把握數學概念核心，實現概念有效教學

葉波

[摘? 要] 概念教學是初中數學教學的基礎. 有效的概念教學，關鍵在于把握數學概念的核心. 教學之前解析一個數學概念的內涵，實際教學中選用適當的建構方式，并引導學生對概念進行合理的表征，是數學概念有效教學的關鍵.

[關鍵詞] 初中數學;概念;概念核心;有效教學

眾所周知，數學概念是人們對數學事物本質的認識，是數學邏輯思維最基本的形式，是構建數學知識綜合體系最基本的單元. 初中數學是中學數學知識的基礎，學好初中數學對以后的數學學習道路起著奠基石的作用[1]. 因此，無論在什么教育教學改革背景之下，概念教學在初中數學中的地位都是非常重要的. 隨著對概念教學研究的不斷深入，人們發現為了更好地讓學生實現自主合作學習，或者說為了給學生開辟更為廣闊的學習空間，可以在概念教學上壓縮時間、提高效率. 而要實現這一看似矛盾的目的，就需要在教學中緊緊抓住概念的核心，只要概念的核心被抓住了，那學生學習過程的有效性就可以得到保證，有效教學也就真正發生了.

那么，概念的核心在教學中如何把握呢？對此筆者談談自己的三點淺顯看法.

解析初中數學概念內涵以把握概念核心

教學實踐表明，課堂教學的有效性離不開教師的引導，教師引導的有效性取決于教師的專業水平. 根據初中數學概念教學的地位和特點，對數學概念的內涵進行解析，能幫助教師深刻理解概念本質、認識概念教學的學科教育價值，能夠理解學生的經驗與困難，可以進一步闡釋概念的本質屬性，發展學生的數學素養[2].

數學概念的有效教學，有一個基本的前提：教師要對自己所教學的概念有一個準確的把握. 這個把握就體現在對數學概念內涵的理解上，也就是說，我們數學教師教一個數學概念，要做的不是將數學概念的定義表達告訴學生，而是將數學概念的內涵通過有效的方式呈現給學生，或者讓學生在自主探究的過程當中，逐步地把握概念的內涵. 從這個角度講，解析數學概念的內涵，并通過自身的專業素養去引導學生理解概念，是一個初中數學教師的基本功.

例如，在北師大版初中數學“兩條直線的位置關系”這一內容的教學中，我們對“兩條直線的位置關系”的理解應該是怎樣的呢？認真分析這一表述，筆者以為，至少有兩點值得重視：

其一，在學生的生活經驗當中，他們對“兩條直線的位置關系”可能會有什么樣的理解？

教材上提供了幾幅生活中的圖片，這兒所說的生活應當是學生的生活，但是由于我們此處研究兩條直線的位置關系，實際上是在同一平面內進行研究的，因此，在讓學生舉出生活中兩條直線的位置關系的例子時，教師要暗中約定一個前提. 比如說筆者曾經這樣做過：如果讓大家在黑板上畫出兩條直線，你覺得這兩條直線的位置關系可能是什么？這種讓學生做的方式，實際上只是生活經驗在課堂上的延伸，但是又達到了預設的要求. 在這一體驗的基礎上，學生往往會發現：同一平面內的兩條直線，要么相交，要么平行.

其二，教材上對兩條直線的位置關系的表述有什么內涵？

在上述發現中，其實是對學生原有經驗的一種重現，結合課本上的表述——我們知道，在同一平面內，兩條直線的位置關系有相交和平行兩種. 其后另起一段：若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為相交線;在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線.

這樣的表述有什么內涵呢？筆者以為，其是在學生經過體驗生成的表象基礎上，將學生的認識進一步精確化，也就是數學語言的使用. 因此這個概念的內涵體現在：教師要引導學生將用生活語言描述的認識轉換為數學表達. 做到這一點，實際上也就是抓住了“兩條直線的位置關系”這一概念的核心.

抓住了這一核心，也就意味著學生在學習這一概念的時候，已經有了從生活經驗走向數學表達的途徑，而這正是概念教學的必由之路.

把握學生建構概念的方式以把握概念核心

有研究者指出，初中數學教學中，概念獲得的方式有兩種，一種以概念形成方式獲得，另一種是以概念同化方式獲得. 由于初中生數學認知結構比較簡單，數學知識比較貧乏，在學習新的數學知識時，能作為同化新知識的已有基本知識比較少或沒有，因此在教學中，大部分概念是以概念形成的方式進行教學的[3].

這樣的判斷有一定的道理，這個道理體現在教師在進行概念教學的時候，一定要把握學生建構概念的方式. 很多時候，對于不同的學生而言，概念學習的方式是有可能不同的，甚至同一個概念對于不同的學生而言，建構方式也是不一樣的. 認識到這一點，我們就知道因材施教有著什么樣的意義. 當然，這里所說的“材”，就是指學生. 基于對上述引用內容的判斷，筆者以為，初中數學概念的教學中，要引導學生把握概念核心，可以分成兩種情況來討論：

第一，對于數學知識基礎比較好的學生而言，可以以概念同化的方式進行教學. 比如說“對頂角”這一概念的教學，我們可以給這部分學生提出這樣的問題：當兩直線相交時，如果讓你去描述不同相交直線哪里存在不同，你會如何描述？這種情況下，學生往往會在草稿紙上畫出不同的相交直線，然后自然能夠發現主要的不同就體現在角度的不同. 而在描述這個角度的時候，學生又發現“對面的兩個角是相等的”，這實際上就是學生的一種生活語言的描述，有了這個描述，對頂角概念教學也就有了基礎. 事實上，在學生有了這一認識之后，教師給出了對頂角的概念，學生感覺是非常形象的，好多同學都說“這兩個角就是對著頂的關系”，這樣的描述其實就是抓住了概念的核心.

第二，對于數學知識基礎比較薄弱的學生而言，應當用概念形成的方式進行教學. 同樣是對頂角這一概念的教學，對于數學知識基礎比較薄弱的學生而言，通常應該由教師給出相應的圖形，以讓學生的大腦當中形成關于對頂角的表象，然后提出的問題是“你們能不能發現在這樣的圖形上角的關系”，在這個問題的驅動之下，學生會有意識地去尋找角的關系，自然這個關系并不難發現，也因此在他們的大腦中就形成了“對面的兩個角相等”的認識. 實際上到了這一步的時候，就可以發現不同層次的學生經歷了一個殊途同歸的過程. 在此基礎上，教師講述對頂角的數學定義，就顯得順理成章了.

無論是哪種教學情況，其實都是教師針對學生客觀的認知基礎，進行的不同的教學設計. 雖然概念建構的方式是不一樣的，但是有一點是相同的，即不同的教學方式，都是為了促進學生理解概念的核心——“對面的兩個角相等”與“兩邊互為反向延長線”實際上是同一規律的不同表達. 在這里我們也可以看到，其實在讓學生把握概念核心的時候，要讓學生充分利用自己的生活語言，盡管生活語言并沒有數學語言那么精確，但是卻是學生理解數學概念的一把利器，用好生活語言，實際上為學生理解概念核心鋪平了道路.

引導學生合理表征概念以把握概念核心

以上的表述實際上在強調概念的表征，用生活語言表征數學概念，是掌握數學概念核心，進而理解數學概念的必由之路. 對此也有同行進行了研究，他們認為：學生獲得的數學概念的有效性體現在：概念表征應是豐富而清晰的;概念表征的各個不同側面之間應能靈活轉換以適應不同的問題情境;概念獲得的同時能形成精致的概念網絡. 因此，概念教學的有效性應體現在：引導體驗感悟具有指導性，引導提煉概括具有整合性，引導比較聯系具有廣泛性[4].

基于這樣的判斷，筆者的理解是：要想把握概念的核心，就必須有一個表征概念的過程，這個過程越合理，那學生對概念的理解就越準確. 那么怎樣的標準才叫合理的表征呢？以軸對稱的概念為例，在軸對稱的概念建立之前，北師大版的教材設計了“軸對稱現象”這個教學環節，這是一個非常有意思的設計，其實就是為了學生表征軸對稱概念而進行的必要鋪墊. 實際教學中，為了讓學生進行合理的表征，教師對這一內容可以進行適當的深度加工：一是將課本上的圖形用PPT呈現在學生面前;二是讓學生去舉例子. 這樣的例子固然要豐富，但是更重要的是讓學生去分析——分解的過程就是表征概念的過程，這個過程對軸對稱概念而言是隱性的，因為此時軸對稱這個概念還沒有給出. 但是這并不影響學生的表征，在分析的過程當中，學生發現這些圖形總能夠沿著一條線對折而互相重合，這里的“互相重合”其實就是表征用的語言，也成為軸對稱概念建立的核心.

通常情況下，判斷學生有沒有成功地表征一個數學概念，關鍵就看學生大腦中有沒有清晰的表象. 讓學生到黑板上去畫一個軸對稱圖形，是一個將學生表征的結果呈現出來的過程，也是表象變成實際圖形的過程，這個過程有助于學生把握概念的核心.

綜上所述，初中數學教學中，要把握數學概念的核心，這樣才能真正實現數學概念的有效教學.

參考文獻：

[1]盧燕. 初中數學概念有效教學初探[J]. 數學教學通訊，2016（8）：38-40.

[2]石頤園. 基于PCK內涵解析視角的初中數學概念教學策略[J]. 教育理論與實踐，2017（8）：51-54.

[3]劉海濤. 初中函數概念教學舉例有效性的心理分析[J]. 教學與管理， 2012（28）：53-54.

[4]胡英娟. 數學概念教學有效性的思考[J]. 中小學教師培訓，2010（10）：43-45.