一類函數導數問題的構造策略探究

蔡振樹

【摘要】導數是高中數學學習的一個重要組成部分，是研究函數、方程、不等式等問題的有力工具.利用導數研究函數的單調性、極值、最值等，會涉及函數與方程、分類討論、化歸與轉化、有限與無限等重要數學思想和分析法、綜合法、換元法、構造法等常用數學方法.是考查數學抽象、邏輯推理等數學核心素養的重要載體.

【關鍵詞】函數;突破策略;核心素養

【基金項目】本文是福建省“十三五”中學名師培養人選立項課題《基于核心素養下的差異數學實踐研究》（課題編號：13MS009）的研究成果之一.

一、高考試題中利用導數研究函數性質的作用

有關函數的壓軸題，多涉及以ex，lnx為背景的一些恒等式、不等式等問題，這需要以導數為工具來解決，這也是涉及函數導數試題命制的熱點和難點.

例如，2018年高考（Ⅰ）卷第16題：已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是.利用導數研究函數最值，實際是研究單調性，進而得到最值.

2018年高考（Ⅰ）卷第21題：已知函數f（x）=1x-x+alnx.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明f（x1）-f（x2）x1-x2

縱觀歷年高考試題，函數中的雙變量問題是一直是高考試卷中的“熱門”試題之一，這類試題不僅形式多樣，而且聯系到的知識面較廣，技巧性強，構造思維和推理能力要求較高，因此，這類試題往往被設置成高考的壓軸試題.解決這類問題的方法也是多種多樣的，有必要針對具體問題具體分析，但實際上解決這類問題也有規律可循，要依據試題題設和待求問題的結構特點、內在聯系選擇適當的解決方法，關鍵在于構造出適當的函數，把雙變量問題轉化為單變量問題，進而利用導數研究該函數的性質來求解.

二、構造函數利用導數突破的三種策略

突破策略1：單調性法.利用結構，變量對稱輪換，構造單調函數.

壓軸題中經常出現一類以不等式為背景考查函數單調性的定義、應用導數求解函數單調性的問題.此類問題設計新穎，既考查函數單調性的定義，又考查導數的應用，是兩個知識點的交匯融合;既考查函數方程的思想，又考查轉化化歸的思想，是數學思想方法的應用提升，可謂一舉多得.求解此類問題時，一定要進行合理的轉化化歸，把問題轉化為比較兩個函數值的大小問題，再轉化為函數的單調性問題，最后利用導數進行突圍，使問題得以求解.

例1 已知函數f（x）=12x2-2alnx+（a-2）x，a∈R.

（1）當a=1時，求函數f（x）圖像在點（1，f（1））處的切線方程;

（2）當a<0時，討論函數f（x）的單調性;

（3）是否存在實數a，對任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，有f（x2）-f（x1）x2-x1>a恒成立？若存在，求出a的取值范圍;若不存在，說明理由.

分析與解 （1）（2）略.

（3）題干所給的條件中含有x1，x2兩個變量，同時具有輪換對稱的特征，因此，考慮進行變量分離，等式的特征轉化為“比較兩函數值大小的問題”，進而把問題轉化為“函數的單調性問題”，最后應用導數進行求解.

為了把f（x2）-f（x1）x2-x1>a的分母進行移項.不妨設x10，

由f（x2）-f（x1）x2-x1>a可知，f（x2）-ax2>f（x1）-ax1在區間（0，+∞）上恒成立.

構造函數g（x）=f（x）-ax（x>0），則函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增.

下面應用導數進行求解.

g（x）=12x2-2alnx-2x（x>0），

g′（x）=x-2ax-2（x>0）.

由g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，得2a≤x2-2x在（0，+∞）上恒成立.

令φ（x）=x2-2x=（x-1）2-1（x>0），

所以當x=1時，φ（x）取得最小值-1.

故2a≤-1，a≤-12.故存在這樣的實數a滿足題意，其范圍為-∞，-12.

突破策略2：主元法.把一個變量當成定值，構造成另一個變量的函數來研究，屬于通性通法.比起對結構要求高的題型來講，更具一般性.

函數中的雙變量問題是近年高考試卷中的“熱門”試題之一，這類試題不僅形式多樣，而且聯系到的知識面較廣，技巧性強，構造思維能力要求較高，是多個知識點的交匯融合;既考查函數方程的思想，又考查化歸轉化的思想，是數學思想方法的應用提升，是落實數學核心素養的重要載體.

這類以指數型（對數型）函數為背景的導數、不等式交匯的試題時，我們觀察到，不等式含有雙元變量x1，x2，當x1=x2時，原不等式一端分式為00型，或0=0或左端=右端等形式.此時，可以將其中一個變量x1當成定值，另一個x2作為變量構造一端為零的不等式，從而實現減元.令x=x2，構造函數g（x），利用導數求解g（x）的最值，從而證明求解.

在求解一類以指數型（對數型）函數為背景的導數、不等式交匯的試題時，我們觀察到，不等式含有雙元變量x1，x2，通過等價轉化后可以構造差值x1-x2（或比值x1x2）而后進行換元（令t=x1-x2或t=x1x2），從而實現減元，進而把問題轉化為關于t的問題，然后通過構造關于t的函數，以導數為工具進行證明求解.

三、立足差異關注核心素養落地的重要載體

注重應試實戰與數學素養的培育，利用函數導數作為載體，掌握構造函數的幾種策略，不僅幫助學優生突破解高考的壓軸題瓶頸問題，還可以為中等生增加有效解題步驟分，有利于提高高考的應試成績.同時，更能關注到學生數學素養的培養，如對分析問題、解決問題的能力的培養，是提升數學建模、數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養的有力實踐.這需要我們正視學生學習差異，確實落實核心素養，實踐差異數學.

構造函數解決一類雙元變量問題的策略，題型特征明顯，易于觀察，解法規律性強，簡單易操作，適用范圍較廣，能讓不同學習層次的學生得到不同的發展，更好地體現差異數學，能讓學生體會知識學會識別題型、掌握解題規律，又能讓學生靈活遷移應用.構造函數的策略既能讓學生感受知識發生、發展的過程，又能讓學生從中領悟數學本質，提升數學素養，具有十分重要的意義.

【參考文獻】

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