例談高三數學復習中思想方法的有效教學

蔣仁貴

【摘要】數學思想方法是數學的靈魂，是形成數學能力、意識的橋梁，是靈活解決問題的“指南針”。在高三復習備考過程中，教師更應該高屋建瓴，抓住數學思想方法這一主線展開復習。針對數學思想具有高度抽象性，教學中對教師的專業素養要求高，學生理解的難度大等特點，要在高三復習中做到數學思想方法的有效教學，首先教師在教學中要不斷總結經驗同時積極研修專業知識，提升自身的數學素養；其次，構建合理的教學思路，有效滲透數學思想方法；最后通過模式訓練，引導學生解題，領悟其中蘊含的數學思想方法，形成自己思考問題、解決問題的能力。

【關鍵詞】高三數學；復習；思想方法；有效教學

在數學教學中滲透數學思想方法早已是廣大數學教育工作者的共識，義務教育階段與高中階段的《課程標準》中都有明確的要求，每年的各種考試（如各地的中考、高考）評價中也一再出現“突出了對數學思想方法的考查”，由此可見，數學思想方法在數學教育教學中的重要地位。但是在具體的數學課堂中，怎樣才能做到數學思想方法的有效教學，仍是困擾一線師生的最大難題。這個難題昭示著研究數學思想方法的有效教學的意義所在，正是基于這樣的思考，筆者從個人教學實例出發，通過多方向探討，談談相關教學心得。

一、教學與研修相長

“唉！講過練過的不太會，不講不練的肯定不會。”在每一次測試后的分析會上總能夠聽到教師這樣的嘆氣聲。是啊，學生面對熟悉的題型，為什么就是不會呢？筆者認為這跟數學思想方法在課堂上沒有得到有效教學有著莫大的關系。眾所周知，數學思想方法是數學知識體系的靈魂。數學思想方法是對數學事實、數學概念、數學原理與數學方法的本質認識。學生只有領悟了數學思想方法，才能有效地應用知識、形成能力，靈活地解決問題。因此，作為一名教師，首先要加強數學思想方法的教學意識，及時更新教學觀念。其次要不斷提升自身的數學素養，領悟數學知識所蘊含的思想方法，構建合理的教學過程，這樣才能夠形成有效的數學思想方法教學策略。例如，熟練掌握哪些方法才是真正的數學思想方法？有的老師熱衷于為學生總結這樣的“思想方法”“直線交曲線，抓點弦，消參數，關系建”“三角函數題，見到平方要降冪”“立體幾何題，要建坐標系，這樣解題會容易”。顯然，這些東西與“數學思想方法”的含義相去甚遠，這些東西總結多了，不僅加重了學生的學習負擔，更嚴重的是把學生的學習興趣也磨滅了。所以，教師的教學和數學專業的研修要齊頭并進，相互反饋，共同提高，為數學思想方法的有效教學打下基礎。

二、滲透與訓練齊抓

中學數學的課程內容是由具體的數學知識與抽象的數學思想方法組成的有機整體，它們相互關聯、相互依存，協同發展。在具體知識教學中，一般不直接點明所應用的數學思想方法，而是通過精心設計的學習情境與教學過程，滲透蘊涵在其中的數學思想和方法，使他們在潛移默化中達到理解和掌握，做到潤物細無聲，同時輔之以相關的習題訓練加強理解。

案例1：已知，如圖①在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm，點C和點M重合，BC和MN在一條直線上，令Rt△PMN不動，矩形ABCD沿MN所在的直線向右以每秒1cm的速度移動（如圖②），直到C點與N點重合為止。設移動x秒后，矩形ABCD與Rt△PMN重疊部分的面積為y（cm2），求y與x之間的函數關系式。

教學過程：

師：矩形ABCD在運動過程中，它與Rt△PMN重疊部分的圖形會一樣嗎？

生：不一樣

師：請你根據重疊部分圖形的變化，抓拍幾張精彩“照片”？

（此言一出，學生興趣盎然）

教師讓學生板演他所拍到的“照片”（經過幾輪修正，畫草圖如下）。

師：說說你為什么要拍這幾張照片？

生：我認為，矩形ABCD在運動過程中，它與Rt△PMN重疊部分的圖形只有這四種不同的形狀，所以就拍了這四張照片（眾生笑）.

……

該題蘊涵分類討論思想和化歸思想，學生看到是求解面積，能夠較快的想到運用所學的面積公式來解決，但在動態的過程中，圖形是在不斷變化的，怎么表示面積呢？這就需采用分類討論的數學思想。但學生對于“怎樣分？”和“為什么要這樣分？”都深感棘手。為此，筆者在教學中采用學生比較熟悉的抓拍“照片”進行比喻，從而掀去了分類討論思想神秘的“面紗”，讓學生生動直觀地體會到此類問題“怎樣分類和為什么要這樣分類”。學生也就輕松接受了分類討論思想不重不漏的原則。形象的比喻、恰當的語言將數學思想化抽象為形象，融數學于生活，這既加深學生對數學思想的理解，降低了學習的難度，又大大激發學生學習的興趣，增強學好數學的信心。

三、模式與創新同進

在認知心理學里，思想方法屬于元認知范疇，它對認知活動起著監控、調節作用，對培養能力起著決定性的作用。高三數學復習就是要提高學生在有限的時間內高效解決問題的能力，而解決問題的關鍵在于找到合適、簡練的思路，數學思想方法就是幫助構建解題思路的“一根紅線”。因此，提升數學思想方法教學的有效性，作為教師的我們除了在具體知識的講解中向學生滲透一些基本的數學思想方法，提高學生的元認知水平之外，還要將抽象的數學思想轉化為一種可實際操作的模式，使得學生能夠運用它來尋找思路、思考問題、解決問題，反過來更加深刻的理解數學思想方法。當然，這不是一種放之四海而皆準的模型，它提供的只是一種框架，一種解決問題的思路雛形，“具體的裝修”還需要具體問題具體分析。在教學過程中，老師要特別注重引導學生分析比較不同的思想方法給出的解題思路模式的優缺點，創新解題思路模式。

案例2：設不等式 對滿足 的一切實數m都成立，求實數x的取值范圍。

分析：本題解題思路（1）：運用分類討論的思想，通過討論x2-1與0的三種情況分離變量，如 ，則原式等價于對滿足 的一切實數m恒成立，即 ，這樣再轉化為關于x的一元二次不等式，但求解過程繁瑣，耗時太多；解題思路（2）：運用常量與變量的轉化，把不等式看作是關于 的一元一次不等式，則可以極大的簡化求解過程，耗時較少。思路（2）的解題過程如下：

解：令 ，

則原不等式等價于 恒成立， ，

即f（2）>0且f（-2）>0

解得

所以實數 的取值范圍是

思路（1）是一種常規解題模式，我們對于恒成立問題常常采用分類變量，轉化為求解一方的最值問題或利用一方的最值轉化為新的不等式問題。思路（2）是一種思維創新，通過轉換變量，化繁為簡。學生在這樣的思路模式的對比分析中，就能夠加深對轉化與化歸思想的理解，領悟各種思想方法的內涵，達到有效教學的目的。

四、引導與頓悟共存

葉圣陶先生說：“教師之教，不在于全盤講授，而在于相機引導。”一語點中數學思想方法的講授要害，教學中的引導是“以明確的教學目標為指引，通過有效的教學方法或手段激發思考，深化理解。” 因此，教師首先組織好學生以一種積極的態度主動參與到教學的思辨活動中來，然后引導學生逐步領悟、形成、掌握數學思想方法。

案例3：設 是首項為1的正項數列，且 ，求數列 的通項公式.

分析：題設給出了數列相鄰兩項所滿足的關系式（遞推公式）和首項a1=1，由此可求出 ， ， ，從而可猜想出 ，由特殊到一般，靈活運用“歸納一猜想一證明”這一探究問題的思維方式猜想出結果（填空題可不必證明）。

另外，引導學生觀察式子的特點，發現該遞推公式是關于 和 的二次齊次式，正好可以通過分解因式或解一元二次方程來解決，即靈活運用方程思想求得更簡單的遞推式，進而求得an。

通過這樣的訓練，對融會貫通中學數學內容，鍛煉學生的發散與收斂的思維，提高學生解題的靈活性、機智性都是大有裨益的。也只有這樣才能使學生在比較中選擇，在鑒別中進取，領悟不同的思想方法的內涵，學會在不同的思想方法的引領下，多角度思考問題，多方法解決問題，真正提升自己的數學能力。持之以恒，學生自會有從量變到質變、從基本知識到思想方法的升華。

“問渠哪得清如許，為有源頭活水來。”源頭活則池水清，根本固則枝葉榮。作為教師的我們只有不斷地提升自身的數學素養，充實知識的儲備，緊跟課程改革的步伐，摒棄陳舊的教學套路，我們的課堂才可能是鮮活的、有效的，學生的學習才可能是輕松愉悅。最后以閔山國藏的這段話作為自勉：“學生在畢業之后不久，數學知識很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么職業的工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神、思維方法、推理方法和著眼點（如果培養了這種素質的話），再隨時發生作用，使他們受益終身。”

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