妙用數(shù)學(xué)模型 提升課堂教學(xué)效率

劉龍根

【摘 要】數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想文化，在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中一直被沿用。數(shù)學(xué)建模能夠解決很多抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)也是數(shù)學(xué)解決問(wèn)題方法多元化的一種體現(xiàn)。本文以雞兔同籠問(wèn)題為例，探討了數(shù)學(xué)模型在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略，通過(guò)數(shù)學(xué)建模的有效運(yùn)用提升小學(xué)生們學(xué)習(xí)積極性和開(kāi)拓他們的知識(shí)視野。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;雞兔同籠

引言

數(shù)學(xué)是一門(mén)博大精深的科學(xué)知識(shí)，其中潛在蘊(yùn)含著自然界的發(fā)展規(guī)律。在我國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，各種數(shù)學(xué)思想文化不斷涌現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模文化作為一種重要的數(shù)形塑像，自古以來(lái)一直被沿用，直到今天，也是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要學(xué)習(xí)方法。“數(shù)學(xué)建模百般好，隔離分家萬(wàn)事非”，深刻地指明了“數(shù)學(xué)建模”的價(jià)值，揭示了數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)。

一、背景分析

數(shù)學(xué)是一門(mén)博大精深的科學(xué)知識(shí)，其中潛在蘊(yùn)含著自然界的發(fā)展規(guī)律。在我國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，各種數(shù)學(xué)思想不斷涌現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，自古以來(lái)一直被沿用。直到今天，也是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)建模思想是指通過(guò)探究實(shí)際問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)知識(shí)，建立理論化的模型來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法。熟練掌握數(shù)學(xué)建模思想是小學(xué)階段數(shù)學(xué)的重要要求和技能，也是小學(xué)生們訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維和提高數(shù)學(xué)運(yùn)用能力的重要保障。借助于數(shù)學(xué)建模思想，小學(xué)生們可以把看起來(lái)很復(fù)雜的形狀問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)字問(wèn)題;難以理解的數(shù)字問(wèn)題則可以轉(zhuǎn)換為形象直觀的圖形問(wèn)題。作為小學(xué)數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問(wèn)題，“雞兔同籠”問(wèn)題一直是數(shù)學(xué)建模中的經(jīng)典例題，具有非常深遠(yuǎn)的影響。總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往能夠取得事半功倍的效果。

二、數(shù)學(xué)建模的運(yùn)用策略

小學(xué)建模方法的應(yīng)用有三個(gè)層次，第一是鼓勵(lì)小學(xué)生們發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，努力建立數(shù)學(xué)模型。其次是學(xué)會(huì)正確使用數(shù)學(xué)模型來(lái)提高解題效率，最后是通過(guò)數(shù)學(xué)模型拓寬知識(shí)視野，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維。

（一）發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立模型

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是建立數(shù)學(xué)思維空間和訓(xùn)練數(shù)學(xué)邏輯思維，體會(huì)到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣和奇妙。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，在遇到與數(shù)量有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果較為抽象，難以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可以通過(guò)數(shù)字之間的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出能夠反映數(shù)學(xué)核心問(wèn)題的模型。復(fù)雜的數(shù)字計(jì)算問(wèn)題便轉(zhuǎn)換成了形象直觀的模型問(wèn)題了，原本抽象而復(fù)雜的問(wèn)題也就迎刃而解了。這不失為一種極為有效的學(xué)習(xí)方法，不僅能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，同時(shí)也能夠增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例如：在小學(xué)數(shù)學(xué)題“雞兔同籠問(wèn)題”中，一開(kāi)始學(xué)生們對(duì)雞和兔的數(shù)量概念計(jì)算不清，難以找到解決問(wèn)題的根本方法，部分學(xué)生還在采用不停地試數(shù)量和湊腳數(shù)的方法。后來(lái)學(xué)生們發(fā)現(xiàn)腳的數(shù)量多，頭的數(shù)量少的時(shí)候，尤其是腳的數(shù)量大大超過(guò)頭的數(shù)量的二倍時(shí)，一般計(jì)算出來(lái)的結(jié)果都是兔子相對(duì)較多。而腳的數(shù)量相對(duì)于頭來(lái)說(shuō)比較少時(shí)，只有頭的數(shù)量二倍多一點(diǎn)的時(shí)候，結(jié)果都是雞的數(shù)量多。學(xué)生們發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律后，我引導(dǎo)學(xué)生們說(shuō)：“我們可以建立解答此類問(wèn)題的模型，以后類似的問(wèn)題都能夠快速得到正確答案。”學(xué)生們建立的模型就是先假設(shè)全部是雞，根據(jù)已知的頭數(shù)來(lái)計(jì)算假設(shè)的腳數(shù)，如果腳數(shù)小于已知的實(shí)際腳數(shù)，則將實(shí)際腳數(shù)和假設(shè)腳數(shù)的差除以2，即可得到兔子的數(shù)量。因?yàn)橹心昙?jí)小學(xué)生們還不會(huì)使用方程來(lái)解答此類問(wèn)題，建立這個(gè)模型能夠很快解決此類問(wèn)題。當(dāng)然，在記錄模型的時(shí)候，學(xué)生們要深刻理解為什么是腳數(shù)之差除以2。這樣才能保證學(xué)生真正理解了模型的含義，并能夠應(yīng)用該模型解決實(shí)際問(wèn)題。

類似地，“雞兔同籠”問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)，比如有一道題“自行車(chē)和三輪車(chē)共11輛，總共有29個(gè)輪子，要求自行車(chē)和三輪車(chē)各有多少輛”。學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)“雞兔同籠”的問(wèn)題時(shí)，如果真正掌握了模型的建立方法，也能夠發(fā)現(xiàn)這道題和“雞兔同籠”類似，也可以用一樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)解答。只是這道題中的物理量換了對(duì)象，將雞腳改為車(chē)輪，二輛車(chē)之間的輪子數(shù)目差距是1，而不是2。“雞兔同籠”問(wèn)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型思想，在解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)依然可行。

（二）提高解題效率

數(shù)學(xué)建模思想的完美應(yīng)用體現(xiàn)在數(shù)和形的相互詮釋，可以將數(shù)學(xué)問(wèn)題更加生動(dòng)形象的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，而且有了數(shù)學(xué)建模這一思想，將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形狀的構(gòu)造、劃分問(wèn)題，學(xué)生們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維也得到了開(kāi)拓，他們對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的探索也更加的感興趣，是一件很奇妙的事情。小學(xué)生的數(shù)學(xué)模型概念和建模能力是先熟悉對(duì)象特征，然后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形模式進(jìn)行抽象表達(dá)的過(guò)程。建立起數(shù)學(xué)模型的概念后，小學(xué)生們?cè)诿鎸?duì)類似的問(wèn)題時(shí)，可以用模型的方法來(lái)解決問(wèn)題。

在一道雞兔同籠的例題中，總共有22只腳，8個(gè)頭，要求出兔子和雞的數(shù)量。我引導(dǎo)學(xué)生們先假設(shè)8個(gè)動(dòng)物都是兔子，然后根據(jù)假設(shè)計(jì)算出來(lái)的腳的總數(shù)是32，比實(shí)際的腳數(shù)量多10。再用10除以（每只兔子比雞多出的腳數(shù)）即可得到雞的數(shù)量為5，再反推得到兔子的數(shù)量為3。在通過(guò)假設(shè)的方法解決這道例題后，我引導(dǎo)學(xué)生深入思考并提煉出了解答類似問(wèn)題的模型。“雞數(shù)=（雞兔總數(shù)×4-實(shí)際腳數(shù)）/（4-2）”;同理，“兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-雞兔總數(shù)×2）/（4-2）”;在建立這一模型后，我又出了一道例題，要求學(xué)生們根據(jù)這個(gè)模型來(lái)計(jì)算雞兔的數(shù)量。學(xué)生們采用這個(gè)模型和傳統(tǒng)的計(jì)算方法后，發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型計(jì)算準(zhǔn)確，而且速度很快。學(xué)生們也知道了模型在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)了，實(shí)際上所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以歸納總結(jié)出對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)數(shù)學(xué)階段訓(xùn)練學(xué)生們的模型思維，是幫助學(xué)生們搭建解決實(shí)際問(wèn)題能力的橋梁。

（三）數(shù)學(xué)建模，思維開(kāi)花

小學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，建立良好的數(shù)學(xué)建模思想是非常重要的，無(wú)論是高年級(jí)還是低年級(jí)的學(xué)生，數(shù)學(xué)建模思想都是他們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法，尤其是在疑難數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，數(shù)學(xué)建模思想能夠?qū)⑵溆卸狻?duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到的各式各樣的問(wèn)題，例如簡(jiǎn)單的加減法、乘除法、分?jǐn)?shù)、比例等，又比如相對(duì)復(fù)雜的包容問(wèn)題、植樹(shù)問(wèn)題等等，數(shù)學(xué)建模思想可以以不同的形式對(duì)這些問(wèn)題給出解釋，同時(shí)復(fù)雜的幾何問(wèn)題往往也能夠通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)字來(lái)表示，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的探索提供了廣闊無(wú)垠的空間。

例如：“雞兔同籠”是廣泛存在小學(xué)各年級(jí)的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，二種不同的動(dòng)物的腳的數(shù)量不同，還沒(méi)有接觸方程解法的小學(xué)生很難直接用數(shù)字的方法來(lái)求解這一問(wèn)題。若是能夠采用數(shù)學(xué)建模的方法，則這一數(shù)字問(wèn)題則可以變得非常形象直觀。比如學(xué)生在知道總的動(dòng)物頭的數(shù)量后，可以在本子上畫(huà)個(gè)圓表示，然后用斜線代表動(dòng)物的腳，二條斜線表示一只雞，一個(gè)圓圈加四條斜線則代表一只兔。小學(xué)生們通過(guò)不停的嘗試，發(fā)現(xiàn)數(shù)目不對(duì)則可以很快通過(guò)修改斜線的分布來(lái)調(diào)整二種動(dòng)物的數(shù)目，直到符合題目要求為止，也就正確求解了“雞兔同籠”問(wèn)題。

這樣，通過(guò)將腳的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換為筆畫(huà)圖形，同時(shí)又將圖形轉(zhuǎn)化為腳的個(gè)數(shù)，可以直觀的看到有2只雞，4只兔。大多數(shù)學(xué)生在剛開(kāi)始接觸此類題目時(shí)都很犯難，因?yàn)閹追N不同數(shù)目的動(dòng)物混在一起，顯得很復(fù)雜;但是在采用數(shù)學(xué)建模的方法將此問(wèn)題轉(zhuǎn)換為圖形問(wèn)題后，題目就變得形象直觀了。通過(guò)“數(shù)學(xué)互譯”，這道看似較為困難的問(wèn)題迎刃而解了，這足以體現(xiàn)出了“數(shù)學(xué)建模”應(yīng)用在小學(xué)數(shù)學(xué)中的魅力。

三、結(jié)束語(yǔ)

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)建模”這一數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑。無(wú)論是小學(xué)生與教師，都應(yīng)該充分的重視起來(lái)，應(yīng)盡量發(fā)掘數(shù)學(xué)模型和實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，借助這一數(shù)學(xué)思想來(lái)解決更多的教學(xué)以及學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，更重要的是通過(guò)這種數(shù)學(xué)思想開(kāi)拓學(xué)生的思維能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。

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（漳州市南靖縣和溪中心小學(xué)，福建? 漳州? 363600）