淺談復變函數的特有性質

王國欣 牛玉俊

摘要：復變函數是實變函數的推廣，在教學中可以運用類比和對比的方法來提高教學效率和學生的學習效率，同時要格外關注復變函數的特有性質，以加深學生對知識的理解，進而提升到應用的高度，培養學生理論聯系實際及解決實際問題的能力。

關鍵詞：復變函數;實變函數;特有性質

復變函數論是數學專業學生需要學習的一門重要的基礎課程，它的研究對象是以復數為自變量的函數。復變函數論產生于兩百多年前，在十九世紀時其理論知識得到了全面的發展，并在二十世紀初得到了進一步的完善。復變函數不管是在數學理論方面還是在實際應用方面，都有著很廣泛的應用。在數學方面，復變函數已經深入到概率統計、微分方程、計算數學、拓撲學等學科。在實際應用方面，可以利用復變函數來處理物理學中的穩定平面場問題;在飛機設計過程中，茹柯夫斯基在處理飛機機翼的結構問題時也利用了復變函數論，并利用了復變函數知識解決了航空力學方面和流體力學方面的問題。

復變函數的學習是建立在數學分析或高等數學學習的基礎上的，很多概念和結論在描述形式上非常相似，但二者之間的本質意義卻不同。學生在學習這門課程時易與數學分析或高等數學中的相關內容混淆，思維定勢難以扭轉，以至于難以理解甚至是錯誤理解相關概念，從而增加了復變函數的學習難度。筆者在多年的復變函數教學中，常常采用對比法，首先復習數學分析或高等數學中的相關概念，然后把相似的概念推廣的復變函數中來，這樣學生易于接受，效果比較好，而且能極大地提高學習效率。在此過程中，再由學生自己去尋找、發現兩者之間的不同，并多次強調復變函數與實變函數的不同之處。以下對復變函數的特有性質加以總結，并給出一些具體的教學案例，希望能給學生和任課老師一些借鑒。

1. 復初等函數的特有性質

復初等函數[1]形式上與一元實基本初等函數[2]一樣，但它們的定義或者性質會有很大的區別。

2. 復變函數的特有性質

設 為一復數集合，若存在一個對應法則 ，使得對任意的 ，都存在復數 與 相對應，則稱 是定義在 上的復變數函數，簡稱復變函數[1]。由于復變函數的定義中并未聲明 的唯一性，所以復變函數可能是單值的，也可能是多值的。如前面提到的復對數函數、復冪函數、復反三角函數都是多值函數，究其原因，復變函數的多值性都是由復數 的輻角的多值性引起的。

復變函數的極限定義 在形式上與一元實函數的極限定義一樣，但本質卻不同，復變函數的極限在本質上同二元實函數的極限一致，即 等價于 。教師在講授這一內容時一定要多加強調，因為后面的連續、可導、解析都離不開極限，而且這也正是復分析與實分析不同的根源。

（2） 復變函數在一點 處解析的條件是比較強的，要求在 的某個鄰域內都是可微的，所以復變函數在點 解析，則在 處肯定可導;反之則不一定。但是復變函數在區域內的可導性與解析性是等價的，從而由可導的定義可以推出可導與解析的判定條件。此外，解析函數的實部和虛部不是任意的，它們是可以相互確定的，即由實部（虛部）可以確定虛部（實部）。這部分內容在講授時要用到大量關于二元實函數可微性方面的結論，建議學生提前復習數學分析或高等數學中相關的內容。解析函數的另一個獨特的性質是它的無窮可微性，即解析函數的任意階導數仍解析，這一性質使得解析函數很容易就可在解析點處展開成泰勒級數。

（3） 復變函數的積分定義思路與一元實函數定積分的定義思路一樣，都是分割、取近似、求和、取極限。不同的是把實定積分中沿著數軸從點 到點 的積分路徑推廣到了復平面上沿著曲線從起點 到終點 的積分路徑，所以復積分的基本性質與實數域中第二型曲線積分的性質基本一樣。但也有些不同之處，比如復積分中的牛頓—萊布尼茲公式與一元實函數的牛頓—萊布尼茲公式形式上一樣，但適用的條件不同。對一元實函數，只要求被積函數在積分區間上連續，牛頓—萊布尼茲公式就成立;對復積分，被積函數連續只能保證積分存在，但不能保證牛頓—萊布尼茲公式成立，因為復積分是曲線積分，牛頓—萊布尼茲公式是否成立與被積函數是否在某個單連通區域內解析有關，即如果復積分的上下限都包含在被積函數的某個解析的單連通區域內，則牛頓—萊布尼茲公式成立。積分路徑上無奇點的復積分的計算可參照下面的步驟。

（4） 解析函數的洛朗展式是一個雙邊冪級數，它不僅包含非負整數次冪項，也包含負整數次冪項，所以泰勒級數可以看作是洛朗級數的特殊情形。如果一個復變函數在某個區域內可以展為泰勒級數，那么它在這個區域的洛朗展式就是那個泰勒級數。一般來說，如果一個復變函數在圓盤內解析，則能夠展開為泰勒級數;如果函數在一個圓環內解析，則展開式為洛朗級數。洛朗級數可以用來研究解析函數在孤立奇點附近的性質。這部分內容在數學分析中沒有相應的討論，學生理解起來會比較困難，最好是通過不同的例題來引入非孤立奇點與孤立奇點的類型。比如， 的奇點有 ， ，因為 ，所以 不是孤立奇點。在討論孤立奇點的三種類型時，可以借助于洛朗級數來理解，如當 時， ，因為右端的級數在 處解析，所以孤立奇點 為 的可去奇點，即可以去掉的奇點;又 ? ，右端出現負次冪項，負次冪的最高次為2，所以當上式的左右兩端都乘以 時，則右端的級數部分解析，從而 為 的二階極點;但是，由于 的右端洛朗級數的負次冪項的指數趨于無窮大，負次冪項是無論如何都消不掉的，所以 為 的本質起點。一旦學生理解了這些定義及不同，后面關于孤立奇點的性質及定理理解起來就容易些了。

（5） 留數（又可稱為殘數）是復變函數論中所獨有的又一個重要概念。留數的概念最早是在1825年由柯西提出的。由于對解析函數的洛朗展開式進行積分時只留下一項 ，因此稱它的系數 為 在 處的留數。教學過程中的一個重難點是如何利用留數來計算實積分，特別是那些原函數不容易直接表示出來的定積分和廣義積分。利用計算這些積分時，首先要考慮的是怎么把實積分轉化成復變函數的周線積分。由于不同類型的實積分計算方法不同，所以講授過程中可以先講解例題，舉一反三，讓學生歸納總結出一般形式。除了計算定積分，留數在很多問題上都有重要應用，如函數零點與極點個數的計算，將亞純函數展開為部分分式，將整函數展開為無窮乘積，穩定性理論，漸近估計等[3]。

總之，在復變函數的教學中要應用類比、對比的方法引導學生把數學分析或高等數學中相似的概念及結論推廣到復數域來，總結出復變函數的特有性質，再進行深入的研究，以便加深理解，達到融會貫通的目的，進而提升到應用的高度，培養學生理論聯系實際及解決實際問題的能力。

參考文獻：

[1]鐘玉泉.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]石麗仙. 柯西復分析思想探究[D]. 山西師范大學， 2013.

作者簡介：王國欣（1984-），女，漢族，河南南陽，南陽理工學院，講師，碩士，研究方向：數學及最優化。

基金項目：河南省高等學校重點科研項目（19A110027）。