小學數學教學應讓思維過程顯性化

【摘要】本文論述小學數學教學思維顯性化的策略，提出通過圖形、聲音和量表等，將抽象的數學問題生動呈現等教學建議，從而實現學生思維的顯性化，培育學生的數學核心素養。

【關鍵詞】顯性化思維 數學教學 可視化教學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）41-0147-02

數學學習是一項內隱性的學習活動。面對抽象的數學理論和數學概念，學生的思維過程猶如黑匣子，是看不見的，這就給學習帶來了一定的障礙。因此，在小學數學教學中，教師要將學生的思維過程當成可以觀察、把握和觸摸的對象，并致力于將這一過程顯性化，通過有效的引導和設計，將抽象的數學問題變成可以言說的思想方法以及可以看得見的數學圖表等，通過直觀的呈現和引領，讓學生能夠清晰地呈現自己的思維過程，從而讓數學學習真正發生。筆者認為，教師可以從四方面開展教學。

一、借助圖形表征，讓抽象問題呈現出來

圖形是數學思維的腳手架。對小學生來說，形象性思維是其主要的思維方式，而數學問題的抽象性恰恰在于缺乏直觀形象性，純粹的抽象文字讓學生理解起來存在一定的困難。因此，在小學數學教學中，教師要引導學生運用圖形表征，將抽象的數學問題用畫圖的方法直觀呈現出來，通過圖形表征揭示文字背后的數學關系、數學本質和數學思想，這樣才能夠幫助學生深刻理解數學知識的本質，同時也讓學生的思維軌跡變得清晰可見。

如，在教學“兩位數乘法”時，有這樣一道練習題：一桶油連桶共重30千克，倒出一半的油后，連桶稱共有16千克。求這桶油的油和桶分別是多少千克？

針對這個問題，學生大多憑感覺來解答，主要原因是大部分學生找不到問題的關鍵所在，不知道如何尋找數量關系。其實，找出題中的數量關系才是解決這個問題的核心。因此，教師要向學生滲透解決問題的思想方法，即解決問題先要從梳理數量關系入手。為此，筆者從畫圖入手，引導學生根據題意進行思考并畫出示意圖：“想一想，這桶油在倒出一半油之前重量是多少？這桶油倒出了一半油之后重量是多少？請將倒油前后的數量進行對比，你從中發現了什么？用圖示表示出來。”當學生畫出圖示之后，筆者要求學生根據圖形說出自己的理由（如圖1）。由此，學生根據題意畫出圖示，然后再結合圖形進行思考，最終直觀地感受到從原來的油和現在倒出一半油之后的變化入手，找到其中的數量關系，從而求出油的重量。

在以上教學環節，教師一步步引導學生進行圖形構建，從了解題意畫圖到根據圖形思考分析，由淺入深分層次將抽象的代數問題幾何化，將復雜的問題簡單化，運用圖形的導向作用，帶領學生解決抽象的數學問題，將內隱的思維過程顯性化，由此培養學生良好的圖感，提高學生解決問題的能力。

二、創設溝通情境，讓數學思維表達出來

語言是思維的外化。對數學教學來說，借助語言表達，能夠將學生內隱的思維直觀展現出來。因此，教師要創設交流溝通的教學情境，引導學生質疑，通過質疑激發學生的語言表達動力，一方面能夠讓學生及時展開有效的溝通，從思維上得到碰撞;另一方面教師也能夠借此了解學生的思維動向，為下一步提升學生的思維水平打下堅實的基礎。

如，在教學人教版六年級上冊《圓的認識》一課時，學生對圓已經有基本的認識，但這些認識沒有建立在抽象的概念之上，而是基于現實生活形成的。為此，筆者從學生的現實生活出發，設計了自主探究、小組討論等教學活動，讓學生對圓心的概念展開自主探索，通過自主體驗深入理解圓心的特點。筆者特意設計了“找圓心”的數學探究活動：想一想，怎么樣才能找到一個圓的圓心呢？請根據你的操作經驗，說出自己的方法。有學生提出：“可以用對折的方法，通過對折得出兩條折痕，這兩條折痕就是直徑，兩條直徑的交點就是圓心。”針對學生提出的這個方法，筆者沒有進行評價，而是引導學生針對這個方法展開討論：“你覺得他這個方法對嗎？如果不對，你有什么建議？”問題一出，學生立刻活躍起來，當即有學生提出了質疑：“我認為這個方法不對。比如黑板上有一個圓，要找出黑板上這個圓的圓心，這個圓就不能對折，所以這個方法是不合理的?！惫P者借此引導學生討論：“這個同學的反對意見聽起來很有道理。你認同他的觀點嗎？請你想一想有沒有更好的方法找到圓心呢？”學生的興趣大增，并根據這個反對意見展開了交流與討論，提出可以用以下方法和步驟來找圓心：①可以在圓上任意畫出一條直線和圓相交于A、B兩點，作AB的中垂線。②然后再畫一條和AB不平行的線，和圓交于C、D兩點，作CD的中垂線。③兩條中垂線相交于一點O，O就是圓心。也有學生提出這樣的測量方法找圓心：“用兩個三角板的直角邊，分別在兩邊緊貼著這個圓，然后下面再緊貼一把直尺，中間最長的線段就是直徑，然后找出這條直徑的中點，該中點就是圓心。”在交流分享的過程中，學生一步步地探索圓心這個知識點，通過學生的語言表達，筆者能夠清晰地發現學生解決數學問題的策略，觸摸到學生思維跳動的脈搏。由此，筆者要求學生針對提出的這些方法繼續質疑，并探究這種找圓心的方法的理論依據，由此讓課堂探究繼續深入下去，從而讓學生對圓的直徑、圓心有更深入的理解。

以上環節，教師創設了一個溝通的課堂情境，給學生構筑了一個相互傾聽、相互應答的空間，讓學生通過自主應答，將自己的思維清晰地表達出來。與此同時，在顯性化的情境中交流，教師也能夠由此理性跟進，捕捉學生的思維動態，引導學生的思維向縱深發展。

三、加強動態操作，讓數學研究展示出來

在小學數學教學中，教材呈現的數學問題大多是抽象的、靜態的，這給學生的學習帶來了一定的困難。這就需要教師將這些抽象的數學問題設計成直觀的動態形式。筆者認為，教師可以通過觀察、操作、實驗等這種具體的動態操作，讓抽象的數學課堂變為動態化的課堂，通過在動態活動中做數學的方式，讓學生對數學的研究路徑顯性化，“做”和“想”融為一體，相互促進。這樣，學生的思維不但得到清晰地展示，而且也能夠有所提升和發展，從而對數學知識的理解更加深刻。

如，在教學三年級內容《長方形和正方形的周長》時，學生針對其中的拼圖求周長這類問題產生了認知誤區，在計算周長時他們認為就是兩個圖形的周長相加，而不知道圖形在拼接的過程中會少幾條邊，更不知道這些少了的邊怎么計算，也不清楚為什么會少掉這些邊。為了糾正學生的這個認知錯誤，筆者特意設計了動態操作活動，給學生準備了剪刀以及長方形和正方形的紙片，讓學生分小組操作，分別將長方形和正方形剪下來，5人一組根據自己的想法進行拼接。有的小組將兩個完全相同的長方形的長邊拼在一起，也有的小組將兩個完全相同的長方形的寬邊拼在一起。拼接之后，筆者再讓學生用筆將這些拼接的邊描畫出來。學生在描畫的過程中深刻地體會到，拼接后的圖形長邊少了兩條（或寬邊也少了兩條）。最后，筆者再讓學生根據操作的結果進行計算，通過體驗操作，學生最終形成了一致的算法：拼接圖形的周長并不是兩個長方形的周長相加，而是兩個長方形的周長相加之后要減去拼掉的長或寬。

以上教學環節，教師給學生提供了一個動手操作的機會，讓學生在操作中感受、發現和思考問題。通過拼一拼、描一描、算一算的動態化操作，學生的思維路徑和思考方向都能夠直觀地呈現出來，教師也能夠可視化觀察并予以指導，最終讓學生的研究路徑一步步呈現出來。通過直觀的操作，學生的思維也逐漸形成，同時思維又反哺直觀的操作。這種動態操作的顯性化課堂教學，讓學生的動作和思維相輔相成，互相促進，從而形成了“做思共生”的課堂學習狀態，極大地提升了學生的思維能力和操作能力。

四、建構量化模型，讓數學知識系統起來

認知心理學理論認為，大腦對具有直觀性、嚴密性和結構性的量表極其敏感，這些量表能夠有效地將數學知識和數學概念歸納概括為直觀的結構系統，使其更容易被理解和被遷移，有利于培養學生的數學思維。因此，在小學數學教學中，教師要在學完新知之后，引導學生對所學知識進行提煉、總結和反思，建構量化模型，使其形成量表化的數學概念和數學知識的關系網絡，由此培養和發展學生應用數學知識的能力。

如，在教學《因數和倍數》之后，筆者結合這一單元的知識內容引導學生梳理本單元抽象的數學概念之間的關系，讓數學概念串聯成串、結構成網、集約成體。比如“互質”這個概念，學生在學習的時候，只能獲得單一的認知，經過引導之后，頭腦中建立了一個概括性的認知，針對不同的情況有不同的界定，對“互質”建立了三種表達模型，即兩個數只有公因數1，最大公因數是1和沒有公有的質因數。為了讓學生對互質數有一個精準的概念化界定，筆者讓學生使用量表，將互質數的情況分別舉例。學生指出，這其中有5種情況：①1和任何自然數互質;②兩個連續的自然數互質;③2的n次方和任何一個基數互質;④兩個不相同的素數互質;⑤兩個連續的奇數互質。掌握了這些可量化的數學模型之后，學生就能夠在運用短除法求幾個數的最大公因數和最小公倍數時游刃有余、得心應手，并能夠熟練地應用在現實生活中。

以上環節，教師引導學生進行精準化的概念內涵界定以及精細化的概念外延分類，對所學的概念知識建構了一個可量化的數學模型，對互質數的概念有了深刻的理解，學生逐步從點狀概念向線性、網狀、系統狀的思維量表發展，從而培養和提升學生的推理能力、分析能力。

總之，在小學數學課堂教學中，教師要立足于學生的思維發展，充分發揮圖形表征的作用，加強對學生操作活動的引導，創設溝通的課堂情境，讓學生將思維過程動態地呈現和表達出來，進而更好地理解、記憶和應用數學知識，這樣的顯性化教學不僅僅是一種教學策略，更是數學課堂教學的思想和理念所在。

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作者簡介：黃聲理（1978— ），女，廣西興業人，大學本科學歷，一級教師，主要從事小學數學教學與研究。

（責編 黃健清）