從幾何直觀走向邏輯推理

葉春萍

【摘要】 ?幾何直觀是學生必備的幾何素養，是誘發學生創造能力的潛在因素。如何提高學生的幾何直觀水平，使與現有知覺水平一致，是目前數學學科教育亟待突破的瓶頸。“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習中都發揮著重要的作用。”

【關鍵詞】 ?幾何直觀 識圖能力 邏輯推理 題組變圖

【中圖分類號】 ?G633.6 ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】 ?A ? 【文章編號】 ?1992-7711（2019）09-073-02

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幾何直觀是學生必備的幾何素養，是誘發學生創造能力的潛在因素。如何提高學生的幾何直觀水平，使與現有知覺水平一致，是目前數學學科教育亟待突破的瓶頸。“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習中都發揮著重要的作用。”

幾何直觀與邏輯、推理是不可分的。幾何直觀是由邏輯支撐的能力，不僅是看到什么，而且是通過看到的圖形思考了什么，想象了什么，這是數學學習中非常重要的思考方式。幾何直觀會把看到的與以前學到的結合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結論和論證思路，這就是歸納推理。

巧妙的構造可以建立已知與未知、條件與結論、數與形的體系，構造圖形解決問題體現的幾何直觀能力，這種能力是學生需要具備的重要能力之一，幾何直觀能力的培養貫穿于整個初等數學教學中。教學實踐表明，有效培養學生的幾何直觀能力可以從以下幾個方面入手：

一、借助幾何圖形，培養識圖能力

圖形是學習數學知識的重要載體，培養識圖能力是培養幾何直觀的基礎。在教學中，教師應引導學生理解并掌握各種數學符號所表示的數量關系及含義，能敏銳地從圖形中獲取相關信息。培養識圖能力，有助于學生借助圖形提高分析解決數學問題的能力。

例1：學習一次函數y=kx+b，應先弄懂k、b的意義。在實際問題中k代表汽車一小時行駛k千米，蠟燭一分鐘燃燒k厘米，摩托車一小時耗油k升等等。初中學生受年齡特點與認知水平的影響，可理解為：k指x增長1時y的變化;b在實際問題中指汽車原來距出發點b千米，蠟燭原長bcm，油箱里原有汽油b升等等，抽象出來的意義可理解為：x為0時y的值，其對應到圖象上的幾何意義如下：

k、b的值是能“看”得見的，如圖1：當k<0時，直線從左向右走“下坡路”，得性質：當k<0時，y隨x的增大而減小;如圖2：當k>0時，直線從左向右走“上坡路”，得性質：當k>0時，y隨x的增大而增大。如果學生只是機械記憶函數的性質，不但容易混淆，而且還不利于應用。在教學過程中，我們可充分利于函數圖象，幫助學生把熟知的文字語言、符號語言和圖形語言融合為一體，把抽象的字母直觀化，從而有利于函數性質的探索和掌握。

教學中，教師應充分利用數形結合，引導學生經歷由數到形，由形到數的思考活動，提高識圖能力，為培養幾何直觀能力打下堅實的基礎。

二、由幾何直觀趨向邏輯化

當今數學問題的解決理論研究強調“信念系統”在問題解決過程中的重大作用，即情感邏輯化作用。而積極的問題情感來自于內在動機和美的直覺，直覺思維經驗與幾何直觀呈正相關，需要借助抽象的格式化的“形象”，在具體形象和概念抽象之間順應數學內部關系，借助選擇組合重構引發幾何直觀水平性“突變”，從而奠定無意識思維活動背后的創造情感的潛能。數學家克萊茵認為“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”。這里的“直接把握證明”就是幾何直觀突變作用具象的結果，這就要求問題構造必須具備“水平性”（橫向聯系）和“垂直性”（豎向拓遷）混搭特征，方能讓學生在順應不確定的結構關系中，產生直觀能力的躍進。

例2：如圖3，每個圖形都是由邊長為1個單位長度的小正方形按照某種規律排列組成的E型圖。

（2）在方格紙上按上述畫圖方式畫出第④個圖形、第⑤個圖形。

（3）第⑨個圖形中小正方形的個數為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

（4）按上述畫圖方式畫出E字圖形小正方形的個數是143個，應是第幾個圖形？

（5）推測出第n個圖形中，小正方形的個數為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（含n的代數式表示）.

問題（3）和（4），目的是落實“水平性聯系”的直觀要求，關乎逆向思考。這樣是讓學生觀察圖形向水平和豎直兩個方向的變化，進而思考如何用數學式子表示規律，探索周長規律旨在讓學生進一步歸納總結。表格中既有小正方形數量關系（5n+3），也探得周長關系（10n+8）

這能為復雜關系的符號化形成產生式系統。同時，為研究圖3中圖形排列規律：（（2n+1）2-1），讓學生在剪拼大正方形過程中提煉一般結論（8=32-1-1，15=42-1，24=52-1，…），降低了問題抽象度。在由具體“看”“數”“算”“拼”的過程中提煉一般結論的行為，就是引動幾何直觀突變作用的表現。而基于圖形排列“形象”提出問題，則是審美情感發揮作用的邏輯性思維事件，“橫向成片、縱向成鏈”的問題觀就是順應數學內部關系的外在行為。

三、題組變圖提升思維

縱觀各地的中考試卷，以二次函數圖像為載體來探究滿足某種條件的特殊圖形（如等腰三角形，平行四邊形等）是否存在，是近年來中考的熱點。解答時要挖掘特殊圖形的性質，通過圖形的直觀性構建關鍵“點”及“線”之間的位置與數量關系，從而達到以形助數的目的。著名的數學家希爾伯特說過：“一個問題的解決意味著一系列新的問題的誕生，當我們解題成功時，不要忘記提出新的問題，因為還有許多寶藏尚未開發出來。”

“題組生長”式教學是一種比較有效的方法，設計的問題是各個引例（例題）、習題之間具有一定的內在聯系（或條件（圖形）相似、或結論一致，或方法相同）。能加深學生對諸多知識和方法的理解，給學生營造一個“再發現”“再創造”的探究氛圍，變式教學給學生一種新鮮、生動的感覺，能喚起學生的好奇心和求知欲，能產生主動參與學習的動力，保持對學習活動的興趣和熱情。

例3：直線y=-■x+c與x軸交于點A（3，0），于y軸交于點B.拋物線y=-■x2+bx+c經過點A、B.點M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P、N.

問題1.若連接BM、BN，當滿足SΔBPM：SΔBPN=1：4，求m的值。

問題2.若連接BN，當ΔBPN為直角三角形時，求m的值。

問題3.若連接BN，當以O、B、N、P為頂點的四邊形是平行四邊形時，求m的值。

問題4.若連接BN，當∠PBN=45°時，求m的值。

問題5.若以PN為直徑作⊙R，當⊙R與y軸相切時，求m的值。

鞏固題：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線y=x+1相交于A（-1，0）、B（4，m）

兩點，且拋物線經過點C（5，0）.

（1）求拋物線的解析式。

（2）點P是拋物線上的一個動點（不與點A、點B重合），過點P作直線PD⊥x軸于點D.交直線AB于點E.

①當PE=2ED時，求點P的坐標;

②是否存在點P使ΔBEC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標;若不存在，請說出理由。

該題組是在原題的框架下，不斷“生長”出新問題，如拋物線與面積、特殊三角形、特殊四邊形、特殊角、圓的相切等。在解決問題的過程中，教師逐漸增加條件、變化圖形，讓學生主動尋求解決問題的方法并產生新的問題，使問題和思維層次逐漸深入。最后，將問題像“鏈條”一樣串聯起來，多題歸一，環環相扣，層層遞進，深化思維，激發學生思維發展的內驅力。教學中隨著對圖形的不斷“聯想”，學生能夠懂其原理，知其方法，通其變化。最后再設置一道鞏固題，讓學生在解題和思維的碰撞中提升思維能力，活化所學知識，讓學生在探究中既掌握所學知識和技能，又感悟知識的本質，積累思維和實踐的經驗，形成和發展核心素養，助力培養學生的高階思維，讓不同思維層次的學生更上一個思維臺階。

圖形是幾何直觀的載體，這里所說的圖形具有廣泛的含義，不僅指幾何中的圖形，還泛指學生在解決問題過程中畫出的所有有助于其觀察、思考、分析的圖形。

將幾何直觀運用于教學可將抽象的數學語言和直觀的圖形語言有機地結合起來，使抽象思維同直觀形象思維結合起來，充分展現問題的本質，突破數學理解上的難點，達到邏輯推理的目的。可以這樣說，幾何直觀為我們研究和探求數學問題開辟了一條嶄新的途徑，并且貫穿于整個數學學習中。

課題編號：GDXKT18851

[ 參 ?考 ?文 ?獻 ]

[1]蔣文蔚.幾何直觀思維在科學研究及數學教學研究中的作用.數學教育學報1997（4）：43.

[2]陳為池.發展幾何直觀.《中小學數學》2018.4;41-45.

[3]馬敏.基于發展“幾何直觀”的數學教學.初中數學教與學2018.7;13-14.