溝通算理與算法，構(gòu)建高效計算教學(xué)課堂

蔡文怡

【摘要】學(xué)生運算能力的發(fā)展，離不開算理的理解和算法的應(yīng)用。運算能力作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，注重計算教學(xué)是必然的。能合理溝通計算教學(xué)中算理與算法的關(guān)系，是構(gòu)建高效計算教學(xué)課堂的關(guān)鍵，是促進數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的重要途徑。文章以北師大版五年級下冊《分?jǐn)?shù)除法（一）》一課為例，闡述溝通算理算法，構(gòu)建高效計算教學(xué)課堂的具體策略：搭橋引路，鋪墊舊知入新知;注重理解，反復(fù)實踐明算理;自主生成，理解算理通算法;強化提升，運用算法促內(nèi)化。

【關(guān)鍵詞】計算教學(xué);算法算理;《分?jǐn)?shù)除法（一）》

培養(yǎng)運算能力是發(fā)展數(shù)學(xué)人才的需要。而運算能力的發(fā)展，離不開算理的理解和算法的應(yīng)用。算理就是計算的原理，解決“為什么這樣算”，而算法就是計算方法，主要解決“怎樣計算”的問題。既要讓學(xué)生知道怎樣計算，也要讓學(xué)生知道為什么能這樣計算，知其然又知其所以然，才能真正發(fā)展學(xué)生的運算能力。但實際教學(xué)現(xiàn)狀卻有以下幾個問題：1.學(xué)生不是不會算，而是算不對;2.計算課枯燥，學(xué)生不愿意聽，教師便直接告訴方法，多練習(xí)就行;3.重算理輕算法或者重算法輕算理，沒有溝通好算理與算法的關(guān)系。

下面，筆者以北師大版《分?jǐn)?shù)除法（一）》一課為例，談?wù)劇昂侠頊贤ㄋ憷砼c算法的關(guān)系，構(gòu)建高效計算教學(xué)課堂”這方面的認(rèn)識。

一、搭橋引路，鋪墊舊知入新知

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是有邏輯性和系統(tǒng)性的，新知是在舊知的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，所以新知識的解決方法必定能在已學(xué)知識的方法上得到啟發(fā)。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法前，必定能看到為此鋪墊的學(xué)習(xí)內(nèi)容。對于學(xué)生來說，分?jǐn)?shù)除法是全新的知識，可能無從下手。但是教師作為課堂的引導(dǎo)者，應(yīng)該有意識地給學(xué)生創(chuàng)造條件，引領(lǐng)學(xué)生聯(lián)系舊知，進入新知的學(xué)習(xí)當(dāng)中去。同時也要根據(jù)課程的設(shè)計和學(xué)生的學(xué)情，合理地設(shè)計導(dǎo)入的方式。比如，在學(xué)生剛講授了分?jǐn)?shù)乘法知識后，已經(jīng)非常熟悉分?jǐn)?shù)乘法的知識了，而且分?jǐn)?shù)除法內(nèi)容較多，那么就直接復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法問題的計算方法，節(jié)省時間，讓出更多的時間給學(xué)生搭建新的知識框架。

【教學(xué)片段1】

師：之前我們學(xué)習(xí)了許多分?jǐn)?shù)乘法的知識，現(xiàn)在老師想看看你們掌握得如何。

（課件出示題目：一桶千克的油，它的是多少千克？）

師：能完成嗎？

生：能。

（請學(xué)生獨立完成，并請一個學(xué)生匯報）

師：誰來說說你是怎么做的？

生：×=

師：根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的知識，我們知道求一個數(shù)的幾分之幾可以用什么方法？

生：乘法。

師：分?jǐn)?shù)乘法計算過程中要注意什么？

生：能約分的先約分再計算。

二、注重理解，反復(fù)實踐明算理

學(xué)生常常知道怎么計算，但為什么能這么計算往往是最難理解的。一方面是因為缺少一個方式讓抽象的算理呈現(xiàn)出來;另一方面教師認(rèn)為算理無助于考試，不如多做幾道計算題。新課改也注意到了這些問題，針對前一個問題，新課改后的教材非常注重將代數(shù)問題幾何化，將抽象的算理具體化。通過提供學(xué)具操作、圖形直觀等數(shù)形結(jié)合的方法為學(xué)生理解提供適當(dāng)?shù)哪_手架。例如，在本節(jié)課之前學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)乘法通過畫圖理解算理，匯通算法，強化了一個分?jǐn)?shù)的幾分之幾的畫圖方法和計算方法。在此基礎(chǔ)上，分?jǐn)?shù)除法借助畫圖理解算理就水到渠成了。筆者設(shè)計了兩次讓學(xué)生畫一畫、涂一涂的操作活動，看似簡單，實際上每次活動都能讓學(xué)生清晰看到一個分?jǐn)?shù)平均分成幾份，每份就相當(dāng)于這個分?jǐn)?shù)的幾分之幾。學(xué)生可能在表達算理時不夠流利，但這并不影響算理的理解，兩次畫圖設(shè)計也是為了讓學(xué)生多動手畫圖，多動口說圖意、說算理。通過這樣數(shù)形結(jié)合理解算理、說算理的方法，避免了單純依靠死記硬背來理解概念的做法。而對于不重視算理，甚至忽略算理教學(xué)，直接講解算法的方式，短期來說學(xué)生的計算能力可能有所提高，但知其然不知其所以然的教學(xué)方法，不利于培養(yǎng)學(xué)生知識遷移，舉一反三的學(xué)習(xí)能力，也無法搭建知識的架構(gòu)。因此，課堂中必須將算理教學(xué)擺在計算教學(xué)的第一環(huán)節(jié)。

【教學(xué)片段2】

1.（課件出示題目：把一張紙的平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？請學(xué)生先列式。）

師：÷2學(xué)過這樣的計算嗎？

生：沒有。

師：請先畫一畫，再列式計算出結(jié)果。

生展示以下兩個圖：

師：請結(jié)合圖說一說（教師手指著圖），你是怎么計算的？

生：4個平均分成兩份，每份就是2個，也就是。也就是分子4除以2，分母不變。所以÷2=。

師：其他分?jǐn)?shù)除法也能用這個方法嗎？繼續(xù)看下一題。

2.（課件出示題目：把一張紙的平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？請學(xué)生先列式。）

師：÷3可以用剛才的方法嗎？為什么？

生：不能，因為4除以3除不盡。

師：那么請繼續(xù)先用畫一畫的方法，再列式計算出結(jié)果。

生展示下圖：

師：請結(jié)合圖說一說（教師手指著圖），你是怎么計算的？

生：把平均分成3份，每份就是的，列式÷3=×=。

師：剛才那道題也能用這種方法嗎？你是怎么想的？

生：把平均分成2份，每份就是的，列式÷2=×=。

3.（課件出示題目：÷6? ? ? ÷12）

師：那除了這兩道題其他題目也可以這么做嗎？

（學(xué)生獨立完成后，小組內(nèi)說一說“怎么做”，“為什么這么做”。）

生1：÷6 就是把平均分成6份，每份就是的，列式÷6=×=。

生2：÷12 就是把平均分成12份，每份就是的，列式÷12=×=。

三、自主生成，理解算理通算法

算法就是計算的方法，簡單來說就是做計算題。但往往就是這種簡單的說法讓老師的操作誤入題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生機械重復(fù)地去訓(xùn)練形成計算技能。如果在前一個環(huán)節(jié)學(xué)生能夠理解透徹算理，那么算法就只是一個歸納總結(jié)的過程。學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解往往是稚嫩的，不成熟的，但卻是發(fā)自內(nèi)心的、具有獨特性的。因此，教師應(yīng)該放手讓學(xué)生去歸納算理，同時給個路燈指引他們歸納的方向。這方面筆者在這節(jié)課上是這樣設(shè)計的：通過畫圖我們得出四道分?jǐn)?shù)除法的結(jié)果，那如果不畫圖，能說一說分?jǐn)?shù)除法是怎樣計算的嗎？通過對比四道算式，顯而易見——分?jǐn)?shù)除以一個不為零的整數(shù)，相當(dāng)于乘這個數(shù)的倒數(shù)。這是在理解算理的基礎(chǔ)上，自然而然的算法生成，而不是由教師生搬硬套出來的分?jǐn)?shù)除法算法，更不是需要學(xué)生單純依靠背誦記憶的算法。通過自主生成的算法學(xué)生更能熟記于心，熟練的算法能夠有效提高計算速度和答題正確率。

【教學(xué)片段3】

板書：（四道算式對齊著寫）÷ 2 =×=

÷ 3 =×=

÷ 6=×=

÷12=×=

師：觀察上面四道分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算式，什么變了？什么沒變？

生：被除數(shù)沒變，除號變成乘號（教師板書：將四道算式除號圈起來，乘號圈起來），整數(shù)變成倒數(shù)（教師板書：用箭頭把整數(shù)指向倒數(shù)）。

師：所以分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計算方法應(yīng)該是怎樣的？

生：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，相當(dāng)于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

師：這個整數(shù)要注意什么？

生：除數(shù)不能為0。

師：那么完整的說一遍就是？

生：分?jǐn)?shù)除以一個不為0的整數(shù)，相當(dāng)于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

四、強化提升，運用算法促內(nèi)化

理解算理，幫助了算法的生成，算法生成后就必須熟練運用到實踐當(dāng)中去了。在計算教學(xué)的最后一個環(huán)節(jié)，“練”還是必不可少的。但“練”必須“練”得有針對性。例如，抓住分?jǐn)?shù)除法算法當(dāng)中的兩個大關(guān)鍵點——變號、變除數(shù)，我設(shè)計了改錯題，既要說出錯在哪里，還要訂正。強化算法，同時加強計算練習(xí)。還有計算課除了單純的算理和算法理解，還要能運用本節(jié)課的分?jǐn)?shù)除法知識解決生活中的實際問題。這也是我們計算教學(xué)的初衷——學(xué)習(xí)生活中的數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解決生活中的實際問題。

【教學(xué)片段4】

師：剛才大家總結(jié)的分?jǐn)?shù)除法的方法你們會用嗎？老師想考考你們。

（課件出示題目：以下各題做對了嗎？說說你的理由，并把錯的訂正。）

÷4=×4=

÷3=÷=

÷4=×4=5

生1：第一題沒有把整數(shù)變成倒數(shù)，應(yīng)該改為÷4=×=。

生2：第二題沒有把除號變成乘號，應(yīng)該改為÷4=×=。

生3：第三題把被除數(shù)變成倒數(shù)了，除數(shù)卻沒變成倒數(shù)，應(yīng)該改為÷4=×=。

師：在以后的計算中也要注意分?jǐn)?shù)除法中的這幾個問題。

（課件出示題目：一只螞蟻15秒爬了dm，平均每秒爬多少分米？）

師：這道題又怎么做？

生：這道題求的是速度，應(yīng)該用路程除以時間，列式就是÷15=×=。

總之，無論什么時候，都要有意識地去溝通好算理和算法，平衡好算理和算法的配比，這對構(gòu)建高效計算教學(xué)課堂有著十分重要的意義。我們溝通強化算理和算法，不僅是將課堂的40分鐘用盡其用，更重要的是理解了算理，學(xué)生能達到舉一反三，將舊知遷移到新知的方法;歸納算法，運用算法，能提高做題正確率。兩者相輔相成，運算能力應(yīng)運而“升”，這樣的教學(xué)課堂才是真正高效計算教學(xué)課堂。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]陳金飛.汲取歷史智慧，發(fā)展教學(xué)素養(yǎng)——以《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（12）：46-63.