概率乘法公式教學研究與實踐

【摘要】乘法公式是概率論與數理統計系列公式之一，應用廣泛，對此知識點進行教學研究有重要意義.本文首先就乘法公式的化繁為簡思想、一一對應與條件事件逐項增多特點、優先發生原則等四方面展開論述，再進行教學設計，此教學設計在多年的課堂實踐中得到較高評價.

【關鍵詞】概率論與數理統計;乘法公式;教學設計;條件概率

【基金項目】廣西重點培育學科（應用數學）2016年研究子課題（Sxkczy02）;2015年度廣西民族師范學院教學改革研究課題立項項目（JGYB201537）.

“概率論與數理統計”課程是大學理工類、經濟管理類等專業的一門必修課程，應用廣泛，學好這門課程對學生后續課程的學習有重要意義.這門課程中概率計算的公式很多，如加法公式、減法公式、乘法公式、條件概率公式、全概率公式與貝葉斯公式等，由于公式多，學生在使用時容易出現問題.例如，記不住公式，分不清哪個事件應為A、哪個事件應為B，或者用錯了公式等.因此，對這些公式的教學，需要教師理解透公式的內涵實質，教學時突出各公式的特點和適用條件，總結歸納解題的思路、步驟及注意事項等.本文將以乘法公式為例，首先分析公式的四方面特點及教學重難點，再給出教學過程設計方案，期望能為“概率論與數理統計”的授課教師提供參考，也期望學習者對乘法公式有更深的認識與理解，能用乘法公式解決相關問題.

一、教學內容分析

所謂乘法公式，指的是兩個及兩個以上事件乘積的概率計算公式，它的一般形式為[1]：

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1…An-1）.

從公式中可以看出以下特點：

一是體現分步討論、化繁為簡的思想[2].所求事件相對復雜，不能直接由古典方法求出，并且可以表示成一些事件的乘積形式，則由乘法公式，利用等式右邊分步求解，而等式右邊的每一項可根據題意得到.

二是具有一一對應特點.公式左邊有n個事件A1，A2，…，An相乘，則公式右邊有n項概率相乘，并且分別對應于A1，A2，…，An的概率，除其中一項外，其他項都是條件概率，并且條件不一樣，這n項分別為P（A1），P（A2|A1），P（A3|A1A2），…，P（An|A1…An-1）.

三是條件事件逐項增多.從公式可以看出，第一項P（A1）沒有條件，第二項P（A2|A1）以A1作為條件，而第三項P（A3|A1A2）以A1A2作為條件，以此類推，作為條件的事件逐項增多.

四是優先發生原則[3].我們看到公式中是多個事件乘積，從公式的推導過程中可以知道這n個事件地位是平等的，可以互換位置，但在實際應用中，如果事件發生有先后順序，應以優先發生為原則，因為我們容易得到前面事件已發生的條件下后面事件發生的概率，比如，從裝有4只紅球5只白球的袋中依次抽取球兩次，做不放回抽樣，求第一次取到紅球第二次取到白球的概率.因為第一次取到紅球的條件下第二次取到白球的概率容易知道，而第二次取到白球的條件下第一次取到紅球的概率很難求出，因此，應該記A1為第1次取到紅球，A2為第2次取到白球，那么所要求的事件為A1A2;如果事件發生沒有先后順序，那么就要根據題意考查哪個事件作為條件更容易計算.

這個知識點的教學重點是乘法公式的推導與應用，從條件概率的定義導出兩個事件乘積AB的概率計算公式，擴展到三個事件乘積ABC的概率計算公式，進一步推廣到多個事件乘積A1，A2，…，An的概率計算公式，在這個過程中要注意強調公式的一一對應與條件事件逐項增多兩個特點，便于學生牢記公式，然后再通過例題和課堂練習展現乘法公式的廣泛應用，在這個過程中要充分體現出公式的實質是分步討論、化繁為簡;教學難點是應用，在運用公式的過程中容易出錯，有時分不清題意是要求條件概率還是乘積概率，或哪個事件應該作為條件，在教學過程中注意分析題意和根據優先發生原則來確定事件的順序.

二、教學過程設計

總的設計思路為：“創設問題情境—確定問題（任務）—制訂解決方案—嘗試解決問題—發現新問題—改進解決方案—解決問題—拓展問題”，通過創設情境及確定問題、新知傳授、實戰演練、精講多練、歸納總結、課后作業等6個環節，對教學過程進行精心設計，突破重難點，使其兼具典型性、實用性、趣味性，同時將各種問題貫穿在教學過程中，引導學生積極主動學習、自主協作、學會創造、探索創新，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力.

（一）創設問題情境

創設如下抽簽情境：精彩足球賽的入場券只有1張，但有5個人都想要，采用抽簽的方法來決定，于是有人爭著先抽簽，認為“先抽的人要比后抽的人抽到的機會大”，而組織抽簽者則說“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，大家抽到‘入場券的機會都一樣大”，引出問題：抽中與抽簽順序有無關系呢？換用概率的語言就是：假設Ai為第i個人抽中，那A1，A2，…，Ai的概率是否相等？

這個環節以生活中常碰到的抽簽問題引入，更能引起學生的關注，吸引學生注意力，激發學生學習的積極性與主動性.

（二）新知傳授

為解決抽簽問題，引出新知：概率乘法公式.

首先由條件概率推出兩個事件的乘法公式.

當P（A）>0時，由P（B|A）=P（AB）P（A）得到

P（AB）=P（A）P（B|A），（1）

或者當P（B）>0時，由P（A|B）=P（AB）P（B）得到

P（AB）=P（B）P（A|B）.（2）

以上兩式即為兩個事件的乘法公式，在實際應用過程中使用公式（1）或者公式（2），可根據特點四：優先發生原則來確定.

然后由兩個事件的乘法公式推導出三個事件的乘法公式

P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）.

進一步推廣到n個事件的乘法公式

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1…An-1）.

在這兩個環節中注意強調公式的一一對應特點與條件事件逐項增多趨勢，方便學生理解與記憶.

（三）實戰演練

用乘法公式解決抽簽問題，首先設Ai為第i個人抽中，計算P（Ai），i=1，…，5.顯然P（A1）=15，但其他的結果并不明顯，如計算P（A3），需要考慮前面兩人抽簽的結果，此過程比較復雜，所以要分步把復雜問題簡化，因為第三個人抽中意味著前面兩人都沒有抽中，所以有P（A3）=P（A1?A2A3），再運用乘法公式

P（A3）=P（A1A2A3）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1?A2）=45×34×13=15，可知第3個人抽中的概率也是15，按這個方法計算，得到每一個抽中的概率均為15，所以抽簽抽中的概率與先后順序無關.在這個環節中要充分強調分步討論與化繁為簡的思想.

（四）精講多練

此環節設計一道例題和至少一道練習，通過例題使學生進一步理解乘法公式的特點及應用，通過練習學生容易把新知內化.

例1?第一、第二車間共同生產5 000個零件，其中1 500個是第一車間生產的.而在這1 500個零件中，有500個是標準件，現從這5 000個零件中任取一個，問這個零件是第一車間生產的標準件的概率是多少？

分析?題目中涉及零件是第一或第二車間生產以及零件是標準件或不是標準件，因此，設A={零件是第一車間生產}，B={零件是標準件}，注意分析所求問題：零件是第一車間生產的標準件應該表示為AB，而不是（B|A），因為由題意知道P（B|A）=5001 500，所以利用乘法公式（1）P（AB）=P（A）P（B|A）=1 5005 000×5001 500=0.1即為所求.

練習1?波利亞罐子模型：罐中有b個白球和q個紅球.隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個同色球與d個異色球.再進行第二次抽取，并反復地做下去，問題：依次取球四次，求前兩次取到白球后兩次取到紅球的概率.

解?設Ai為第i（i=1，2，3，4）次取到白球，則所求事件可以表示為A1A2A3?A4，運用公式得

P（A1A2 A3?A4）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）P（A4|A1A2 A3）

=bb+q×b+cb+q+c+d×q+2db+q+2c+2d×q+3db+q+3c+3d.

（五）歸納總結

此環節以學生為主，引導學生歸納總結，重點突出公式的四個特點及解題的步驟：根據題意用恰當字母表示事件—把所求事件表示成所假設事件的乘積—運用乘法公式求解.

（六）課后作業

可以根據學生的實際情況適當布置1～3道書面作業題，要求學生按解題步驟規范書寫.

例如，① 袋中有一個白球與一個黑球，現每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進一個白球，直至取出黑球為止.求取了n次都未取出黑球的概率.

② 一批零件共有100個，其中有10個不合格品.從中一個一個地取出，求第三次才取得不合格品的概率是多少.

三、結束語

目前高校課程改革的一個特點是減少課內授課課時，增加第二課堂的課時，在這樣的環境下想要取得好的教學效果，需要教師對教學內容展開研究，精心設計每一節課，并且最好能以微課形式記錄[4]下來.針對乘法公式這個知識點，筆者以本文的教學設計為框架，錄制成微課參加2016年全國高校數學微課程教學設計競賽，獲得了華南賽區一等獎，平時的課堂實踐中也按此教學設計開展教學，取得了較好的教學效果.

【參考文獻】

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]李真.淺談《概率論與數理統計》中乘法公式的教學體會[J].大眾科技，2017（3）：82-84.

[3]鄭長波.條件概率系列公式的學習技巧[J].沈陽師范大學學報（自然科學版），2006（4）：396-398.

[4]黃月蘭.概率統計微課教學設計的研究與實踐[J].數學學習與研究，2018（23）：14-15.