關(guān)于高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的分析

卞晗之 夏爽

摘 要 代數(shù)中的恒成立問題對于高中學(xué)生來說，是一個(gè)很重要的必考知識點(diǎn)。以函數(shù)知識為基礎(chǔ)，內(nèi)容涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)、圖像等，需要采用換元、數(shù)形結(jié)合等多種方式進(jìn)行解題，非?？简?yàn)思維能力。因此，在遇到恒成立問題的時(shí)候，要先分析題目，找到最適用的解題方法來快速得出答案。文章對高中數(shù)學(xué)恒成立問題進(jìn)行分析，探討典型的解題思路和分析解題技巧，以此來提升對恒成立問題的理解和掌握。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué);恒成立;解題思路

中圖分類號：G32??????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）12-0151-02

恒成立的問題是高中數(shù)學(xué)中綜合性最強(qiáng)的難點(diǎn)，解題所要涉及的知識面十分的廣泛，特別是解題中涉及不等式、數(shù)列、函數(shù)等方面，都是高考的重點(diǎn)。恒成立的問題如此難解，主要是因?yàn)槠湫问蕉嘧?，沒有固定的解題方法，很多同學(xué)遇到此類題目會比較茫然，不知從何下手。文章主要介紹了筆者在遇到這類問題的解題思路，拋磚引玉，為大家提供一些解題思路，希望同學(xué)們在數(shù)學(xué)成績上有所突破。

一、探究高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的解題方法的重要性

筆者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，發(fā)現(xiàn)恒成立問題的題目模式主要是有關(guān)函數(shù)的知識點(diǎn)，題型特點(diǎn)是在已知的條件下，非局限性的變量不管如何改變，題目的結(jié)果和命題都是成立的。所以，在解決恒成立問題的題目時(shí)，思維不能被固化，要從抽象的角度去理解和分析其中的變量。老師曾說出卷者設(shè)計(jì)此類模式題目的目的是為了提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，考查同學(xué)們對邏輯性問題的思考能力，也可以激起同學(xué)們對于勇于挑戰(zhàn)高難度數(shù)學(xué)的興趣。因此，同學(xué)們需要通過培養(yǎng)邏輯思維能力，采用多元的解題方法，才能做到充分有效的掌握恒成立問題的解題思路與方法。

二、高中數(shù)學(xué)中關(guān)于含參不等式恒成立問題的分析

數(shù)學(xué)不等式恒成立中的一個(gè)重要形式就是函數(shù)。解決含參不等式恒成立問題，首先要解決定義域以及值域的問題，關(guān)鍵是判斷給定的定義域是否在函數(shù)中恒成立，在恒成立的基礎(chǔ)上確定參數(shù)的取值范圍，從而對于所求的不等式進(jìn)行證明。對于含參不等式恒成立問題通常采取代數(shù)法（分離參數(shù)）以及幾何法（數(shù)形結(jié)合）進(jìn)行證明。關(guān)于含參不等式恒成立的題型通常都會涉及到兩個(gè)參數(shù)，而題目本身提供一個(gè)已知的參數(shù)，通過已知的參數(shù)結(jié)合函數(shù)來對第二個(gè)參數(shù)的范圍進(jìn)行求解。求解參數(shù)的范圍即求解參數(shù)的最大值和最小值，存在參數(shù)m的情況下，通常在求解過程中都需要進(jìn)行分類討論，一種方法是通過畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合考慮，這種方法過程比較復(fù)雜，需要依靠比較強(qiáng)的邏輯思維能力。所以在一般情況下，首選分離變量法來對含參不等式恒成立問題的解答。以下詳細(xì)介紹分離參數(shù)法以及數(shù)形結(jié)合法。

2.1分離參數(shù)法

2.2數(shù)形結(jié)合法

如果給出的函數(shù)題型中，含參不等式中參數(shù)與主元不易分離，并且對不等式進(jìn)行巧妙地變型，使得變型后地函數(shù)很容易挖掘出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像所表達(dá)出的幾何意義來解決恒成立問題，這種解決問題的方法對于一些題型非常有效。首先，將復(fù)雜的含參數(shù)不等式函數(shù)經(jīng)過變型成基本的初等函數(shù)，構(gòu)造出相應(yīng)的圖形，以觀察圖形之間的關(guān)系。解題的思路是從圖形的邊界處著手，從而確定參數(shù)的范圍。以下舉例進(jìn)行證明。

三、函數(shù)構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)中恒成立問題

3.1構(gòu)造一次函數(shù)法

在恒成立問題的題型上，有些沒有那么的復(fù)雜，即可以化為一次函數(shù)的類型來進(jìn)行計(jì)算，及構(gòu)造成一次函數(shù)，則是以圖形結(jié)合的邏輯思維來進(jìn)行一次函數(shù)的計(jì)算，此方法非常的便捷，也更加容易計(jì)算。

y=f（x）=ax+b（a≠0）

若y=f（x）在[m，n]上，f（x）>0

則f（m）>0，f（n）>0

題中有兩個(gè)變量的字母：x和a，要先將其中一個(gè)變量字母當(dāng)做一個(gè)常數(shù)，可有利于計(jì)算。顯然題中可將a當(dāng)為自變量，則可將此類型的問題轉(zhuǎn)化為[-2，2]內(nèi)的關(guān)于a的大于0的恒成立問題上的一次函數(shù)^[5]。

解：原不等式可轉(zhuǎn)換為（x-1）a+x-2x+1>0在a≤2時(shí)恒成立

設(shè)f（a）=（x-1）a+x-2x+1

F（a）在[-2，2]上>0，則f（-2）>0，f（2）>0，即x-4x+3>0，x-1>0

解得：x>3，即x滿足[-∞，-1]和（3，+∞）