斜率概念教學的反思與重構

郭紅清　李其龍

[摘要]斜率的概念是高中解析幾何的教學起點.對斜率概念教學的重難點把握、反思具有十分重要的意義.針對斜率概念教學中的疑點和難點，梳理典型案例進行反思，并根據反思進行教學重構，以使斜率概念的教學定位更明確、更科學.

[關鍵詞]斜率;概念教學;反思;重構

[中圖分類號]G633.6? [文獻標識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0003-03

講清概念是概念教學課的基本任務.形式上的完成并不等同于教學目標的實現.對概念教學的反思、重構是必要的，是提高概念教學水平的必要途徑.反思、重構應成為數學概念教學活動的自覺行為.斜率概念是解析幾何的教學起點，是“數刻畫形”“數描述形”的第一個案例，也是解析法生成的源頭.在教學過程中教師認真組織好這一概念的教學，有助于解析方法在學生腦海里“生根發芽

一、概念定位和思想分析

數學概念教學應體現概念建構的必要性、合理性和嚴謹性.不但要關注概念的邏輯結構，更應關注研究問題的一般方法，關注概念生成過程中學生的思維方式.斜率概念的教學仍然存在切入點的爭議，也帶來了建構過程的不同，教學素材的應用也不盡相同.本文試圖就斜率概念教學中的疑點和難點，梳理典型案例進行反思，并根據反思進行教學重構，力爭該概念的教學定位更明確、更科學、更具有實踐價值.

蘇教版教材斜率的產生過程體現了幾何對象的“數量化”過程，斜率是核心知識，傾斜角屬于從屬地位.而且斜率也和平均變化率、導數概念、曲線的切割線相關，相較傾斜角更為重要.如果一節課的內容看作“連續的時間”前后呼應，那么斜率應是教學承前啟后的關鍵節點.

二、概念教學過程

1.創設情境，引入概念

[案例1]同學們小時候都玩過蹺蹺板，如果把蹺蹺板抽象為一條直線，那么蹺蹺板在運動過程中就形成了一系列的直線，這些直線方向各不相同，但都經過同一個點，經過一個點有無數條直線.如果經過一個點，直線的方向又是確定的，那么直線是否確定呢？

生：經過一個點，直線的方向又是確定的，那么直線確定.但我們怎樣刻畫直線的方向呢？

師：問得好，這就是我們這一堂課要解決的問題，即如何刻畫直線的傾斜程度.

[反思]數學課堂的情境可以是生活中的例子.生活中給予直線的直觀認識的事物過于平常，想出更為奇特的例子并無必要，但作為普遍存在的數學抽象概念卻有深入研究的必要，應強調直線研究的必要性.

直線在很多學生的印象中已經和一次函數等同起來，而我們要學習的直線與一次函數既有區別又有聯系，所以教學中既要聯系學生的已有認知，又要打破學生“直線即一次函數”的認知.因此，本節課以初中的一次函數引入更好.

關于“一點加方向能否確定直線”的問題學生除了回答“能”或“不能”外，并不能給出更多的解釋.因此，課堂設計的問題應該有利于教學處理.本課的教學目標應凸出“直線方向的數量化”，提出的問題必須緊扣主題.

[重構]設計有邏輯關系的問題來展開教學，激活學生頭腦中原有的知識，建立新概念和原有知識的聯系.

（1）通過一次函數來提出直線的數量化，得到進一步認識直線的必要性.

（2）以生活中的樓梯帶出“坡度”的數學表示，并進一步推廣到直線的傾斜程度.

[課堂實錄]

師：解析幾何的基本思想是引進“坐標”，并刻畫幾何對象.點是最基本的幾何對象，點P和有序實數對（x，y）形成了對應關系.根據約定的法則，一個點唯一的對應數對（x，y），而依據x和y給定的兩個數，找到的點也是唯一的.那么作為組成平面圖形的基本對象直線應該怎樣“數量化”？我們是否已經用代數形式表示了直線？

生：初中的一次函數就表示直線，形如y=ax+b.

師：形如y=ax+b的數學形式是否表示了所有直線？是不是所有直線都能表示成y=ax+b？數字a，b的不同，表示的直線又有什么不同？兩點確定了一條直線，過一點的直線則有無數條，這無數條又存在什么不同？又該用怎樣的數進行刻畫？

師：如圖1，坐標系中給定一點P（x1，y1），給出另一點Q（x2，y2），那么得到的斜線段會隨著Q的不同而傾斜程度不同.怎么計算斜坡的傾斜程度？你是否曾經衡量過坡的陡峭程度？

設計意圖：兩點構造了斜坡，坡度來自于生活化的斜坡，貼近學生熟悉的知識儲備，有助于從初中知識遷移至新的情境.類比坡度的計算引出數學表示，同時坐標化會存在表示長度不加絕對值的問題，有助于學生良好思維品質的培養.

2.總結提煉，建構概念

[案例2]在以上的分析中引導學生得出：

已知直線l上有兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），

（1）若x1≠x2，直線l的斜率為

（2）若x1=x2，直線l的斜率不存在.

提醒學生注意：（1）斜率與給定直線上所取兩點的位置和順序無關;（2）給定直線若存在斜率，則斜率是一個定值;（3）所取兩點，當x1=x2時，斜率不存在，直線垂直于x軸;（4）所取兩點，當y1=y2時，直線的斜率為0，直線垂直于y軸.

[反思]本課的難點在于斜率公式的建構，輕描淡寫使得學生不能養成從概念出發的思維品質，我們從一個初步的公式推進，通過不斷追問引發矛盾沖突，并不斷完善概念.一個概念的形成是螺旋式上升的，概念反映的是一個過程而不只是結果.

上述案例四個結論并非是概念建構的自然結果，是提醒而不是生成.提出概念的文字敘述，只是概念的表象，概念還需要進一步琢磨、反饋加以完善.斜率的概念及基本公式不能簡單地作為事實來接受，應該對概念做批判性檢查，對照以上四點注意深入挖掘.

（1）直線上不僅僅只有兩點，為什么任取兩點計算的結果不變？可以讓學生探究.

（2）這一點其實和（1）表達的是同一意思，真正有待解決的是斜率給定，是否唯一對應了直線方向？

（3）斜率的計算是有條件的，斜率的有和無實質是概念定義的分類討論.

（4）斜率為0的情況在概念中并無獨立提出的必然性.可以納入到應用環節，根據數值的符號及大小認識直線的方向，屬于反向理解并應用概念.

[重構]通過引入部分得到的初步結果，深入探索，分析不足并加以完善，直到提出斜率概念文字表述，對概念反復推敲.認識直線方向和斜率的一一對應，體會幾何對象的數量化，認識數和形的統一.從一一對應關系深化概念理解，作為數學建構的嚴謹化，這是必要的，這樣的教學示范也潛移默化地影響著學生的概念觀.

[課堂實錄]

師：作為坐標表示運算，用做結果需要注意什么？

生：除法運算應該考慮到分母不能為0，也就是x1≠x2.

師：傾斜程度與直線方向是否有區別，值確定，是否表示了唯一的方向？

生：遞增和遞減的直線相同，不能加以區別，應去掉絕對值得.

設計意圖：從近似的形式逐步演化得到，找到注意點x1≠x2，為建構斜率的概念鋪平道路.解釋了坡度和斜率的聯系與區別，可以說，直線斜率就是推廣了的坡度，將已有坡度概念遷移到坐標背景下，遷移到更高數學抽象直線中，展示了數學概念的嚴謹化過程.

師：直線上有無數個點，任意取兩點計算得到的是同一結果嗎？同一個方向是同一個斜率嗎？

生：直線確定，取不同兩組點相當于構造兩個相似的直角三角形，算出的比值相等.

設計意圖：進一步理解概念，而且回答了以上問題，確定了直線，斜率無論采用哪些點計算都為同一數值.直線方向確定，其斜率必唯一.學生可以從圖形直觀地給出解答.

師：應用斜率公式有怎樣的要求，相應圖形特征是什么？包含著怎樣的數學思想方法？

生：x1≠x2是應用公式必然要求，也就是豎直直線不存在斜率，非豎直直線存在斜率，包含了分類討論的數學思想方法.

設計意圖：針對結論中的注意點，是“聽到背住”還是“親口總結”，效果天壤之別，充分發揮學生的主體作用，提高學生對概念的認識，使學生能自發自覺地從分類討論的層面認識斜率概念和使用斜率公式.

3.探索深化，應用概念

[案例3]

[例1]直線l₁，l₂，l₃都經過點P（3，2），又l₁，l₂，l₃分別經過點Q₁（-2，-1），Q₂（4，-2），Q₃（-3，2），試計算直線l₁，l₂，l₃的斜率.

師：大家畫出直線，看看直線的斜率和直線的方向有怎樣的對應關系？

生：斜率等于0，直線和x軸平行;斜率大于0，直線自左下方向右上方傾斜;斜率小于0，直線自左上方向右下方傾斜.

[例2]經過點P（3，2）畫直線，使直線的斜率分別為.

生1：可利用斜率就是增量的比值，就是把P（3，2）變化到點Q的縱坐標的增量為3，橫坐標的增量為4后點Q（7，5）仍在直線上，所以，即可畫出過這兩點的直線.

生2：同樣，把P（3，2）變化到點Q的縱坐標的增量為-4，橫坐標的增量為5或者縱坐標的增量為4，橫坐標的增量為-5后，點Q都在直線上.

[反思]概念教學中，例題教學起著理解概念的內涵與外延的作用，還起著把知識轉化為能力的作用.教材選擇的兩個例題是為了配合本課概念的教學.例1的設計是為了依據斜率符號做簡單分類，例2的設計是用一點加方向確定直線.同時從概念出發理解斜率的幾何意義.就題論題是不夠的，斜率的數值大?。ú粌H僅是符號）是怎樣刻畫了直線的傾斜程度.比如斜率為和的直線又是怎樣的方向？

[重構]通過對教材例題的處理，在斜率概念的應用環節，我們的設計應達到以下目的：

（1）通過例1計算的結果，熟悉斜率公式.聯系數值相應的直線方向，配合斜率概念，進一步根據斜率符號將直線分類.

（2）鑒于“數刻畫形”，通過對斜率數值的分析，結合概念作出直線，作出的圖形帶來傾斜程度的直觀感受.變化斜率的值，分析出數值的大小與傾斜程度的聯系.

[課堂實錄]

對例1，師：通過本題的計算，三個不同的數值代表的直線有什么典型的幾何特征？

生：斜率符號有正負，數值0，再考慮斜率不存在的情況將直線分為四類：斜率不存在的豎直直線、斜率為0的水平直線、斜率為正的上升直線和斜率為負的下降直線.

對例2，師：已知一點和直線斜率，是否能確定直線并畫出它？

生：再得到直線上另一點，根據公式，滿足條件的（x，y）很多，不妨?。?，5），通過兩點畫出直線即為所求.

師：，可以理解為橫坐標增加了4個單位，縱坐標增加了3個單位;也可以理解為橫坐標減少了4個單位，縱坐標減少了3個單位.如此，直線的方向比較直觀.再分別考察斜率為和，你能得出什么結論？

生：直線斜率k的符號決定了直線上升還是下降，同時|k|到越大，直線越陡.

設計意圖：斜率作為推廣了的坡度，斜率為正相當于上升的坡，斜率為負相當于下降的坡.通過斜率的數值就能感受直線的方向，同時體會到斜率值與坡的陡峭程度的聯系.這道題的解決回答了一點和直線方向能確定直線，也從數的角度把握了直觀的方向.當然看到直觀的圖形也能估計斜率數值的大小.

三、類比延伸，反思教學

本節課的斜率概念有助于滲透數形結合、歸納類比的數學思想.鑒于該概念的核心地位，反思優化、重構斜率概念的教學有著重要價值.教師只有從實踐中反思，重構教學過程，才能找到恰當的教學方法.

[參考文獻]

[1]程仕然，蔣智東.蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書（必修）數學》中核心概念認知情況的調查報告[J].數學教學通訊，2019（5）：8-10.

[2]吳曉紅.數學課堂教學反思[M].上海：華東師范大學出版社，2014.