利用換元法解決高中數學問題

朱琳

摘要：換元法是高中數學解題中經常應用的方法，適當的使用換元法能夠簡化計算過程，突破解題思路，加快解題速度。在高中數學中換元法是高考常考的思想方法，學生應當在老師的幫助指導下對解題思路進行演繹概括，使得解題思路明朗清晰。文中主要針對高中數學學習中換元法的應用進行分析，以尋求解題途徑，提高解題速度。

關鍵詞：換元法? 高中數學? 應用

換元法是解決高中數學問題的一種常用方法。使用“換元”可以化繁為簡，化抽象為具體，化陌生為熟悉，化難為易，從而順利解決問題。

一、換元法的概念

換元法，又稱輔助元素法、變量代換法，即把某個式子看成一個整體，用一個變量去替代它，使得代換后的表達式有利于問題解決的數學思想方法。

換元法的本質就是在研究和處理相關數學問題時采用等價替換的手段將問題簡化，進而得解決問題的一種方法。常常是將復雜的問題通過換元轉化為簡單的問題，將復雜的問題通過換元變換轉化為容易求解的問題，將未知的問題通過換元轉化成會解決的問題，換元法的一般步驟：

換元

求解

回代

檢驗

二、常見的換元方法

換元法類型較多，下面探討高中數學解題中常用的換元法。

三、三角換元法

代數問題或者幾何問題作三角代換，從而變成三角問題，再運用三角函數的公式，性質等處理相關問題。

例1.已知，求的最大值。分析：該題沒有這個條件，因而使用重要不等式難以突破，但是注意到，利用三角換元，則解題思路立現。

解：設，則

的最大值為5。

（2）根式換元法。在含根式的復合函數中，將題中遇到的根式作為一個整體，換元后成為熟悉的一元二次函數來解決問題，最常見的情況是形如的求值域的問題，可設，轉化為關于t的二次函數解決問題。

例2.已知，求的取值范圍.

分析：審視函數的結構及其特征，給出了函數的值域，當增大時，減少，函數的增減難以判斷，這時將看成t，進行換元，可化為二次函數在給定區間上的值域問題。

解：因為，所以，所以，令，，則 ，由于函數圖像的開口是向下且對稱軸為，

所以在定義域內為增函數，所以y最小值為，最大值為。

（3）整體換元法。從整體上去認識問題、思考問題，常常能化難為易、化抽象變具體，同時又能培養學生數學素養。

例3.求函數的值域.

分析：觀察函數，發現，，這是我們就發現都含有，可以將其看成一個整體t。

解：，，

設，則

則y的值域為。

（4）倒數換元法。若已知條件能轉化為兩個式子的乘積為1，則設這兩個式子分別為t，進行換元，

往往能起到降元，轉化變為一元問題求解。

例4.已知，求最小值.

解：由可知，，令 ，，可得，，

將代入得，，則最小值為

換元法這個數學思想方法滲透在高中數學的方方面面，它有著簡便運算，轉化模式，化解題目的復雜條件等用處，當然在解題過程中要多方面通盤考慮，一道數學題目的較完美的解答需要滲透多種思想方法，可能換元法只是一個敲門磚也可能是一個踏板，總之在解答的過程中善于換元，勇于實踐，勤于反思，才能使解題水平有大幅提高。