明“理”解困　以“理”入法

凌炎

摘要：豎式除法的計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。豎式除法計(jì)算中蘊(yùn)含的算理沒(méi)被完全理解是學(xué)生頻頻出錯(cuò)的重要原因。本文對(duì)其中的算理做簡(jiǎn)要分析，以拋磚引玉，供廣大數(shù)學(xué)教師參考。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué) 豎式除法 計(jì)算 算理

筆算除法是小學(xué)計(jì)算教學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，也是一個(gè)老大難問(wèn)題。傳統(tǒng)教學(xué)中，老師們通常把筆算當(dāng)作計(jì)算的一項(xiàng)技能來(lái)訓(xùn)練，認(rèn)為它沒(méi)有思維含量。新課改以來(lái)，隨著“算理比算法更重要”理念的不斷深入，我們開(kāi)始追求“規(guī)定性知識(shí)”背后的原因。因此，在計(jì)算教學(xué)中不僅要讓學(xué)生掌握算法，知道怎樣運(yùn)算，更應(yīng)使其理解算理，明白為什么這樣算，從而為其后續(xù)的學(xué)習(xí)，為養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣奠定基礎(chǔ)。

一、案例描述

這是一節(jié)組內(nèi)研究課，教學(xué)內(nèi)容是北師大版四年級(jí)上冊(cè)《買(mǎi)文具》——除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法的計(jì)算。教師首先創(chuàng)設(shè)了買(mǎi)文具的情境，提出問(wèn)題：80元錢(qián)可以買(mǎi)幾個(gè)書(shū)包？在用到“每個(gè)書(shū)包20元”這條數(shù)學(xué)信息后，孩子們很自然地意識(shí)到這是一道用除法解決的問(wèn)題。接著解決問(wèn)題：80÷20=？，獨(dú)立思考計(jì)算后，學(xué)生交流匯報(bào)如下：

生1：因?yàn)?×20=80，所以80÷20= 4。

生2： 80里有4個(gè)“20”，所以80÷20= 4。

生3：80元買(mǎi)一個(gè)書(shū)包剩下60元，80-20=60，60-20=40，40-20=20，所以，可以買(mǎi)4個(gè)書(shū)包。

生4：80元是8個(gè)十元，20元是2個(gè)十元，因?yàn)?÷2=4，所以80÷20=4。

生5：我是用豎式計(jì)算的。（生5上黑板擺豎式）

師生接下來(lái)共同探究除法豎式的寫(xiě)法，并提問(wèn)：商“4”為什么寫(xiě)在個(gè)位上。生回答：因?yàn)?0÷20=4，相同數(shù)位對(duì)齊，“4”就寫(xiě)在個(gè)位上。在得出以上幾種算法后，師生又一起比較、優(yōu)化計(jì)算方法，明確豎式計(jì)算最方便、簡(jiǎn)單。

二、引發(fā)思考

整節(jié)課看似行云流水，一氣呵成。但讓人總感覺(jué)不真實(shí)，孩子們?nèi)绱掖疫^(guò)客，觸及的都是除法豎式計(jì)算的表面，根本沒(méi)有真正理解算理。梳理一下，發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)問(wèn)題沒(méi)弄清楚。

問(wèn)題一：商“4”為什么寫(xiě)在個(gè)位上？這既是教材的重點(diǎn)又是理解的難點(diǎn)，如果單憑因?yàn)樯淌恰?”不是“40”，所以它應(yīng)該寫(xiě)在個(gè)位上，這樣去理解的話，除法豎式就失去了它本身的意義和作用。商的結(jié)果不是通過(guò)豎式求得的，這在數(shù)學(xué)上犯了邏輯上的錯(cuò)誤，既然你已得到結(jié)論，為什么還要列豎式？而且當(dāng)商是兩位數(shù)時(shí)，如算式：“568÷40=？”，無(wú)法憑借口算知道商是多少，就更談不上去確定商是幾位數(shù)了。如果直接告訴學(xué)生：看被除數(shù)的前兩位，如果它大于除數(shù)，商就是兩位數(shù)，商應(yīng)首先寫(xiě)在十位上;如果它小于除數(shù)，商就是一位數(shù)，商寫(xiě)在個(gè)位上，此舉只能使之知其然而不知其所以然，也是不可取的。

問(wèn)題二：生4的回答聽(tīng)著覺(jué)得很繞口，在沒(méi)有學(xué)習(xí)商不變的規(guī)律這一知識(shí)之前，孩子們是沒(méi)法接受這種想法的，慣性思維使他們更容易會(huì)這樣思考：因?yàn)?÷2=4，所以80÷20=40。生4的答案應(yīng)該是照搬教材中小朋友的話，不是自己真實(shí)的想法。

那么，除法豎式計(jì)算該怎樣教學(xué)呢？

小學(xué)數(shù)學(xué)中，除法豎式是計(jì)算教學(xué)的難中之難，主要分為三個(gè)階段：一是“表內(nèi)除法豎式”，首次接觸除法豎式;二是“除數(shù)是一位數(shù)除法”，真正進(jìn)入除法豎式理解性學(xué)習(xí)階段;三是“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”，屬于除法豎式的完善階段。

但縱觀教材，從二年級(jí)的表內(nèi)除法到三年級(jí)的商是兩位數(shù)的除法，四年級(jí)學(xué)習(xí)的除數(shù)是兩位數(shù)的除法，一直到五年級(jí)小數(shù)除法的計(jì)算的學(xué)習(xí)，始終貫穿一條暗線：“平均分”。除法的本質(zhì)就是“平均分”。因此，我們以“平均分”為核心來(lái)理解豎式除法的算理，牢固掌握豎式的計(jì)算方法。

雖然都是平均分，但是由于思維水平的限制，各個(gè)階段的要求層次有提升，在低年級(jí)是借助實(shí)物，直觀操作幫助學(xué)生理解算理，如三年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)的“分桃子”，把56個(gè)桃子分給兩只猴，先將5籃子的桃子分給兩只猴（每籃10個(gè)），每只猴分到兩籃;還剩一籃子，再將剩下的這一籃和6個(gè)桃子合成16個(gè)桃子，平均每只猴分到8個(gè)，這樣每只猴就分到20+8=28個(gè)。其實(shí)，5籃桃子表示5個(gè)“十”，6個(gè)桃子表示6個(gè)“一”，兩只猴子分掉4個(gè)“十”后，還剩下1個(gè)“十”，每只猴分不到1個(gè)“十”，就把1個(gè)“十”變成10個(gè)“一”，與6個(gè)“一”合成16個(gè)“一”，再分。由于中年級(jí)學(xué)生的抽象思維能力較差，所以必須借助直觀的教具來(lái)理解算理。實(shí)際上無(wú)論分什么東西，實(shí)質(zhì)都是在分計(jì)數(shù)單位，不夠分時(shí)，我們將較大的計(jì)數(shù)單位變成較小計(jì)數(shù)單位。這樣，較小的計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字就變大了，如80除以20應(yīng)理解為8個(gè)“十”平均分給20個(gè)人，每人分不到1個(gè)“十”，將8個(gè)“十”看成80個(gè)“一”，平均分給20個(gè)人，每人分到4個(gè)“一”，所以商“4”寫(xiě)在個(gè)位上。后面的小數(shù)除法也是同理。如3.24÷6，3個(gè)一平均分給6個(gè)人，每人分不到1個(gè)“一”;將3個(gè)“一”和2個(gè)“十分之一”合成32個(gè)“十分之一”平均分給6個(gè)人，每人得5個(gè)“十分之一”，還剩2個(gè)“十分之一”，又與4個(gè)“百分之一”合成24個(gè)“百分之一”，平均分給6個(gè)人，每人得4個(gè)“百分之一”，所以5寫(xiě)在十分位上，4寫(xiě)在百分位上。明白這樣的道理，學(xué)生不難理解：為什么除數(shù)是兩位數(shù)，看被除數(shù)的前兩位可以確定商的位數(shù);為什么除到哪一位，商就上在哪一位。并由此將豎式求商的方法遷移到除數(shù)是三位數(shù)，甚至更多位數(shù)時(shí)的計(jì)算，達(dá)到教是為了不教的目標(biāo)，為后續(xù)學(xué)習(xí)做了鋪墊。

在學(xué)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)后，練習(xí)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)除數(shù)是多位數(shù)的計(jì)算，學(xué)生的正確率很低，究其原因是對(duì)算理一知半解，導(dǎo)致了除法豎式的計(jì)算方法不能正確遷移。所以，除法豎式計(jì)算教學(xué)不能機(jī)械地為計(jì)算而計(jì)算，必須由低年級(jí)到高年級(jí)，訓(xùn)練學(xué)生逐步脫離具體的實(shí)物，過(guò)渡到以計(jì)數(shù)單位作為豎式計(jì)算的載體，及時(shí)將算理提升為策略、方法，并讓他們主動(dòng)將方法遷移各種除法豎式的計(jì)算中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)思考，掌握算法和算理之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解不但知其然，更知其所以然，從而使學(xué)生創(chuàng)造靈感的火花自由綻放。