等體積轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透

摘 ? 要：等體積轉(zhuǎn)化思想是指當(dāng)一類物體體積無(wú)法直接計(jì)算時(shí)，可以通過(guò)一種或多種其他媒介轉(zhuǎn)化為另一類可計(jì)算體積的物體，然后利用數(shù)學(xué)中的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想求得原物體的體積。小學(xué)階段中，等體積轉(zhuǎn)化思想首次出現(xiàn)在“有趣的測(cè)量”一課，后續(xù)思想的滲透包括圓柱和圓錐體積的推導(dǎo)和應(yīng)用。文章以“有趣的測(cè)量”一課為例，探討教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)如何有效地滲透等體積轉(zhuǎn)化思想，用發(fā)展的眼光教數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：等體積轉(zhuǎn)化;小學(xué)數(shù)學(xué);規(guī)則物體;不規(guī)則物體

作者簡(jiǎn)介：劉小會(huì)，廣東省深圳市龍華區(qū)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校教師，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。（廣東 ?深圳 ?518109）

中圖分類號(hào)：G623.5 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1671-0568（2019）23-0045-02

一個(gè)教師寫(xiě)一輩子教案不一定成為名師，但一個(gè)教師寫(xiě)三年教學(xué)反思可能成為名師。在日常教育教學(xué)實(shí)踐中，記錄教學(xué)心得，會(huì)幫助一線教師解決不少教學(xué)困境。此外，有時(shí)偶然的教學(xué)困境也會(huì)激發(fā)出獨(dú)特的教育教學(xué)策略。本文以“有趣的測(cè)量”一課為切入點(diǎn)，探討教師應(yīng)如何在教學(xué)中有效地滲透等體積轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理性的認(rèn)識(shí)和興趣。

一、研讀教材，將已知轉(zhuǎn)化為未知

“有趣的測(cè)量”是“北師大版”數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，本課的重點(diǎn)是研究不規(guī)則物體體積的計(jì)算方法。教材只呈現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和操作，教師需要引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)和方法解決如何求得不規(guī)則物體的體積這個(gè)問(wèn)題。而如何測(cè)量不規(guī)則物體的體積，采取的主要方法是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，把不規(guī)則物體放入水中，觀察水面的變化，并且找到其中的等量關(guān)系。顯性來(lái)說(shuō)，這就是數(shù)學(xué)思想方法中的“等體積轉(zhuǎn)化”;隱性來(lái)說(shuō)，這是將未知轉(zhuǎn)化為已知，利用學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備來(lái)探究和發(fā)現(xiàn)未知的知識(shí)。學(xué)生如果掌握這類轉(zhuǎn)化思想，不僅可以解決課本上提出的問(wèn)題，而且還能活學(xué)活用，解決類似的生活問(wèn)題。日常生活中的不規(guī)則物體隨處可見(jiàn)，如紅薯、土豆等。利用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握不規(guī)則物體體積的測(cè)量方法，具有很強(qiáng)的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值。

“有趣的測(cè)量”一課的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解長(zhǎng)方形水槽中上升的水的體積等于放入水中的物體的體積，讓學(xué)生體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化、等量代換”的數(shù)學(xué)思想。課前，筆者提前準(zhǔn)備好兩塊大小相近的紅薯和土豆，引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，應(yīng)該如何求得這兩塊不規(guī)則物體的體積？學(xué)生思考了很久，首先提出問(wèn)題：目前我們的知識(shí)儲(chǔ)備是無(wú)法求得這兩個(gè)不規(guī)則物體的體積的，那么我們是否可以先把這兩個(gè)不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化為規(guī)則物體呢？然后提出猜想：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體體積的計(jì)算方法，是否可以把這兩個(gè)不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，然后利用等量代換的方法求出不規(guī)則物體的體積呢？筆者先肯定了學(xué)生提出的猜想，并且和學(xué)生討論，如果我們把土豆放入了長(zhǎng)方體水槽，水槽中的水會(huì)有什么變化？通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察和交流討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)水槽中的水上升了，并且用刻度記下了水上升的高度。筆者向?qū)W生提問(wèn)：上升的水和放入的土豆有什么關(guān)系呢？大部分學(xué)生回答：上升的水的體積等于土豆的體積。筆者對(duì)學(xué)生的這一發(fā)現(xiàn)進(jìn)行表?yè)P(yáng)，又繼續(xù)追問(wèn)，上升水的體積等于多少呢？于是學(xué)生開(kāi)始討論和設(shè)計(jì)計(jì)算方案，而筆者對(duì)學(xué)生的設(shè)計(jì)方案和討論結(jié)果都給予肯定的評(píng)價(jià)。在這一過(guò)程中，學(xué)生不僅靈活地完成了教材上要求的兩種實(shí)驗(yàn)，而且在實(shí)驗(yàn)觀察和討論的過(guò)程中深刻地領(lǐng)悟到不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化成了上升的水的體積。

二、逐步滲透，構(gòu)建逆向思維

課堂的拓展練習(xí)中，筆者還和學(xué)生一起討論這類問(wèn)題的逆問(wèn)題，拓展他們的思維，達(dá)到舉一反三的目的。“在一個(gè)從里面量長(zhǎng)15分米，寬10分米的長(zhǎng)方體水槽中，有10分米深的水，如果在水中完全浸入一個(gè)棱長(zhǎng)為3分米的正方體鐵塊，那么水槽中的水深為多少分米？”這道題考查等體積思想的逆向運(yùn)用，需要讓學(xué)生理解“正方體的體積=上升的水的體積=水槽底面積×水面上升的高度”這個(gè)連環(huán)等式。難理解的點(diǎn)在于“正方體的體積=水槽底面積×水面上升的高度”，學(xué)生一旦理解了這個(gè)公式，即可以求出水面上升的高度。

通過(guò)引導(dǎo)，學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)不規(guī)則物體的體積必須要轉(zhuǎn)化成規(guī)則物體的體積，水可以充當(dāng)這一轉(zhuǎn)化過(guò)程中的媒介，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是怎樣在水中呈現(xiàn)不規(guī)則物體的體積。此外，筆者在課堂上還介紹了測(cè)量不規(guī)則物體體積的另一種方法——“排水法”。結(jié)合生活的實(shí)際可知：將紅薯放入盛滿水的容器里，溢出的水的體積就是紅薯的體積。

三、類比學(xué)習(xí)，把知識(shí)“串”起來(lái)

小學(xué)階段，等體積轉(zhuǎn)化思想首次出現(xiàn)在“有趣的測(cè)量”這一課例，后續(xù)思想的滲透包括圓柱和圓錐體積的推導(dǎo)和應(yīng)用。“圓柱的體積”這一課例中滲透的數(shù)學(xué)思想較多，包括類比學(xué)習(xí)和等體積轉(zhuǎn)化。教師不僅需要引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷“類比—猜想—驗(yàn)證—說(shuō)明”的探索過(guò)程中掌握?qǐng)A柱體積推導(dǎo)公式和計(jì)算方法，而且要讓學(xué)生領(lǐng)悟到直柱體體積的一般計(jì)算方法。小學(xué)階段，學(xué)生接觸的主要立體圖形只有圓柱和長(zhǎng)方體，它們都屬于直柱體，長(zhǎng)方體的體積公式是底面積乘以高，教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比猜想圓柱的體積也可以用底面積乘以高來(lái)計(jì)算。重點(diǎn)就是讓學(xué)生把之前學(xué)過(guò)的等體積轉(zhuǎn)化信息串聯(lián)起來(lái)，把圓柱、三棱柱等立體圖形和長(zhǎng)方體進(jìn)行有意識(shí)的聯(lián)系，最終利用“切割、拼湊”等方法把圓柱轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體。雖然形狀變了，但是物體所占空間的大小沒(méi)有改變，這便是等體積轉(zhuǎn)化思想的精髓。

教師應(yīng)該在學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，讓他們學(xué)會(huì)類比。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)從簡(jiǎn)單到煩瑣，從少到多，由淺到深的轉(zhuǎn)化過(guò)程，因此，作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者和引導(dǎo)者，教師不僅要讓學(xué)生主動(dòng)參與，從自身知識(shí)基礎(chǔ)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，把新知轉(zhuǎn)化成舊知，建立新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)新知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立，而且要培養(yǎng)學(xué)生的類比意識(shí)，把知識(shí)“串”起來(lái)，融會(huì)貫通。

四、拓展實(shí)踐，以發(fā)展的眼光教數(shù)學(xué)

等體積變形的題目大致分為兩類：一類是一種物體（如圓柱）熔鑄成另一種形體（如圓錐）;另一類是已知兩個(gè)物體的體積相等，又知道另一個(gè)物體的底面積（或底面半徑、直徑、周長(zhǎng)）和高，求另一個(gè)物體的高或者底面積。例如，把一個(gè)長(zhǎng)寬高的比是4∶3∶3的長(zhǎng)方體削成一個(gè)體積最大的圓柱體，削去的體積是243立方分米，削成的圓柱體體積是多少立方分米？這道題不僅要求學(xué)生利用常識(shí)在長(zhǎng)方體中找到一個(gè)最大的圓柱體，而且要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)和挖掘等量關(guān)系，進(jìn)而列式求解。在生活中，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生利用實(shí)物動(dòng)手操作，在實(shí)踐中拓展學(xué)習(xí)。

等體積轉(zhuǎn)化思想的獲取是靠學(xué)生“悟”出來(lái)的，而不是靠教師教出來(lái)的;是從量的積累，達(dá)到質(zhì)的飛躍。因此，在課堂教學(xué)中教師要注重滲透，讓學(xué)生逐漸感悟。在課堂上，教師要真正放手讓學(xué)生獨(dú)立思考、動(dòng)手探究，把話語(yǔ)權(quán)真正還給學(xué)生。教師應(yīng)該用發(fā)展的眼光看待小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生，加強(qiáng)練習(xí)，做有知識(shí)的人;聯(lián)系生活，做有生活的人;互相幫助，做有品格的人。教師也需要在教學(xué)中向?qū)W生逐步滲透更多的數(shù)學(xué)思想，使他們的思維得到開(kāi)拓和發(fā)散，促進(jìn)其全面發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1] 崔士欽.小學(xué)生等積變形思想的形成與發(fā)展[J].普教研究，1995，（2）.

[2] 王麗娟.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法的滲透——《圓柱的體積》教學(xué)[J].新課程（小學(xué)），2013，（10）.

責(zé)任編輯 袁靜琴