例談初中數學思想方法的教學

邱琦

[摘要]數學思想的教學應貫穿在小、初、高三個階段。小學階段限于學生的思維發展還不成熟，所學內容相對簡單，只能對數學思想方法有初步的了解;進入初中階段，學生的思維發展日漸成熟，所學知識也逐漸深入，如果能加深數學思想方法的教學，對于學生數學能力的提高具有重要作用，也為他們進入高中數學的學習打下了良好的基礎。

[關鍵詞]初中數學;思想方法;能力提高

對于初中學生數學能力的培養，教師除了在傳授學生數學知識的基礎上，更應該注重對學生進行數學思想方法的培養。數學思想方法是人類通過長期的數學活動總結概括出來的寶貴財富，是人們解決數學問題的精髓和靈魂，是人們將數學知識轉化為數學能力的橋梁。因此，作為一名數學教師，在向學生傳授數學知識的同時，一定要注重培養學生對數學思想方法的運用，它更有利于學生理解所學的教材上的知識點，增強解題思路，更好地提高學生數學的綜合素養能力。

一、注重對學生已掌握的數學思想的應用

在小學階段，教師已經在課堂上有意識地滲透了一些比較常見的基礎的數學思想方法，而學生也通過小學數學的學習對數學思想方法有了一定的認知。首先，需要掌握他們在小學數學課堂上學到了哪些數學思想方法。在小學數學學習中，根據教材的編寫內容，學生應初步了解了分類思想、化歸思想、類比思想等。分類思想是小學數學中最常用的思想方法之一。如對自然數的分類，若按能否被2整除分奇數和偶數;若按約數的個數分質數和合數。又如三角形可以按邊分也可以按角分，不同的分類標準就會得到不同的分類結果，數學知識的分類有助于學生對知識的梳理和建構。化歸思想在小學數學學習中應用得比較廣泛。如在學習《圓的面積》時，就是將研究圓的面積的問題轉化成計算長方形、正方形或者梯形面積的問題，從而將陌生的問題熟悉化，可以使復雜的問題變得簡單。類比思想在小學數學學習中也常常出現，如由正整數的四則運算類比到分數的四則運算。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使學生對公式的記憶清晰深刻。其次，教師在向學生傳授初中數學知識的過程中，要不斷地把他們已學過的數學思想應用其中。如在講有理數和實數的運算時，教師可以啟發學生回憶一下小學數學中整數、分數的運算規律、加法、乘法的交換律a+b=b+a、ab=ba，結合律（a+b）+c=a+（b+c）、（ab）c=a（bc），以及乘法的分配律a（b+c）=ab+ac。在學習了負數之后，也就是在有理數范圍內，這些運算規律是否還成立呢？教師的設問，引起學生的思考，使學生的注意力轉移到問題的討論中，通過師生合作探究類比得出有理數的運算律，并從中使學生明白，運算律在運算中具有重要的作用，它是解決數學運算的基礎。

二、明確學生重點掌握的數學思想

進入初中階段，隨著所學知識的不斷增加，知識面的不斷擴展，一些重要的、常見的數學思想方法也滲透在相應的知識體系中。從整個初中教材所編寫的內容及課標要求在初中階段所掌握的能力，以及學生將來升入高中后的數學學習的發展來看，初中階段的數學教學應重點掌握方程思想、函數思想及數形結合的思想。

縱觀整個初中三年級的教材內容，很容易發現：有理數、有理數的加減法、有理數的乘除法、整式的加減、整式的乘法與因式分解、實數、一元一次方程、二元一次方程組及一元二次方程，表面上是在教數和式子的運算解方程或方程組，實際上是無形地向學生滲透著數學上的大道理——方程思想，利用方程思想可以把一些生活中的實際問題通過設未知數解方程的方法來解決。作為教師，首先自己要明確，什么是方程思想，及其在解決數學問題中所起的作用。所謂方程思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數，列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到使問題得以解決的思路和策略。

在教學中，怎樣才能讓學生認識到方程思想的重要性呢？以人教版七年級上冊教材上的一道例題為例：一輛客車和一輛卡車同時從A地出發，沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經過B地。求A、B兩地間的路程是多少？在講這道例題的時候，教師先不要急于讓學生設未知數列方程，應先讓學生用小學所學的算術法解決這個問題。學生解題第一步：客車比卡車一小時多走了70-60=10km;第二步：卡車比客車多用了一小時經過B地，在一個小時的時間里，卡車走了60km;第三步：得出客車從A到B所用時間為6h;第四步：客車從A到B的路程為420km。教師引導學生從設未知數、列方程、解方程中得到解決問題的效果。方法一：直接設未知數。設AB兩地相距x km，因為在勻速運動中時間=路程除以速度，根據問題的條件，客車和卡車從A到B行駛的時間可以分別表示為6h和7h。因為客車比卡車早一小時經過B地，則比小1，即解x=420，從而求出A、B兩地間的路程為420km。方法二：間接設未知數。設卡車從A到B需要x小時，則客車需要（x-1）小時，根據兩車行駛的路程相等，即都是從A到B，于是列出方程60x=70（x-1），解x=7。也就是說，卡車從A到B需要7h。那么A、B兩地的路程為420km。

用算術方法解題時，列出的算式表示用算術方法解題時的計算過程，其中只含有已知數，而方程是根據問題中的相等關系列出的等式，其中既含有已知數，又含有用字母表示的未知數，方程為我們解決許多問題帶來方便，通過之后的學習，學生會逐步認識到從算式到方程是數學的進步。

函數思想也是初中數學教學中一個重要內容。函數是中學數學教學中最為重要的知識點之一，是各級各類考試的必考知識點。函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題，解決問題的一種思維策略。先來看函數的定義，它描述了自然界中數量之間的對應關系，是在變化的事物中尋找一種不變的規律。

初中教材引入數軸是數形結合思想滲透的開端，數軸把實數和直線上的點聯系起來，而笛卡爾平面直角坐標系把有序實數對應平面上的點聯系起來，有了平面直角坐標系，幾何形狀可以用代數公式明確地表達出來，幾何圖形上的每一個點的直角坐標必須遵守這個代數公式。幾何圖形是直觀的，而代數方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數方程結合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？平面直角坐標系的創建在代數和幾何上架起了一座橋梁，它使幾何圖形可以用代數形式來表示。笛卡爾在創立平面直角坐標系的基礎上，創造了用代數的方法來研究幾何圖形的數學分支——解析幾何。如果把幾何圖形看成是動點的運動軌跡，那么，就可以把它看成是由具有某種共同特征的點組成的，如圓可以看做是動點到定點距離相等的點的軌跡。掌握數形結合思想有利于初、高中階段數學知識的銜接，初中數學內容相對而言較為簡單、具體，而高中數學比較抽象、復雜，在初中學習階段如果學生能打下扎實的基本功，將會對高中的學習起到積極的作用。熟練掌握用數形結合的方法來解決問題，可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡單。

三、應用數學思想促初高中知識銜接

在初中階段，培養學生具有運用數學思想解決問題的良好習慣，升入高中后，對于高中的數學學習就能夠順理成章。學生在初中可以結合方程、函數思想利用一次函數、一元一次方程來求解一元一次不等式（或一元一次不等式組），進入高中階段，學生就會很自然地利用二次函數、一元二次方程，求出相應的一元二次不等式的解。隨著高中所學函數的種類增多，指數函數、對數函數、三角函數等，學生把握了函數思想在解題過程中的重要作用后，就會更加認真探討函數的圖象及性質，并且有意識地應用它們解決問題。掌握了數形結合思想，不僅在解決函數問題上帶來了很大方便，使方法更靈活更簡便，也為高中學習解析幾何方面的知識，如直線、圓、圓錐曲線打下了良好的基礎。

一名合格的初中數學教師，不應當只局限于讓學生熟記教材的知識點、公式，只滿足于在各類考試中能熟練地解答題目，取得良好成績，更應該注重培養學生的數學思想，讓學生明白掌握數學思想方法的重要性。只有真正學會如何應用數學思想方法，才能在學習新知識以及解決各種各樣的問題時做到厚積薄發、觸類旁通、舉一反三。

參考文獻：

[1]詹丞.中學奇跡課堂[M].北京：教育科學出版社，2012.

[2]任保平.注重數學思想方法，培養學生的數學核心素養[J].初中數學教與學，2019，（01）.

（責任編輯 史玉英）