小學數學教學中數感培養策略舉隅

鄭義富

【摘要】數學是一門需要敏銳感覺的學科。數學理解要憑借數感，要從感覺上把握數學現象。培養學生形成“數感”應作為小學數學課程教學主要目標。教者對數學教學內容的認識視閾，決定學生可能理解的程度以及數感發展的深度、廣度及敏銳性。在“乘法的初步認識”教學中應“注重縱橫關聯，發展數感的廣度；夯實思維基礎，發展數感的深度；順應認知心理，發展數感的悅納度。”

【關鍵詞】小學數學；乘法教學；數感

我們通常認為數學是一門講求邏輯嚴密的學科。但是小平邦彥，這位菲爾茲獎、沃爾夫獎、日本文化勛章得主的當代著名數學家，認為“雖然數學要遵循邏輯，但數學在本質上與邏輯不同”。他篤定，數學是一門需要敏銳感覺的學問。數學理解要憑借數感，要從感覺上把握數學現象。“正如樂感不好的人無法理解音樂，數感不好的人同樣無法理解數學。”這和我們一直以來對數學學習的基本認識不同。

以往，我們傾向于“只要通過努力教學數學的邏輯，再通過反復地練習，學生就會掌握數學。”如果學生學習成績不理想，我們就會懷疑自己的教學方式方法是否有效，并企望通過改進教學以及加大練習強度來促進學生數學水平的提升。但是，如果數學學習更依靠“數感”而不是學科知識體系內在的邏輯，那么，我們的教學重心就要調整了。相信贊同小平邦彥的數學老師應該不少。我們在教學中也的的確確有過這樣的“閃念”，只不過礙于可能會給學生“貼標簽”，所以不愿“直視”問題。小平邦彥甚至深信那些在數學上有所成就的人都是因為“數感”得到了良好的發展。他認為“數學家對于數感并不自知，數感應該是人類進化過程尚未被開發的感覺。”從這一點來講，數感的重要性就不僅僅是學好數學了，而是關系到人類自身的進步，關乎人腦的開發與進化。在小學階段，教師建立起對數感的正確認識必然有助于提升學生數學思維能力，繼而培養并發展學生數學核心素養。那么，在小學數學教學中該如何發展學生的數感？本文試圖以“乘法的初步認識”為例，闡述筆者對于數感發展的認識，并提出相應的教學策略。

一、發展數感是計算教學的主要目標

“數感”一詞在“義務教育數學課程標準”中被解讀為“關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟”英國教育家茱莉亞·安吉來瑞指出，“數感指的是一個人對數字和運算的一般理解力，以及靈活應用這種理解力的傾向和能力，用這種方式可以做出明智的數學判斷，并開發出應用數字和運算法則的有效策略。”由此可見，相對于其他知識板塊，與數感關聯最為緊密的應是計算教學部分。數感的發展與運算能力的提升是相互促進的：一方面，運算能力的發展標志著數感的增強；另一方面，數感的形成是計算教學的基礎，發展數感必然會促進運算能力的提升。數感的培養與發展毫無疑問是計算教學的主要目標。有學者甚至認為，包括小學階段在內的初等教育階段的數學教學都不是為了片面地講授數學各個領域的知識，而是為了培養數學思考能力和數感。21世紀的生活所必須的技能和理解力之一就是對數字模式和數字關系的辨認，這些模式和關系是數字運算的重點。目前，已有多個國家基于這一認識開展數學課程改革。在全球課程改革中，美國學校數學課程與評估標準和全澳學校聲明最為典型，它們都是把培養學生形成“數感”作為學校課程教學主要目標。認為“數感”意味著計算策略中的“靈活性”和“創造性”。

二、“乘法的認識”教學中發展數感的基本策略

1.延展“乘法”認識視閾

教者對教學內容的認識視閾，決定學生可能理解的程度以及數感發展的深度、廣度及敏銳性。過去我們經常說“要想給學生一碗水，教師必須要有一桶水”。以單純的知識教學和能力發展的角度來看，這一描述并不為過。在“乘法的認識”教學活動開展前，教者有必要下下功夫，盡可能地延展自己對此內容的認識視閾。那么，打開視野之后再去審視“乘法”，可以看到哪些層面呢？

①“乘法”是“求幾個相同加數的和的簡便運算”。這是我們最為基本的一個認識。這一“說法”至少傳遞了幾個信息：一是，乘法實際上就是一種特殊的加法；二是，乘法是一種簡便運算的形式；三是，多個相同加數求和就可以用乘法計算。在這種對乘法的“感知”中，乘法可以理解為加法計算的一種特定模型，或者說是加法的一種快捷計算方式。可以作為反復做加法的一個簡短的縮寫形式。也可以理解為一種自動化的計算程序，其“效率”就如使用算盤等計算工具一樣。由此拓展開來，乘法在自然數域、整數域、有理數域、實數域乃至虛數域都被賦予了不同的運算意義。

②“乘法”用來表示一個數量多次“復制”的結果。這一理解已經突破了“加結構”的認識，將有助于學生理解“倍”的概念。

③“乘法”是矩形面積的求積方式。這種理解可以幫助學生建立乘法結構的直觀表象。有研究表明，乘法就是為了矩形面積求積而“誕生”，并非是“加法”直接“升華”。

④“乘法”就是因變量與幾個自變量的正比關系。這是代數思維的認識，對中學階段學習函數有一定幫助。

⑤“乘法”是一種概率問題的解答模式。如“乘法原理”類問題、“搭配”問題、“排列組合”問題等。

⑥從哲學角度解析，“乘法”是加法的量變導致的質變結果。

2.注重縱橫關聯，發展數感的廣度

《數學學習的心理基礎與過程》一書中轉述了格里爾等學者的教學主張。認為“算術運算教學應該關聯到不同情境。教師應該聚集在如何有組織地布置不同類型的文字題，兒童經過真正的解題，建構與發展有意義的運算與解題策略，逐步建構運算意義。筆者認為，“關聯”可能是數感強弱最為關鍵的體現了。“關聯”既包括橫向的，即多種應用情境的互相關聯。也包括縱向的，即新舊知識的關聯。關聯程度越強、角度越開放，說明發散思維能力就越強。

①建立新舊知識的關聯。茱莉亞.安吉來瑞試圖辨別出數感的典型特征，她強調“學生具有數感的典型特征是他們能對所遇到的數字模式和計算過程做出歸納，并能把新知識和已有知識相聯系。”在“乘法的初步認識”教學中，很多老師會不自覺地忽視了加法的計算過程，認為學生已經不需要具體的“計算”了。如“5+5+5”，加法的計算過程一般為：先算前兩個“5”相加得到“10”，再和第三個“5”相加得到15。切莫因為“多數”學生能夠“脫口而出”就忽略了這一“連續加”的思考過程。在認識“乘法”的初始階段，非常有必要讓學生思考并且要準確表達這一過程，以期后續對乘法進行“轉化”，并形成新概念的“凝聚”。鄭毓信教授在《數學思維與小學數學》一書中這樣闡釋：所謂“凝聚”，籠統地說，就是由“過程”向“對象”的轉化。就心理表征而言，是由一個包含多個運作過程凝聚成了單一的數學對象。

②建立多樣化的現實情境關聯。教學中還要設置多樣化情境，以期建立多種情境之間的關聯，豐富學生的乘法認知結構。那么，乘法有哪些現實的情境模型呢？

格里爾區分了應用整數乘法的四種主要情境：等組；倍數比較（比率系數）；矩形隊列；笛卡爾積。上述每種情境都可以用特定的方式對學生進行提問，在某種程度上，它們分別指向重復集合、多一對應、多行多列以及交叉對應。與此類似，劉加霞在《作為模型的乘法——對數學概念多元表征的思考》一文中，借鑒福賴登塔爾、格里爾等人的研究，也概括了乘法的幾種現實情境模型，包括：等量組聚集、矩形模型、映射模型、配對模型、倍數模型以及其他幾種現實模型。以下為筆者根據該文進行的分類并舉例。

A.等量組聚集。即我們通常所說的“相同數連續加”或“求幾個幾的和”。這一類現實情境比比皆是。但在情境創設時要突出“聚集”，不能生硬地“求和”，盡可能避免無具體情境的枯燥的算式，如“3+3+3+3+3”，這不會讓學生產生任何有益的思考，即使能熟練計算也意義不大。但，下面這樣的例子就會促進學動腦筋去“構造畫面”，也就是在頭腦里“演”一變。教師也可以借助“圖示”或課件演示。如“每個學習小組有5名小朋友，當一組中的同學全部完成學習任務后會端正坐好。現在有1組小朋友完成了任務，接著另1組完成任務，最后又兩組完成了，那么已經完成任務的各個小組共有多少小朋友？

B.矩形模型。如“計算寬4厘米、長5厘米的長方形面積”。可以結合“格子圖”直觀演示。即4排小正方形，每排5個，每個1平方厘米。這個長方形面積就是5×4=20（平方厘米）。

C.映射模型。一般是“多一映射”。如，一只貓有4只爪子，5只貓有多少只爪子？列算式為5×4=20（只）。

D.配對模型。如“有4件上衣，5件褲子，能搭配多少套衣服？”5×4=20（套）。

F.倍數模型。如“小明今年5歲，哥哥的年齡是小明的4倍，哥哥今年幾歲？”5×4=20（歲）。

G.其他幾種現實模型。包括：速度——時間模型；單價——數量模型；工時——工效模型；密度——體積模型等。如“一本書5元，4本這樣的書共多少元？”列算式5×4=20（元）。這就是單價——數量模型。

上面的例子中，雖然計算形式相同，但其蘊含的現實意義大不相同。教學中，可以通過設置不同的現實情境，呈現“乘法”的多元化表征，促進其對乘法意義的理解，發展數感的廣度。

③夯實思維基礎，發展數感的深度。乘法的表征是多元的，乘法的現實模型又是多樣的，那么教學中是否需要面面俱到平均發力呢？很顯然不可以。必須要緊緊圍繞基礎核心的思維模型，借助最為直觀的表征形式發展數感的深度，使學生對數學的理解更加透徹更為深刻。在“乘法的認識”教學過程中，要找準切入點進行深挖深耕，努力使學生建立起對乘法本質的直接領悟和洞察能力。

④等量組聚集模型是乘法的基礎模型

乘法從本質上講并不是特殊加法的簡化形式。從加法到乘法不僅僅是計算形式的變化，更重要的是認知結構的變化。有研究者認為，小學生的數學認知結構主要是加法結構和乘法結構，而乘法結構是在加法結構基礎上的高層次認知結構，是最重要的結構。對乘法的認識顯然不能只停留在記住一個形式化的定義。

因此，我們就要在“定義化”的基礎上強化“思維路徑”。這一思維路徑應該是那種簡單易懂且具有基礎性的。那么，哪一種思維模型才是乘法的基礎性模型呢？努涅斯和布萊恩特認為，學生遇到的最簡單的乘法形式可能是這樣一種情況，即包含了兩個集合之間的多一對應關系（如1輛車有4個輪子），這種對應關系與比率或比率系數有關，這是乘法思維的基礎而不是加法思維基礎。與“重復加”進行比較，這一思維更加復雜。閆云梅等學者在《小學階段乘法的不同現實模型分析與教學建議》一文中對人教版教材中乘法不同模型進行了梳理，發現“一步乘法的現實情境問題共計307個，其中等量組聚集模型問題有148個，占總數的48.2%，印證了等量組的聚集模型是基礎的乘法模型，是學生學習乘法的第一個模型，也是學生接觸最多的模型。”筆者進一步提出建議，應“突出等量組聚集模型在乘法概念建構中的基礎作用”，并“通過多種表征方式相互轉換，如動作表征、語言表征、圖形表征、符號表征等，實現對等量組聚集模型的一般化認知，達到對乘法概念的初步理解。”再者，對等組的數字結構進行強化還有一個重要作用，就是促使學生試著選擇對什么“數字”進行疊加。這有利于培養解決問題所必須的靈活性，并在后續學習中會進行與舊知之間主動的“關聯”。比如，在學習乘法交換律時，這些等組的例子，或者多行多列的圖表，會讓學生們產生“會心的一笑”。

⑤強化“矩形面積”模型的直觀特性

費斯賓等人的研究主張：“每一種算術基本運算，一般都結合著一個隱藏的、潛意識的、原始的直觀模式，當解一個含有兩項數值資料的應用問題時，對運算的選擇并非直接發生，而是通過一個中介模式（原始直觀模式）來發生，且這個模式會對選擇過程加以一些限制。

“多行多列”或“矩形面積”的模式應該就是乘法的原始直觀模式。一般情況下，乘法的“幾何解釋”往往使得學生感覺到容易理解。但老師們可能存在一個誤區，“矩形面積計算”與“乘法的算術表達”在數學史上誰先誰后？事實上，“將兩個數的乘積解釋為一個矩形的面積具有悠久的歷史。直到笛卡爾時代，這都是理解數的乘法的唯一方式。只是在1600年左右，笛卡爾提出乘法也可以作為一個獨立于幾何的抽象概念，乘法才開始純粹地作為數與數之間的一個運算被廣泛接受。矩形模型具有形象、直觀的特點，不但為學生理解等量組的聚集模型提供了直觀表象，而且還可以進一步推廣用來理解分數乘法的算理。在學生初步認識乘法時，教師就可以通過圖形排列的方式的變化，為正式建立矩形模型奠定基礎。將乘法與矩形面積進行關聯，對于發展學生數感意義深遠。比如在后續接觸到乘法分配律時將會感受到先前的“滲透”之功用。

三、順應認知心理，發展數感的悅納度

1.關注數學文化的滲透，涵養學生文化底蘊

每一處數學知識都不是冰冷生硬的，都會留有歷史的溫度。“乘法”這部分內容中的關鍵材料“九九乘法表”就承載著無數古代圣哲先賢的“智慧”。據史料，“九九歌”遠在春秋戰國時期即被廣泛使用，最初的九九歌是從“九九八十一”開始到“二二得四”共36句。這是“小九九”，還有81句的“大九九”。一直到現在，人們在生活中也經常會以“小九九”這個詞表示某人的“謀略”或“心機”，這就是一種文化的烙印。隨著學習的深入，教師還可以幫助學生進一步涵養多元數學文化觀。例如，可以和學生一起了解“中國算盤中的乘法、埃及連續加倍運算的乘法、俄羅斯古老的乘法算法、格子乘法、納皮爾乘法”等。

2.注重材料的趣味性，培養學生數學學習興趣

數學思考，并非是絞盡腦汁的思考，而是憑借數感享受數學的樂趣（小平邦彥）。數學學習困難的一個間接但很普遍的原因就是學生沒有感受到數學學習樂趣。因此，教師必須要“絞盡腦汁”增強教學的趣味性。但是，這里所強調的“趣味”不能簡單的等同于游戲活動等“有形”的趣味化，相比之下，我們更要挖掘數學材料本身的“趣味”。比如，在認識“×”號的時候，與其冗長地介紹乘號的來歷，講一些歷史故事等，不如賦予“乘號”以“新意”，并找到一定的關聯。基于此，不妨把“×”看作“滾動著的加號”。在教學素材的選擇上也是如此，近年來各種版本的教材都比較注重“趣味性”，如以“螞蟻做操”為問題情境，借助直觀模型“點子圖”理解乘法算理，就比較直觀生動、易于理解。

當然，對于數感的培養除了要關注以上幾個特性，還應注意發展數感的精細性，鼓勵學生源自直覺的表達，發展數感的敏銳性等等。只是在小學階段“乘法”教學活動中要有一個輕重緩急的區分才好。

綜上，筆者舉隅“乘法”，梳理了對數感的認識和理解，并對發展數感提出一些實操建議。雖然筆者極力呼吁中小學教師們要重視學生數感培養，甚至認為“數感”是數學核心素養之核心。然而，也多少有一些擔憂，就是我們往往會“矯枉過正”，重視了數感卻又忽視了邏輯！毫無疑問，在數學教學中，數感與邏輯一定要“并駕齊驅”。鄭毓信教授在《數學思維與小學數學》一書中，已經為我們指明了這一點。他說，我們的確應該通過數學學習發展學生數感。然而，作為問題的另一方面，我們應該清楚地看到數感的局限性。這表明了數學思維的思辨性質。應該明確肯定的是，在數學直覺與邏輯思辨之間存在著相互促進、相互依賴的辯證關系。這或許就像一枚硬幣的兩個面，抹平了任何一面，就不再是“幣”了。

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