簡析化歸思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運用

王天月　高云柱

【摘要】學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中會遇到各式各樣的問題，本質(zhì)上來說是屬于化歸思想的，比如數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想等，由此可見化歸思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容，它是數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ).本文從化歸思想的概念入手，通過舉例來簡析化歸思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運用.

【關(guān)鍵詞】化歸思想;高中數(shù)學(xué);運用

一、化歸思想的概念

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式.所謂的化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的一種思想.一般情況，是將一些復(fù)雜的問題通過變換，將其轉(zhuǎn)化為簡單的問題;將難求解的問題通過變換，將其轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;將未解決的問題通過變換，將其轉(zhuǎn)化為已解決的問題.總之，化歸思想在數(shù)學(xué)中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗.說到底，化歸思想的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點，以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉(zhuǎn)化，使問題得以解決.

二、化歸思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運用

（一）定義中的化歸思想

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，一些定義、性質(zhì)或公式等基本概念，可以看成在某種條件下，題設(shè)轉(zhuǎn)化成了結(jié)論，這其中蘊含著化歸思想.

例1 對實數(shù)a和b，定義運算“”：ab=a，a-b≤1，b，a-b>1， 設(shè)函數(shù)f（x）=（x2-2）（x-x2），x∈R，若函數(shù)y=f（x）-c的圖像與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是.

像這種給出新定義的新題型，在最近幾年的高考中是很常見的.對于這樣的題目我們可以先利用新定義進行一個轉(zhuǎn)化，再根據(jù)題目中所給出的條件，結(jié)合著圖像就可以得出結(jié)論了.即利用化歸思想把新的定義轉(zhuǎn)化成所熟悉的問題來進行解決.

（二）數(shù)列中的化歸思想

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)里比較重要的一部分，一直以來都是高考的必考內(nèi)容之一.在學(xué)習(xí)的過程中會遇見多種類型題，但往往都需要求出數(shù)列的通項公式以及前n項和，那么得出數(shù)列的通項公式就是解決問題的關(guān)鍵.在近些年的高考中，經(jīng)常出現(xiàn)通過遞推公式來獲得通項公式的題目，在解決這類題的過程中往往就體現(xiàn)著化歸思想.

例2 Sn為數(shù)列{an}的前項和.已知an>0，a2n+2an=4Sn+3.（1）求{an}的通項公式;（2）設(shè)bn=1anan+1，求數(shù)列{bn}的前n項和.

解析 （1）先根據(jù)已知條件中給出的a2n+2an=4Sn+3求出其遞推關(guān)系為an+1-an=2，由此可以斷定這是一個等差數(shù)列，所以可以將其歸化為等差數(shù)列問題，運用等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識求出其通項公式為an=2n+1.

（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論an=2n+1和已知中給出的bn=1anan+1，可以得到bn=1（2n+1）（2n+3）=1212n+1-12n+3，這就可以轉(zhuǎn)化為用裂項相消法來求出數(shù)列{bn}的前n項和，即為n3（2n+3）.

（三）函數(shù)中的化歸思想

縱觀整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們會發(fā)現(xiàn)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，當進行函數(shù)學(xué)習(xí)時，如果想要解決某一個問題時，可以運用化歸思想將問題轉(zhuǎn)化成當前所掌握的知識，這樣一來問題就會被輕松地被解決了，雖然過程可能會有些復(fù)雜，但是每一步都在掌控范圍之內(nèi)，從整體上看，這極大地提高了解題的效率.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=x2+x，x<0，-x2，x≥0， 若f（f（a））≤2，則實數(shù)a的取值范圍是.

解析 對于這道題來說要經(jīng)過三次轉(zhuǎn)化才能求出最后的結(jié)果.第一次轉(zhuǎn)化：令t=f（a），則f（t）≤2轉(zhuǎn)化為等價的兩個不等式組t<0，t2+t≤2， 或t≥0，-t2≤2， 解這兩個不等式組可得t≥-2.第二次轉(zhuǎn)化：把t≥-2轉(zhuǎn)化為f（a）≥-2.第三次轉(zhuǎn)化：把f（a）≥-2轉(zhuǎn)化為等價的兩個不等式組a<0，a2+a≥-2， 或a≥0，-a2≥-2， 解這兩組不等式可以得出a≤2.

（四）不等式中的化歸思想

高考中無論是綜合考查還是單獨的考查不等式的有關(guān)內(nèi)容，可以適當?shù)剡\用化歸思想有效地解決問題.比如，利用等式的方法來處理不等式問題，能夠讓解法更加便捷，讓思路更加清晰.

例4 求證1+12+13+…+1n>n（n>1，n∈N*）.

解析 我們可以把題干中的不等號當成是等號來進行思考，假設(shè)Sn=n，an=1n，那么問題化歸為：證遞推關(guān)系式an=Sn-Sn-1（n>1，n∈N*）能夠成立.接下來可以用證明不等式的途徑來證明不等式問題.即將題轉(zhuǎn)化為證明an>Sn-Sn-1能夠成立，即是證明1n>n-n-1能夠成立.

三、總 結(jié)

本文通過對高中數(shù)學(xué)中比較重要的知識模塊的淺析以及舉例說明來闡述化歸思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的運用;除了上述幾大方面外，還有一些數(shù)學(xué)上常用的方法，比如類比法、分析綜合法等均有體現(xiàn)化歸思想，所以在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要充分地掌握化歸思想，進而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

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