對稱軸在二次函數中的妙用試論

錢瑞玲 楊平

摘 要 二次函數是初中數學教學中重要的一環，二次函數的圖象是拋物線，是一個軸對稱圖形，本文就對稱軸在二次函數中的應用作如下講解。

關鍵詞 對稱軸;二次函數;作用

中圖分類號：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）11-0198-01

二次函數的圖象是拋物線，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是過頂點且平行于y軸的一條直線.對稱軸方程有以下幾種形式：

例1：拋物線的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（-2，0），其部分圖象如圖1.則拋物線與x軸的另一個交點坐標為（?? ）

分析：根據拋物線的軸對稱性可知，拋物線與x軸的兩個交點關于直線x=1對稱，利用對稱軸公式，可得與x軸的另一個交點坐標為（4，0）.

例2：已知二次函數的圖象經過點（2，-3），其對稱軸是直線x=1，且該圖象與x軸兩交點之間的距離為4，求這個二次函數的解析式.

分析：因為拋物線與x軸兩交點關于對稱軸對稱，且這兩點之間的距離為4，所以可知兩交點坐標為（-1，0）（3，0），如圖2.可由交點式設二次函數的解析式為y=a（x+1）（x-3），再將點（2，-3）代入解析式，求得a的值為1，則函數解析式為.

妙用二、利用對稱軸比較函數值的大小.

例3：若，是拋物線上的三個點，則，的大小關系是（?? ）。（用“>”連接）

分析：由頂點式可知，拋物線的對稱軸是，點A、B在對稱軸左側，點C在對稱軸右側，三個點分布在對稱軸兩側，可以利用點C的對稱點轉化到對稱軸左側，這樣三個點都在對稱軸同側，再利用增減性比較函數值的大小.

如圖3，點C關于對稱軸的對稱點是，拋物線開口向上，在對稱軸左側y隨x的增大而減小，∵-2<-1<0， .

例4向上發射一枚炮彈，經x秒后的高度為y米，且時間與高度關系為，若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則在下列時間高度最高的是（?? ）

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

分析：先畫出草圖，如圖4，因為此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，所以利用中點公式可求出拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口向下，離對稱軸越近的點越高，10離直線x=10.5有0.5個單位，12離直線x=10.5有1.5個單位，因此第10秒炮彈的高度最高.

妙用三：利用對稱軸求函數值.

例5：若點均在拋物線上，當時，y=（?? ）

分析：如圖5，由點A、B的縱坐標相同，橫坐標不同可知，點A、B是關于對稱軸對稱的，因為拋物線的對稱軸是y軸，所以互為相反數，則，當時，y=2.

例6：已知二次函數，當自變量x取兩個不同的值時，函數值相等，求當自變量x取時的函數值。

分析：如圖6，當自變量x取兩個不同的值時，函數值相等，說明橫坐標是的兩個點的縱坐標相同，它們關于對稱軸對稱，對稱軸為直線，而橫坐標是的點和拋物線與y軸的交點（0，-3）恰好也關于對稱軸對稱，所以當自變量x取時的函數值也是-3.