淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中的一題多解

周寅

摘要：隨著新課改的進(jìn)一步發(fā)展，要求我們數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中不斷拓展學(xué)生的思維，開(kāi)拓學(xué)生的眼界，從而達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量，教學(xué)效率的目的。但是，在實(shí)際的操作中我們?cè)撊绾稳プ瞿兀孔鳛橐幻四昙?jí)的數(shù)學(xué)教師，目前同學(xué)們遇到的多是幾何證明的一系列題目，通過(guò)一題多解，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維，讓學(xué)生在遇到幾何證明時(shí)可以有方法，而不是無(wú)從下手。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；一題多解；淺談

在教學(xué)中，一題多解非常重要，尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)中，更是起到非常重要的作用。在幾何證明題中，一題多解的優(yōu)勢(shì)會(huì)體現(xiàn)的更加明顯。比如說(shuō)我前段時(shí)間上的一節(jié)和諧杯校級(jí)比賽課《梯形的中位線定理》。對(duì)于定理的證明我用了多種方法。

已知：如圖，梯形 中， ， . ，

求證： 且

方法一：首先我們從結(jié)論入手，我們看到 且 這與我們的三角形中位線定理在形式上一致，所以想到用三角形的中位線定理來(lái)證明，但是題目中未給出三角形，所以我們想到通過(guò)添加輔助線的方法來(lái)構(gòu)造三角形，因此連接AN并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，通過(guò)證 ，得 .由 ，則 為 的中位線，因此證得所需結(jié)論，除了連接 來(lái)構(gòu)造三角形，我們還可以連接 來(lái)構(gòu)造三角形。看到平行線以及中點(diǎn)，我們要想到構(gòu)造基本圖形八字形。

方法二：仍然構(gòu)造三角形，但所作輔助線與方法一不一致。我們可以延長(zhǎng) 到 使 .連接 ，則 交 于點(diǎn) ，此時(shí) 與 不一定是同一個(gè)點(diǎn)，所以我們想到用同一法證明 與 是同一個(gè)點(diǎn)。證 ，此時(shí) ，因?yàn)?是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)，而 的中點(diǎn)只能有一個(gè)，所以 與 是同一個(gè)點(diǎn)。從而運(yùn)用三角形的中位線定理進(jìn)行證明。

方法三：過(guò)點(diǎn) 作 與 的垂線 交 于 ，交 于 。

過(guò)點(diǎn) 作 與 的垂線 交 于 ，交 于 。

則在本圖中有兩個(gè)基本圖形八字形，還有兩個(gè)矩形，則 。又因?yàn)?所以

所以 。平行可由矩形得到。

方法四：過(guò)點(diǎn) 作 交 延長(zhǎng)線于 ，交 于點(diǎn)

因?yàn)?所以四邊形 是平行四邊形，由基本圖形八字形 所以 從而 .

所以

從結(jié)論尋找解題策略

在解題時(shí)我們教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)一題多解的方法地去思考，方法一和二是從結(jié)論入手，看到與三角形的中位線定理的形式一致。從結(jié)論入手再回到已知條件，探索我們所需的各個(gè)條件，這樣就可以有的放矢，有針對(duì)性的找出各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，層層推導(dǎo)，從而獲得我們所需的結(jié)論。大部分學(xué)生在做數(shù)學(xué)幾何證明題時(shí)，面對(duì)復(fù)雜的題型往往束手無(wú)策，這種現(xiàn)象的發(fā)生往往是因?yàn)閷W(xué)生在解題時(shí)按照題目發(fā)展的正方向進(jìn)行思考，從而來(lái)尋找題目的解題方法，忽略了反方向思考，尤其是一些特殊類型的幾何證明問(wèn)題，從結(jié)論往回推導(dǎo)，會(huì)使許多問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

從結(jié)論入手是建立在對(duì)一些已知判定和一些性質(zhì)的總結(jié)的基礎(chǔ)上的，因此我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)時(shí)不僅自己要總結(jié)和歸納，還要引導(dǎo)學(xué)生掌握總結(jié)和歸納的方法。

從已知條件尋找解題策略

我們?cè)跀?shù)學(xué)證明過(guò)程中還可以從已知條件入手，方法一、二、三、四中我們都是在已知平行和中點(diǎn)的前提條件下構(gòu)造基本圖形八字形，然后證全等從而得出結(jié)論。平行加上中點(diǎn)可以推導(dǎo)出基本圖形八字形；平行加上等腰三角形可以推導(dǎo)出角平分線，平行加上角平分線推導(dǎo)出等腰三角形，從已知條件入手，在圖中標(biāo)出相關(guān)的信息，由相關(guān)的信息之間的聯(lián)系推導(dǎo)出一些已知的結(jié)論，再結(jié)合圖形中一些其他的知識(shí)點(diǎn)以及已知信息，證得我們所需的結(jié)論。對(duì)于一些簡(jiǎn)單的證明題來(lái)說(shuō)，我們?cè)谝贿呑x題一邊審題的過(guò)程中就能由已知條件得出很多重要的結(jié)論，甚至我們還能得出證明的結(jié)果。培養(yǎng)學(xué)生的讀題和審題能力滲透在我們平時(shí)教學(xué)的一言一行中。

從基本圖形尋找解題策略

我們證明過(guò)程中還可以從圖形入手，在本題中用到了三角形題型以及八字形，平行四邊形，矩形等一些基本圖形。由已知條件我們要學(xué)會(huì)觀察圖形，圖形中有一些基本圖形，而這些基本圖形具備了一些基本圖形所具備的性質(zhì)以及重要的結(jié)論。因此在教學(xué)中我們要培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察圖形的習(xí)慣，使學(xué)生逐步養(yǎng)成通過(guò)圖形思考的習(xí)慣。剛開(kāi)始要求學(xué)生觀察圖形，學(xué)生可能不理解，不明白老師為什么要讓他們這么做，但是我們可以通過(guò)一些實(shí)際的例子讓學(xué)生感受到觀察圖形的好處，讓學(xué)生學(xué)會(huì)按照步驟認(rèn)真觀察圖形并對(duì)題目進(jìn)行分析。

通過(guò)一題多解，當(dāng)學(xué)生有思路時(shí)，我們作為教師要有反應(yīng)的空間，教師不會(huì)拿到一個(gè)題目就措手不及，課堂是復(fù)雜多變的，我們教師在課前備課時(shí)不一定能想到學(xué)生所想到的所有的方法。所以當(dāng)學(xué)生提出一個(gè)新的問(wèn)題時(shí)，我們要有反應(yīng)的空間和時(shí)間，也就是說(shuō)當(dāng)課堂出現(xiàn)預(yù)想不到反應(yīng)時(shí)，我們老師能夠及時(shí)的回應(yīng)，而不會(huì)刻意的繞過(guò)這個(gè)題目，直接就不講了。同學(xué)們還可以將所學(xué)習(xí)的知識(shí)延伸出去，在遇到其他題目的時(shí)候，提出這樣的問(wèn)題：我們是不是也可以用這樣的方法來(lái)解決，而不是固有思維，局限在一種固定的方法和思維中，由難化簡(jiǎn)，不僅提高了效率，又節(jié)約了時(shí)間。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)一題多解，不僅可以提高教學(xué)效率，還能提高教學(xué)質(zhì)量，作為一名青年教師，在教學(xué)中，我還需要不斷的學(xué)習(xí)，不斷的積累，在自己人生教學(xué)道路上，向著自己的目標(biāo)前進(jìn)，腳踏實(shí)地的做好每一個(gè)環(huán)節(jié)。當(dāng)回首自己的教學(xué)生涯時(shí)，雖然中間有坎坷，但更多的是努力，是自己激勵(lì)自己前進(jìn)的動(dòng)力。