淺談導數在高中數學教學中的應用

摘要：在高中教學內容中，導數占據著重要的地位，并且通常在數學考試中以壓軸題目出現，另外還是學生以后學習微積分的基礎。合理應用導數可以拓寬解決中學問題的視野，可以說導數是解決數學問題的有力工具。本文結合相關教學經驗，分析導數在高中數學中的應用。

關鍵詞：高中數學；導數應用；解決問題

作為高中數學中的重要內容，導數本身就具備工具性質，是解決數學問題的重要工具。在高中數學教學內容中，有關導數有著較為詳細的介紹，并詳細論述導數的概念與幾何意義，通過函數的變化率刻畫函數變化的趨勢。導數教學內容是對函數性質與圖像的總結與延伸，是研究函數、幾何問題、證明不等式的重要工具，并且通過導數可以實現生活中最優化問題的解答。下文從函數、幾何、證明不等式詳細論述導數在高中數學的應用，并應用導數解決生活中實際問題，以此實現導數意義的探究。

一、 利用導數研究函數問題

在函數問題研究過程中，主要考慮函數的圖像、單調性、函數的零點、函數的極值、函數的最值，導數知識的引入可以更加方便地研究這些問題。一個函數在一段定義域內若為減函數，則f（x）的導函數f′（x）小于0，反之，若一個函數在一段定義域內為增函數，則f（x）的導函數f′（x）大于0。通過導函數的圖像可以很好地判斷圖像是否屬于原函數，例如：函數f（x）在定義域內可導，導函數f′（x）的圖像如下圖所示，則函數f（x）的圖像可能為（）

在這類習題解答時，這要正確分析導函數圖像與原函數圖像之間的關系即可，導函數中小于零對應的原函數為遞減區間，由此分析可以得知，原函數的圖像應為遞減、遞增、遞減、遞增趨勢，因此答案為B。

二、 利用導數求解解析解析結合問題

在導數教學內容中，導數的幾何意義為：曲線f（x）在點x0處的導數為在這一點的切線斜率，切線夾角為α，則f′（x0）=tanα。借助導數的幾何意義，可以很好地求解曲線切線問題，尤其是在求解橢圓、雙曲線、拋物線等曲線圖形求解時，應用原本的曲線公式求解切線十分復雜麻煩，而應用導數可以很好地簡化求解過程，實現計算的簡化。例如：求垂直于2x-6y+1=0并且和曲線y=x3+3x2-5相切的直線方程。

解：由于所求得的直線方程與已知直線垂直，則所求的直線斜率為k=-3，又因為所求直線與曲線相切，則斜率滿足k=3x2+6x，通過這一公式的解答可以得出切點的橫坐標，再將得到的切點橫坐標x=-1代入曲線方程，可以得出切點為（-1，-3），依據斜率和切點可以得出直線方程：3x+y+6=0。如果沒有導數知識的引入，還需要設出直線方程，將直線方程帶入到曲線公式中，而應用導數可以簡化很多求解步驟。

三、 利用導數證明不等式問題

在不等式證明方法中主要包括換元法、綜合法、歸納法、分析法，但是對于含有指數或者對數的不等式證明習題，這些方法卻無法得心應手，而導數方法的引入，可以很好地解決這些問題，簡化計算步驟。

例如：已知0

對于這道證明題，上述中的證明方法都無法很好地入手，并且綜合分析很容易出現錯誤，并且分析找不到相應的切入點，而應用導數就可以實現問題的清晰解答。

證明：要證ab

在導數的幫助下，學生對于不等式的學習會更加感興趣，在導數工具的幫助下，可以更加得心應手地解決實際問題。

四、 導數在實際生活中的應用

傳授學生知識的目的是引導學生靈活運用相關知識解決實際問題，導數知在解決實際生活問題中也有著很大的用處，在高中數學教學中引入相關問題有助于提升學生的解決實際問題的能力。例如：將進貨單價為90遠的某商品按100遠一個出售，能賣出500個，已知這種商品如果每個漲1元，其銷量就會減少10個，為了獲得最大利潤，售價應定為多少？

解：設：漲價x元，總利潤為y元。

由題意得y=f（x）=（10+x）（500-10x）（0≤x≤49）（單個利潤×銷量）

（y=-10x2+400x+5000）

f′（x）=-20x+400。

令f′（x）=0，解得x=20

f（0）=5000，f（20）=9000，f（49）=590。

所以當漲價20元時有最大利潤9000元，售價應定為100+20=120元。在導數的應用下，本來計算較為麻煩的實際問題得到有效解決，并且解答過程十分簡潔，思路清晰。

五、 結語

總而言之，在高中數學教學內容中，作為工具的導數知識在解決各類數學問題時都能夠發揮良好的作用，在實際教學中，教師要深度開展導數內容教學，引導學生建立導數思維，以及靈活運用導數知識，實現問題的簡化解答。另外，在教學中，教師要注重導數知識的遷移，引導學生運用導數知識分析與解答實際問題，實現學以致用。

參考文獻：

[1]馬艷.淺談導數在高中數學中的應用[J].基礎教育論壇，2016（22）：34-36.

[2]朱雅琪.淺談導數在高中數學解題中的應用[J].知識文庫，2017（2）.

作者簡介：彭國榮，福建省寧德市，福建省寧德市實驗學校。