者曾查閱大量的資料，莫里斯·克萊因的《古今數學思想》和菲利克斯·克萊因的《高觀點下的初等數學》給了筆者很大的啟發與幫助，借助歷史，把“現成的知識”還原為“現實的問題”需要教師腦中有貨.筆者將繼續努力，在HPM視野下開發更多的教學案例.

參考文獻

[1]?金惠萍，王芳.HPM視角下的對數概念教學[J].教育研究與評論，2014（9）：28-34.

[2]?汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2017：450-456.

[3]?莫里斯·克萊因.古今數學思想[M].上海：上?？茖W技術出版社，1979.

[4]?菲利克斯·克萊因.高觀點下的初等數學[M].上海：復旦大學出版社，1908：163-165.