高中數學數形結合的解題技巧與方法

吳德發

【摘要】一直以來，數學都是高中課程中的重點學科，通過數學教學可以對高中生的邏輯思維以及抽象思維進行培養，使其掌握數學思想與方法，這對學生未來的學習以及發展都十分重要.而在數學思想之中，數形結合屬于一種重要思想，更是高中生解題的重要法寶.本文旨在對數形結合這種解題技巧以及解題方法加以探究，希望能給廣大高中數學教師實際教學提供相應參考.

【關鍵詞】高中數學;數形結合;解題技巧

前言：在高中數學中，數形結合屬于一種重要的數學思想，高中生在解決數學問題時，經常會用到數形結合這種思想，其在高中階段的數學方法當中占據重要地位.一般來說，數形結合是按照問題出現的根本原因，借助數字與圖形或者圖系方式對問題加以解析.因為數形結合這種方法具有非常強的實用性，學生在解題時經常用到數形結合，因此，數學教師對數形結合這種解題技巧以及方法應該加以重視.

一、一般方程中數形結合的應用

求f（x）-g（x）=0型方程的解的情況，可以化為函數y=f（x）與y=g（x）圖像的交點情況來討論，這樣一來可以將代數上看不清楚的問題化為幾何圖像問題.

例如，方程ln x=cos x解的個數為.

分析：如圖1所示，觀察題中等式兩邊的兩個函數y=ln x和y=cos x的圖像，由兩圖像只有1個交點，可得方程ln x=cos x解的個數為1.故填1.

二、不等式中數形結合的運用

例如，已知不等式16-x2+8x-x2>4，求該不等式的解集.

分析：可對原不等式16-x2+8x-x2>4加以變形，這樣就可以得到以下形式：16-x2>4-8x-x2，

變形之后獲得的不等式等價于原不等式，

之后令y1=16-x2，y2=4-8x-x2，可把上面兩個不等式實施二次變形，進而可以得到等式：x2+y21=16（y1≥0），（x-4）2+（y2-4）2=16（y2≤4）.

通過觀察，能夠看出上述兩式全都為半圓.這樣一來，學生可在一個坐標系中把相應圖形畫出來，如圖2所示.

這樣便可十分直觀地得到兩個半圓之間的交集實際上就是所求不等式的解集，即x|0≤x≤4.

再如，假設變量x與y滿足下面的約束條件：x+2y-5≤0，x-y-2≤0，x≥0，則函數z=2x+3y+1的最大值是（? ）.

A.11??? B.10??? C.9??? D.8.5

分析：如圖3所示，根據題設條件可以畫出陰影部分這個可行域.

之后聯系圖形便可得到，函數z=2x+3y+1在直線x+2y-5=0和x-y-2=0的交點處可取得最大值.

根據x+2y-5=0，x-y-2=0可得x=3，y=1，因此交點坐標為（3，1）.此時z=2×3+3×1+1=10，因此答案為B.

三、解析幾何中數形結合的運用

例如，現已知曲線y=1+4-x2與直線y=k（x-2）+4存在相異的兩個交點，求k的取值范圍.

分析：把曲線y=1+4-x2加以適當變形，這樣能得到x2+（y-1）2=4（1≤y≤3），由此能夠知道曲線y=1+4-x2是以定點A（0，1）為圓心，以2為半徑的圓，但是題設當中隱含1≤y≤3這個條件，因此是上半圓.（如圖4所示）

而直線y=k（x-2）+4是過定點B（2，4）的，當直線y=k（x-2）+4繞著點B按順時針方向進行旋轉時，直線與圓相交的點保持在弧線MT（不包括T點）上即可滿足題設要求.

又交點M位于直線y=1上，因此可以得到M的坐標為（-2，1）.

直線BM可以通過點斜式這個計算方法加以求解，kMB=34，而點T到點A的距離和圓的半徑是相等的，設直線BT的斜率為k，能夠列出等式|1+2k-4|1+k2=2，進而解出k=512.因此，最后可得k512

四、復數問題中數形結合的應用

借助復平面上兩點間的距離公式和直線、圓、圓錐曲線等知識，再利用復數的意義求解問題，比單純利用代數計算優越得多.

例如，如果復數z滿足z+i+z-i=2，那么|z+i+1|的最小值是（? ）.

A.1??? B.2??? C.2??? D.5

分析：如圖5所示，復平面內滿足|z+i|+|z-i|=2的點的集合是線段AB，而|z+i+1|表示線段AB上的點到點P（-1，-1）的距離，

由圖知|z+i+1|的最小值是1，故選A.

五、最值問題中數形結合的運用

例如，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩個不同動點A，B滿足AO⊥BO，如圖6所示.

（1）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程.

（2）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值;若不存在，請說明理由.

解：（1）設△AOB的重心G為（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），又O（0，0），

則x=（x1+x2）[]3，

y=（y1+y2）[]3， ①

∵OA⊥OB，設直線OA，OB的斜率分別為kOA，kOB，

∴kOAkOB=-1，

即x1x2+y1y2=0，②

又∵點A，B在拋物線上，有y1=x21，y2=x22，代入②化簡得x1x2=-1，

∴y[ZK（]=（y1+y2）3=13（x21+x22）=13[（x1+x2）2-2x1x2]=13×（3x）2+23=3x2+23，[ZK）]

所以，重心G的軌跡方程為y=3x2+23.

（2）S△AOB=12|OA||OB|=12（x21+y21）（x22+y22），

由（1）得S△AOB[ZK（]=12x21+x22+2≥122x21x22+2=122（-1）2+2=12×2=1.[ZK）]

當且僅當x21=x22，即|x1|=|x2|=1時，等式成立.

故△AOB的面積存在最小值，且最小值為1.

再如，如果實數x，y滿足等式（x-2）2+y2=3，求yx的最大值.

解析：上述問題直接采用代數的辦法不好解決，若將其與曲線問題結合來看，在幾何上看yx能夠達到清晰簡潔的效果，如圖7所示，在直角坐標系中，（x-2）2+y2=3是以（2，0）為圓心，3為半徑的圓，yx=y-0x-0表示圓上任意一點P（x，y）與原點連線的斜率，當OP與圓相切，∠POQ=60°時，yx取得最大值3.

結 語

綜上可知，近年來，伴隨課程改革逐漸深入，高中階段的數學教學變得越發復雜，更加重視培養高中生的發散思維以及創新思維.所以，數學課上，教師需引導高中生對數形結合這種思想加以巧妙運用，以此來使數學問題的解決更加簡單靈活，并拓展高中生的解題思路，促使其解題能力和解題效率得到提高.

【參考文獻】

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[3]陳文雅.高中數學課堂滲透“數學思想方法”的策略與途徑分析[J].數學教學通訊，2018（18）：42-43.