臨近概念：優化初中數學概念教學

繆愛紅

[摘? 要] 概念是初中數學教學的基石. 但學生在初中數學學習實踐中，經常會產生一些接近本質、非標準的“臨近概念”. 對于學生的“臨近概念”，教學中教師要尊重、理解和包容，并對之加以積極引導，將學生非正式、非正規的“臨近概念”發展、提升為科學化的“數學概念”.

[關鍵詞] 臨近概念;概念教學;概念本質

概念是初中數學教學的基石，精準把握概念的內涵和外延是初中數學學習的必然要求. 但在教學實踐中，筆者發現，一些學生理解了概念的內涵和外延，但對概念的描述卻是日常化的、個性化的，沒有上升到科學概念表達的層次. 對此，教師不必苛求，而應對學生的“臨近概念”表達尊重、理解、包容，并對之積極轉化、發展和提升，讓學生的“臨近概念”逐步逼近“科學概念”，這是一個漸進的過程，不可能一蹴而就. 那么，學生的“臨近概念”有哪些特征，怎樣發展、提升學生的“臨近概念”？筆者在教學中進行了積極探索. 本文旨在拋磚引玉，以求教于大方之家.

“臨近概念”是一個數學表達術語，意在表達學生“前概念”和“科學概念”轉化的過程狀態. “臨近概念”既不同于“前概念”，也不同于“科學概念”. 首先，“臨近概念”不是完全基于學生的生活實踐經驗的，臨近概念是學生學習新知后所形成的“個體化概念”，從這個意義上說，“臨近概念”是“準科學的”. 其次，“臨近概念”不同于“科學概念”，科學概念是完全數學化、標準化的，而“臨近概念”夾雜著個體的理解，因而可能是模糊的、不清晰的，有時甚至夾雜著錯誤因子. 因此，在初中數學教學中，教師要關注學生臨近概念，促進學生“臨近概念”向“科學概念”的積極轉化.

1. 接近性

應該說，“臨近概念”是很接近科學的數學概念的. 有時候，由于學生的理解差異，對概念的表達也是不盡相同的. 例如人教版八年級的“因式分解”，科學化的定義是：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的變形叫作把這個多項式因式分解. 教學中，有學生認為將一個多項式化成積的形式，有學生認為將一個多項式分成多個整式乘積，還有學生認為，將一個多項式寫成和它相等的積的形式……應該說，學生的“臨近概念”都是“部分真理”，但卻都不嚴格、不嚴謹，都有待提煉、發展和提升.

2. 發展性

學生的數學概念學習是一個不斷發展的過程，有時，教師需要“在下一個路口等學生”. 學生的數學概念學習，常見的有兩種方式：一是數學概念的同化，二是數學概念的順應. 同化即學生數學概念結構的自然擴張，是一種“量”的累積;順應即學生數學概念結構質的改變、發展. 這個過程伴隨著學生的認知沖突、認知失衡. 例如人教版七年級引入“垂線”，學生的理解是“垂直就是兩條直線相交成直角”. 人教版八年級、九年級繼續深化學生的“臨近概念”，學生運用兩條直線互相垂直的定義進行推理，深刻理解垂直定義的判斷、性質等多方面的功能. 在不斷的學習中，學生零散化的臨近概念理解逐步發展提升為系統化的數學概念理解.

3. 直覺性

盡管初中生的抽象邏輯思維能力已經得到了較大程度的發展，但很多時候，尤其是不能清晰界定數學概念的情況下，還是善于運用“直觀”“直覺”等進行思考、描述. 例如對于人教版八年級的“全等三角形”，有學生對于怎樣判斷三角形全等經常把握不準，他們于是借助筆在草稿紙上畫圖，從而把握三角形全等的條件，如“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”等. 有時候，由于學生的直覺思維，在解決相關的數學問題時，不能通盤考慮，從而造成思維卡殼、思維短路.

“臨近概念”是基于學生經驗的，學生的許多“臨近概念”是不登“大雅之堂”的，但在學生的數學學習中卻發揮著重要的作用. 教學中，教師一方面要呵護學生的“臨近概念”，另一方面卻要對學生的“臨近概念”進行引導，促進學生將“臨近概念”轉化、提升為科學的數學概念.

1. 問題情境：讓學生觸摸數學概念的內核

學生的“臨近概念”不僅表現在對概念本質把握的個性化，更體現為學生對科學的數學概念沒有真正地感受、體驗、感悟. 學生所獲得的對概念的認知是文字式的，比如學生無法想象這樣的情境：用一根直徑比地球赤道長2米的鐵絲將地球圍起來，地球和鐵絲之間的間隔有多大？對于這樣的問題，需要在情境中用數據說話，才能讓學生獲得真正的知識理解和感悟.

例如教學人教版七年級數學“有理數的乘方”，有學生盡管能夠記憶乘方的概念，但對乘方的內涵卻缺乏必要的體驗. 應該說，這樣的概念掌握是有缺失、有缺陷的，也應該屬于“臨近概念”. 數學概念不僅僅是把握概念的形，更為重要的是把握概念的神. 為此，在講解有理數的乘方時，筆者引入了這樣的經典故事：從前，有一個智慧的大臣，把自己發明的國際象棋獻給了國王. 國際象棋讓國王樂此不疲，揚言只要大臣提出條件，國王一定滿足他. 大臣于是讓國王在棋盤上放置米粒，第一格放置二的一次方也就是二粒米，第二格放置二的二次方也就是四粒米，第三格放置二的三次方也就是八粒米……國王說，這有什么難的呢？大臣笑道，恐怕陛下沒有這么多米粒吧？這樣的問題情境，對于學生認識乘方有著重要的意義. 學生對于數學知識不再是無動于衷，而是在知識情感的基礎上多了一份知識理性.

基于情境的教學讓學生干癟的數學“臨近概念”更加飽滿. 知識不再游離于學生之外，而是切入學生的經驗系統、情感系統，讓其多了一份真切的體驗和感受. 如此，學生不僅從文字表面理解了數學概念，而且理解了概念的本質內涵、深層意蘊.

2. 多向辨析：讓學生逼近概念的內核

某些數學概念，其內涵是十分豐富的，從不同的視角看，基于不同的場景，具有不同的意蘊和內涵. 教學中，教師要引領學生思辨、辨析，不斷逼近概念的本質內核. 有時候，教師還需要將單個的概念放置于概念結構、概念體系中才能獲得全面而深刻的理解. 俗話說，有比較才有鑒別，概念通常的定義方法是“屬加種差”式的，對相關概念進行比較，尋找概念之間的聯系與區別，同樣能夠將學生的“臨近概念”發展、提升為科學化的數學概念.

例如人教版八年級的“矩形、菱形和正方形”，除了基本的定義外，還需要學生自覺地將這些概念進行比較. 通過比較，凸顯概念的本質內涵，從而突破自我臨近概念的局限. 就拿內涵最深刻、外延最窄的正方形來說，和菱形比較，可以發現有一個角是直角的菱形是正方形;和矩形比較，可以發現有一組鄰邊相等的矩形是正方形;再和平行四邊形進行比較，可以發現有一個角是直角、一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形等等. 在不同的比較中，正方形顯示出不同的內涵，表現為不同的外延，也正是在比較中，學生能夠突破自我的認識局限，超越自我的臨近概念，逐步逼近概念的本質內核.

在初中數學學習中，學生對數學概念的理解是緩慢的，建構是漸進的. 某種意義上，學生的“臨近概念”是一種“模糊性的精確”，是源于學生自我認知的[1].

3. 緩沖建構：引導學生抵達概念的本質

學生對數學概念的認知與把握不是一次性到位的，其間可能要經過一個漫長的、曲折的過程. 教學中，教師不能要求教學的一帆風順，不能企望教學的一蹴而就，而應允許學生的緩沖理解. 學生的這種緩沖理解可能只是學生的一種體驗、一種意會，可能只是學生一種懵懂的表達，但其中卻閃現著數學本質的光輝，蘊含著數學知識本質的種子.

例如教學“三角函數”，其定義經歷了幾個不斷深化、循序漸進的過程. 首先，是讓學生理解直角三角形邊長的比來刻畫銳角三角函數，這是三角函數最為基本的定義;其次，是用點的坐標來表示三角函數定義;再次是三角函數的圖像和性質、三角函數線、三角函數值在各個象限的符號、同角三角函數的基本關系式等等. 對于三角函數概念的深度發掘，能夠讓學生理解三角函數的內涵和外延. 在初中數學教學中，學生對數學概念的理解有時不是一步到位的，正如三角函數概念的建立. 但是，學生數學理解、數學認識的不周全，恰恰為教師的豐富性教學提供了可能. 正是由于對數學概念的分層建構，才讓學生真正感受、體驗到數學的嚴謹、嚴密，體驗到數學概念高度的抽象性、普適性.

俗話說，“磨刀不誤砍柴工”. 三角函數的概念是整個三角函數部分的奠基石，貫穿于與三角函數有關的各個部分內容之中并發揮著關鍵性的作用. 教師重視概念教學，有助于讓學生理解概念的內涵與外延. 教學中，要讓學生反復體會、螺旋上升、逐步理解，從而能夠靈活運用.

學生數學概念的形成過程是一個漸進化的過程，“臨近概念”是學生數學概念形成的一個重要階段. 教學中，教師不能急功近利，不能急躁浮躁，奢望一蹴而就，而應從學生的“臨近概念”出發，引領啟發學生，讓學生從對數學概念的臨近理解發展、提升為數學化的理解. 如此，學生對概念的認知才能從模糊走向清晰、從模糊走向精準.

參考文獻：

[1]趙庭標. 基于學科核心素養的章始概念課教學實踐與探索 [J]. 中學數學教學參考，2017 （32）：2-5.