淺談數學文化視角下的命題研究與教學建議

黃雪林

摘?要：教育部頒發的《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學文化是指“數學的思想、精神、語言，方法，觀點及其形成和發展;還包括數學在人類生活，科學技術，社會發展和與數學相關的人類活動中的貢獻和意義。”。數學文化對數學教育的重要作用已經引起了廣大一線數學教師和學者專家們的關注。本文就研究2008～2018十余年的高考數學文化題的命題背景分析為切點淺談數學文化視角下的命題研究和教學建議。

關鍵詞：數學文化;數學核心素養;命題研究

我國在20世紀30年代就已經出現了數學文化的研究觀點，北京大學教授孫小禮在《數學與文化》中指出“數學的出現及發展，是現代文化獲得形成的主要力量”。“普通高中課程綱要”明確指出“數學文化應納入數學教學活動。在教學活動中，教師應有意識地將相應的教學內容結合起來，將數學文化滲透到日常教學中，引導學生了解數學文化的發展。理解數學在科學技術，社會發展中的作用，認識數學的價值，提高學生的科學精神，應用意識和人文素養;將數學文化融入教學能激發學生學習數學的興趣，幫助學生進一步了解數學有利于開放學生的視野，提高數學的核心素養。”以數學文化視角命制的數學題滲透了數學文化;關注社會發展，注重引導考生運用數學知識解決生活實際問題，筆者相就數學文化視角下談談命題研究與教學建議。

一、 數學文化命題的特征分析

筆者對2008年至2018年十余年的高考試卷進行了統計，其中全國卷從2013年開始出現單獨以數學文化視角命制的試題，在2015年全國Ⅰ卷和全國卷Ⅱ的文、理試卷都出現了以數學文化背景命制的試題，數學文化視角的數學試題引起重視并在之后的每一年的全國卷中都有出現。為了更直觀從數學文化視角研究全國各地高考數學新課標文、理試卷中的相關背景下的試題筆者列表如下（表1）：

從上述統計結果中可以看出以數學文化視角命題的試題在全國卷的文、理科試卷中出現的頻次較為均衡，但是在地方卷中就更為偏愛理科卷了。從知識點的分布來看，數學文化視角命制的題目較多的涉及立體幾何（尤其是體積和表面積的計算）、平面解析幾何（阿波羅尼斯圓以及東西方的歷史名人的重要數學思想和數學史上著名的幾何證明題為主）、算法程序框圖（秦九韶算法和更相減損術等傳承我國數學文化的素材）、數列（斐波那契數列等）、函數（狄利克雷函數等）。其中幾何圖形的體積計算，平面圖形與概率結合面積計算，算法程序框圖和數列的命題比重也較其他知識點要大。命題形式基本以選擇題和填空題出現，在解答題中數學文化視角的試題較少涉及，并且表現形式也不如選擇題和填空題出現的顯而易見，一般會以較為含蓄的形式出現。

（一） 數學文化題的素材來源分析

十余年的數據分析為我們對數學文化視角的試題題目進行素材來源分析提供了便利的條件，筆者從數學文化背景分析數學文化題主要素材來源分為：

1. 源自數學名題的數學文化試題

以數學史中的數學真題名題為背景的試題基本都是具有數學問題的原型的，命題基于對原型本身進行一定的改編，主要改編方式以下三種形式為主：再現數學名題、對條件或目標進行改編、將結論或方法進行遷移。其中以我國數學史的數學名題很大一部分是取自《九章算術》《數學九章》《張邱建算經》等我國古代數學名著中的真題名題，基于數學文化多元化特征外國古代數學文化也備受命題者青睞，同樣也以數學名題再現的形式出現為主，重現了古代數學家重要成果的發現思維過程。

【2018年浙江卷11】我國古代數學著作《張邱建算經》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五;雞母一，值錢三;雞雛三，值錢一。凡百錢，買雞百，問雞翁、母、雛各幾何？”設雞翁，雞母，雞雛個數分別為x，y，z，則x+y+z=1005x+3y+13z=100，當z=81時，x=????，y=????。

分析：這是一道取自《張邱建算經》中的原題，采用的是文言文的形式并且還用方程把文言文進行了數學翻譯，題目的命制屬于直接再現原題并對目標進行改編相結合的方式。為學生提供了的文言文形式的數學名題的同時又解除了閱讀障礙，充分的考察了學生用數學知識解決數學問題的能力。

【2018年上海卷15】《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬。設AA1是正六棱柱的一條側棱，如圖1，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數是（??）

A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

【蘇州市2018～2019學年第一學期學業質量陽光指標調研卷高二數學9 】《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年。例如：“塹堵”指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱;“陽馬”指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐。如圖2，在“塹堵”ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，若“陽馬”B-A1ACC1的體積為20cm3，則“塹堵”ABC-A1B1C1的體積為???cm3。

分析：這兩道題都是以《九章算術》中的陽馬、塹堵幾何體為命題背景，是屬于典型的對條件或目標的改編，包含了對已知條件的改編、所求目標的改編、同時改編條件和目標。這兩題的背景設計相似問題設計方向卻是完全不同，2018年上海卷15題涉及的考點是空間點、線、面的關系，蘇州市2018～2019學年第一學期學業質量陽光指標調研卷高二數學9題考查的是空間幾何體的體積的求解。在弘揚中國傳統文化的同時，考察了學生的空間想象能力，開拓了學生的視野，踐行了數學核心素養。

2. 源自文化事物的數學文化試題

選擇源于文化符號、文化物品等文化事物的數學文化視角命制的試題，一般以展現數學美學為主題方向。數學美所體現的美學維度是精神空間上美，區別于自然美和藝術美，數學美學體現為抽象性、嚴謹性及冷峻而含蓄性的理性美。

數學美學主要表現為幾何圖形的結構美、數學符號語言的簡潔美還有數學邏輯思維的嚴謹美。數學美的特征為和諧性和奇異性。數學家大會的會標（趙爽弦圖）、希波拉克底研究的幾何圖形、傳統太極圖中的陰陽魚等等，都是著眼于數學文化美學的滲透。實現對研究對象的理解抽象出數學問題，真正學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維來思考世界，用數學的語言來表達世界。

【2017年全國卷Ⅰ理2文4】如圖3，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖。正方形內切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（??）

A. 14

B.π8

C. 12

D.π4

【2018年全國卷Ⅰ理10】如圖4來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC。△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ。在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3則（??）

A. p1=p2

B. p1=p3

C. p2=p3

D. p1=p2+p3

【2018年湖北省普通高中（全國卷Ⅰ）高考仿真模擬數學理科卷（四）4】我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖5），圖6是在“趙爽弦圖”的基礎上創作出的一個“數學風車”，其中ABCD正方形內部即為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形AFB，BCG，CDH，DAE組成，其中BF=3，AF=4分別延長FA，GB，HC，ED到A′，B′，C′，D′使AA′=FA，BB′=GB，CC′=HC，DD′=ED，連接A′B，B′C，C′D，D′A，我們將圖中陰影所在的四個三角形ABA′，三角形BCB′，三角形CDC′，三角形DAD′，稱為“風葉”，若在風車內隨機取一點，則此點取自“風葉”的概率為（??）

A. 2449

B. 2549

C. 3964

D. 2564

分析：這三個題目都是典型的將數學美學與三角函數中倍角關系、弧長和面積知識的考查、幾何概型中的計算問題（尤其是希波克拉底定理的理解）都能夠在滲透數學美學的過程中引導學生體會這些和諧、對稱的圖形中蘊含的數學思想，以現實生活中樸實的事例結合古典數學為背景考查數學文化相關知識，讓學生在深層次理解數學文化并能夠在今后的學習和生活中去發現、創造和研究，體會數學來源于生活的本質。

3. 源自與現代科學或生產生活有關系的數學文化背景試題

馬克思曾指出，任何一門學科是否成熟，只要看這門學科中數學應用的程度。數學科學在社會科學發展的進程中承擔著非常重要的作用。數學文化視角下的試題承擔起讓學生理解數學與時代進步的緊密關系的重要使命。

【2017～2018年遼寧省沈陽市郊聯體高二上期末數學試卷（理科）12】2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務已經通過了探月工程重大專項領導小組審議通過，正式開始實施。如圖所示，假設“嫦娥四號”衛星將沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行。若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a1a1c2其中正確式子的序號是（??）

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

【2018年全國Ⅱ卷理8】我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果。哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30=7+23。在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是（??）

A. 112

B. 114

C. 115

D. 118

分析：弘揚數學文化與現代科學或生產生活有關系素材的試題主要體現為兩點：一是挖掘現代科學或生產生活與數學知識的結合點;二是將數學落實到增強數學問題的生活化，使數學的應用貼近學生的生活實際，實現感受“數學來源于生活”的學習理念。

二、 數學文化在教學實踐中的教學建議

張奠宙教授曾指出，“數學文化不是處在課堂之外，其必須要進入課堂之中”。數學文化具有比數學知識體系更為豐富的內涵，是對數學知識、能力和數學素養的高度概括。如何在課堂教學活動中，教師通過合理設計教學活動，并在教學過程中滲透數學文化，幫助學生在學習數學知識的過程中形成一種數學文化意識，實現教學內容與數學文化之間的有效結合。

（一） 以數學史為依托，創設情境導入課堂實現數學文化的滲透

數學史是人類文明發展進程中關于數學知識的產生、發展過程的全記錄，是高中數學課堂教學活動最為有效的載體。筆者認為教師能夠在教學實踐活動中對數學史料進行一定的加工，在尊重歷史的前提下靈活的用學生喜歡的形式，比如播放數學史的科普視頻、數學家簡短而又有趣的數學演講，課堂情境引入數學家的小故事等形式根據教學內容進行合理的選擇，在選用的數學史內容時教師一定要緊密聯系教學內容，甚至可以將數學史上的內容與現代信息技術結合，增強數學課堂趣味性的同時也能夠實現更為有效的數學文化滲透和踐行數學源于生活的數學本質，實現數學文化教育的真正目的。

（二） 以數學題材為媒介，結合例題習題實現數學文化滲透

數學文化如何在日常學習過程中高頻次的出現？選擇部分有趣且極具數學文化特色的數學例題和習題是非常有效的重現形式，既促使課堂內容層次豐富又能夠較好地開發學生的從數學問題中形成數學思維的能力。如果教師敢于大膽地為學生提供以著名的數學問題為藍本開發的數學試題，由學生自己來設計數學問題、改編數學問題的嘗試，筆者相信這樣的經歷一定能讓學生對數學文化有更為深入的了解，也能極大的增強學生學習數學的信心。

（三） 通過數學公理，概念和教學本質滲透數學文化，實現數學文化應用于數學實踐

在實際的數學課程教學過程中，如果教師只停留在對數學概念和公式的解釋上，學生只能被動地接受教師輸入的知識、機械的記憶、重復的應用公式、性質和定理，很難達到對數學思維的高度理解，而且談論學習的熱情更加困難。如果教師可以使用數學文化來創造相應的數學問題情境，讓學生從數學現象中沿著數學家們的發現探索之路實現學生自我的數學公理、概念、性質的發現和歸納。我想這樣的教學設計不但能增強學生學習數學的興趣，更能激活學生學習數學的主動性。真正讓學生感受到數學本身是源自生活實際，并把這種學習精神一直陪伴到今后的學習和生活中去。

三、 結束語

數學文化與教學實踐有效的結合，為教學情境的創設、數學思維的形成、學生主體性地位的作用、激發學習興趣等方面都是總之有效的。然而數學文化本身的綜合性非常強，需要我們的教師能夠提升對數學文化的認知，從多方面多角度的對數學文化進行了解，加強數學文化的知識儲備，在課堂教學活動中通過數學文化的滲透綻放數學之美！

參考文獻：

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