高中數(shù)學(xué)不等式幾種解題思路分析

姜有文

摘? 要：隨著我國(guó)的教育改革的不斷深入，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式的地位十分重要，也是高中學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)以及重點(diǎn)。只有更好地了解和分析不等式的解題思路，才能提升學(xué)生解不等式的效率。因此，本文對(duì)于一部分不等式的解題方法進(jìn)行了簡(jiǎn)單的描述。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);不等式;解題思路;分析

引言：

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，不等式是極其重要的，同時(shí)也是高考必考的重難點(diǎn)。所以，高中學(xué)生在學(xué)習(xí)不等式的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)了解不等式的基本概念，并且熟練掌握不等式的解法。因此，筆者針對(duì)高中部分不等式的解題思路進(jìn)行了分析。

一、換元法解高中數(shù)學(xué)不等式問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，關(guān)于不等式的問(wèn)題大多采取字母表達(dá)的方式，這就十分考驗(yàn)學(xué)生的思維能力。例如一些對(duì)多變量以及變量之間的關(guān)系的不等式，我們可以利用換元法來(lái)解決問(wèn)題，將不等式化簡(jiǎn)，然后再順利解決問(wèn)題。采用換元法可以更好地幫助學(xué)生構(gòu)建出自己獨(dú)特的解題思路，因此，也就需要學(xué)生熟練掌握換元法，并且還要勤加練習(xí)。而換元法主要有以下幾種形式，一種是三角代換法，另一種就是增量換元法。說(shuō)到三角代換法，其多數(shù)應(yīng)用于不等式的證明，假設(shè)已知條件十分復(fù)雜，一個(gè)變量很難用另一個(gè)變量來(lái)表達(dá)，這時(shí)就可以使用三角換元法，將兩個(gè)不同變量用同一個(gè)參數(shù)來(lái)表達(dá)。熟練掌握這一方法，將三角與代數(shù)結(jié)合起來(lái)，從而使得復(fù)雜問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單。對(duì)于增量換元法來(lái)說(shuō)，就是在對(duì)稱式與已知的字母序列不等式中，可以采取增量換元法，經(jīng)過(guò)一系列換元后，可以達(dá)到減元的目的，使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化。這里需要重點(diǎn)提到三角換元法，因?yàn)槠湟阎獥l件會(huì)具備一定的局限性，導(dǎo)致對(duì)引進(jìn)的角有很大局限。所以，需要注意觀察，不然很可能解題錯(cuò)誤。當(dāng)然這也是換元法解決不等式問(wèn)題的關(guān)鍵之處，需要對(duì)整體思路的運(yùn)用多加注意。本文以增量換元法為例，已知一元二次不等式 ，求出m的解集范圍。

對(duì)于這道題，我們可以很明顯地看出其中含有 ，因此，我們可以用字母x來(lái)代替，就可以將 換元成x2-2， 可以換元成5x，這樣原本的一元二次不等式化簡(jiǎn)為x2-5x+6=0，最終得到x1=2，x2=3。因此，我們就得出 我們發(fā)現(xiàn)不等式當(dāng)中含有 ， 等分?jǐn)?shù)，無(wú)形中增加了解題的難度，而且也會(huì)使得計(jì)算步驟增加，加大解題難度，使得學(xué)生更容易犯錯(cuò)。所以，推薦學(xué)生們使用換元法解決問(wèn)題，將復(fù)雜變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而使得不等式變得簡(jiǎn)單，最后在將其還原到原本的不等式之中，可以更輕松地得到正確答案[1]。

二、放縮法解決高中不等式問(wèn)題

對(duì)于高中出現(xiàn)的不等式，除了應(yīng)用換元法以外，還可以應(yīng)用放縮法解不等式，這也同樣是解不等式的重要方法。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，在不等式證明中使用放縮法，這種解題過(guò)程將依照不等式的傳遞性，在公式變形過(guò)程中把部分分式和數(shù)字縮小或放大，進(jìn)而證明問(wèn)題。在進(jìn)行放縮法解不等式時(shí)，依照不等式的傳遞性，通常采取舍去部分正項(xiàng)或者負(fù)項(xiàng)，讓不等式中的每一項(xiàng)之和縮小或者變大，也可以將不等式中的積與和每一項(xiàng)換成較小或者較大的數(shù)，或?qū)⒉坏仁街械姆质街械姆肿踊蚍帜高M(jìn)行放大或者縮小，從而降低解題難度，達(dá)到解題目的。但是在進(jìn)行放大和縮小時(shí)，應(yīng)注意放大與縮小應(yīng)恰當(dāng)，而我們常用的方式就是拆補(bǔ)方所、編組放縮以及改變分母或者分子的放縮等[2]。

例如，證明

解決這道題時(shí)，我們不妨設(shè)立一個(gè)數(shù)值p，使得p= ，然后可以將p進(jìn)行平方，得到? 。因此，也很輕松得出p<0.01。

三、分類討論法解決高中不等式問(wèn)題

除了以上介紹的兩種解決高中不等式問(wèn)題的方法外，還有一種解決不等式問(wèn)題的方法就是分類討論法。這同樣也是解決不等式問(wèn)題的重要方法，學(xué)生可以適當(dāng)?shù)乩梅诸愄接懙姆椒▉?lái)解決不等式問(wèn)題。這種不等式的解決方法可以培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，還可以激發(fā)學(xué)生自身對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)其對(duì)于數(shù)學(xué)的探索能力，不僅如此，還可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。高中數(shù)學(xué)不等式問(wèn)題涉及到很多條件，為此，必須對(duì)其進(jìn)行歸納整理，而分類討論法就十分有效，它可以幫助學(xué)生預(yù)防出現(xiàn)紕漏，可以對(duì)問(wèn)題的各個(gè)條件展開(kāi)分析，達(dá)到解決問(wèn)題的目的[3]。

例如，求

解決此道題時(shí)，就可以使用分類討論法進(jìn)行解答。因?yàn)樯鲜疆?dāng)中 的系數(shù)為1，所以僅需考慮 就可以了。得出 當(dāng)b等于3或-3時(shí)， 就等于0，可以得出這道題的答案m屬于R，但是m并不等于 。當(dāng)3>b>-3時(shí)，不難發(fā)現(xiàn) <0，于是得到答案是全集R。當(dāng)b<3或b>-3時(shí)，可以得出 >0，從而得出兩個(gè)計(jì)算結(jié)果分別為 ， ，于是就可以得出解集為 或者m> 。本題就是對(duì)b進(jìn)行了分類討論，從而列出不同條件下的正確答案，不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題解答錯(cuò)誤的現(xiàn)象。

結(jié)束語(yǔ)：

總而言之，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，總是離不開(kāi)數(shù)論以及幾何學(xué)，而且這都和不等式有著緊密聯(lián)系，這也就突出了不等式問(wèn)題的重要性。所以，作為一名高中生，必須要熟練掌握不等式的解題技巧，而且要靈活運(yùn)用各種不同的解題思路。只有這樣才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，以此找到突破口，從而使得解不等式問(wèn)題不再?gòu)?fù)雜，進(jìn)而大大提升做題效率，節(jié)省大量時(shí)間。

參考文獻(xiàn)：

[1]張惠淑.高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究[D].天津師范大學(xué)，2012.

[2]曹志新.高中生解不等式困難點(diǎn)的研究[D].東北師范大學(xué)，2012.

[3]陳超.高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)策略研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2016.