高中數學中恒成立問題的解題方法和技巧

黃友祥

摘 要：在高考試卷題目中，恒成立問題占據重要地位，既用來考查學生對高中數學知識的掌握和理解情況，又是決定高考數學成績的關鍵。對高中數學學習而言，學生掌握恒成立問題的解題方法和技巧，不僅可以有效提高學習能力，還能為今后的數學學習奠定扎實的基礎。文章主要概述高中數學中相關恒成立問題，分析掌握其解題方法和技巧的意義，最后提出幾點具體有效的解題方法和技巧。

關鍵詞：高中數學;恒成立問題;解題方法;技巧

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2020-05-28 文章編號：1674-120X（2020）31-0044-02

一、高中數學中恒成立問題的概述

在高中數學知識體系中，恒成立問題是高中數學知識學習的重難點。在不等式中，恒成立問題不僅范圍廣，而且參數多，同時包含變量，通常情況下還與數列、函數等知識融合在一起，使得恒成立問題的難度增加。由此可見，恒成立問題并不是一般的數學問題，具有復雜的思維邏輯、靈活多變的特點，之所以在高考試卷中出現，是因為恒成立問題可以從多方面實現對學生的考查，了解學生對高中數學知識的掌握情況。在高考試卷中，恒成立問題主要以兩種形式出現：第一，已知某不等式恒成立，求變量的取值范圍;第二，證明不等式恒成立。

二、掌握恒成立問題的解題方法和技巧的意義

所謂恒成立問題，即在已知條件下，無論變量發生怎樣的變化，都不會影響不等式成立。在高考試卷題目中，恒成立問題比較常見，且經常與函數問題合并在一起出現，加上函數知識本身就比較復雜、難度系數高，導致學生遇到此類問題無從下手。學生若能掌握一定的解題方法和技巧，不僅有利于加深對此類問題的理解，還能根據題目的條件和問題，選擇最合適的解題方法。所以對高中數學學習而言，掌握多種解題方法和靈活的解題技巧十分重要。學生根據已經掌握的解題方法和技巧，選擇合適的練習題，多加練習，再次面對此類問題必定能夠輕車熟路。另外，高中數學相對初中而言，學習難度增加，導致大部分高中學生對數學產生畏懼心理，甚至是只要看到類似的題目就產生一種不會做的心理，所以消除畏懼心理前，必須擁有清晰的思路，此外還需要加強學生對數學的學習興趣，這樣才能從容面對各種數學問題。

三、高中數學中恒成立問題的解題方法和技巧

（一）構造函數法

解決不等式恒成立問題，可利用完全平方公式來求最值，首先可將題目中的不等式轉化為簡單的函數，利用構造法構建函數，把復雜的問題簡單化，實現對恒成立問題的解答。接下來通過例題，用二次函數的圖像和性質探討不等式恒成立問題，已知題目中有兩個變量時，必須選擇最合適的參數和變量，然后對轉化后的函數進行解方程，這樣就可以將復雜的問題簡單化。一般情況下都是將題目中已知范圍的量作為變量，將求解中的取值范圍作為參數進行解答。

例1：（1）已知不等式x2-2ax+1≥0在x∈[-2，1]上恒成立，求a的取值范圍。

（2）已知不等式x2-2ax+1≥0在a∈[-2，1]上恒成立，求x的取值范圍。

分析（1）：先求出f（x）=x2-2ax+1的對稱軸x=a，再進行討論即可。

分析（2）：令f（a）=x2-2ax+1=-2ax+x2+1，將其看成關于a的一次函數，再利用恒成立問題進行轉化。

解（1）：f（x）=x2-2ax+1，令其圖像的對稱軸為x=a，由不等式x2-2ax+1≥0在x∈[-2，1]上恒成立，

可得或

或。解得a=φ或1≤a<1或a=1，所以a的取值范圍是1≤a<1。

解（2）：令f（x）=x2-2ax+1=-2ax+x2+1，由不等式x2-2ax+1≥0在x∈[-2，1]上恒成立，可得

。解得x≥-2+或x≥-2-。

面對這類問題，大部分學生都是直接根據題目中的已知條件對不等式進行解答，這樣很容易將簡單的問題復雜化，如果能夠轉變解題思路，轉變題目中的已知變量和參數，然后對不等式進行轉化，就很容易求解。

（二）數形結合法

對函數不等式題目，解決這類題目最簡單的方法就是利用函數的圖像和代數式。數形結合思想和方法可以更好地解決函數不等式問題，先畫圖像，再分析題目中的條件，最后根據圖像求解。

例2：已知函數f（x）=x2-2x2+x，y=g（x）的圖像與y=|f（x）|的圖像關于x軸對稱，函數

，若關于x的不等式h（x）-kx≤0恒成立，求實數k的取值范圍.

解：由f（x）=x3-2x2+x得f '（x）=3x2-4x+1，由f '（x）=0得x=或x=1，當x∈（-∞，）和（1，+∞）時，f（x）=x3-2x2+x為增函數，當x∈（，1）時，f（x）=x3-2x2+x為減函數，不等式h（x）-kx≤0恒成立，h（x）≤kx在R上恒成立。作出函數y=h（x）與y=kx的圖像，如下圖所示：

設y=kx與y=Inx相切于（x0，Inx），=，則切線方程為y-Inx0=（x-x0），代入（0，0）得-Inx0=-1，得x0=e，所以k=;由f（x）=x3-2x2+x得f '（x）=3x2-4x+1，可得f '（0）=1，即y=kx在原點處的切線的斜率為1，所以實數k的取值范圍是[，1]。

在高中數學恒成立問題中，大部分題目都可以利用數形結合的方法進行解題，前提是必須充分了解題目，準確畫出函數圖像，然后結合函數與題目中的已知條件，找出其中的關系，這樣才能有效解決這類問題，否則函數圖像錯誤，就會導致接下來的解題錯誤，很難得出準確答案。

正確且簡便的解題方法和技巧對高中數學恒成立問題而言，具有非常重要的意義，常見的解題方法和技巧除了構造函數、數形結合法，還有變量分離法，學生只有熟練掌握并加以運用，才能準確解答恒成立問題，最終提高數學學習能力。

參考文獻：

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[2]石彩霞，王樹文，楊平，等.高中數學中一類恒成立問題的思考[J].高中數理化，2019（13）：31-32.