試論“構(gòu)造法”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

卿吉文

摘? ?要：“構(gòu)造法”簡單的說，就是要解決某些數(shù)學(xué)問題時，如果采用尋常方法依照定向思維無法解決時，可以參考題設(shè)條件與結(jié)論特征、性質(zhì)，構(gòu)造滿足條件或結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)對象，并借助該對象來解決數(shù)學(xué)問題的思想方法。構(gòu)造法極富創(chuàng)造性，用該方法來解決初中數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造什么與如何構(gòu)造。學(xué)生想要熟練應(yīng)用構(gòu)造法來解題，必須要掌握相關(guān)技巧，積極挖掘題設(shè)和結(jié)論間內(nèi)在聯(lián)系，并聯(lián)系問題和某熟知概念、公式等，再進(jìn)行構(gòu)造，明確原本意蘊(yùn)不清的關(guān)系，從而謀求問題破解途徑。基于此，本文從構(gòu)造方程、構(gòu)造圖形、構(gòu)造函數(shù)等方面著手，來探析“構(gòu)造法”在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法;初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)解題

構(gòu)造法對于數(shù)學(xué)這門學(xué)科來說，是一重要的解題方法，其在日常教學(xué)、數(shù)學(xué)競賽中都占據(jù)不可忽視的位置。構(gòu)造法常常以巧妙的構(gòu)思、精妙的構(gòu)型，讓人感到豁然開朗，拍案叫絕。當(dāng)然，也有些學(xué)生無法理解構(gòu)造產(chǎn)生的來龍去脈，在使用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題的時候也多是一知半解，所以往往效果不佳。由此，本文便結(jié)合自身見解和實際例子，來試論如何應(yīng)用“構(gòu)造法”于初中數(shù)學(xué)解題中。

一、輕松解題，構(gòu)造方程

初中數(shù)學(xué)解題時，構(gòu)造方程是一基本方法。一些數(shù)學(xué)題目如果使用普通尋常方法來分析解決，往往會遇到瓶頸難以突破，但如果能參考題目特點(diǎn)，構(gòu)造相關(guān)方程式或方程組，再結(jié)合方程根定義、判別式、韋達(dá)定理等有關(guān)知識內(nèi)容，便能很輕松的解決難題，將原本復(fù)雜的題目變得簡單起來。所以，在解題的時候，教師要鼓勵學(xué)生仔細(xì)觀察、善于發(fā)現(xiàn)、嚴(yán)謹(jǐn)分析，從而挖掘出關(guān)系，合理構(gòu)造方程，簡單、快速的解答出問題[1]。

例1：某些題目可以立足條件，觀察其特點(diǎn)，來構(gòu)造“一元一次方程”進(jìn)行求解，輕松獲得答案。

問題：假如關(guān)于X的方程ax+b=2（2x+7）+1有無數(shù)多個解，則a、b的值分別為多少？

解答：原方程整理成（a-4）x=15-b，因為此方程有無數(shù)多個解，所以a-4=0且15-b=0，得到答案為a=4，b=15.

例2：某些問題直接進(jìn)行求解是比較難的，但如果掌握問題特征，經(jīng)過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造“一元二次方程”，再利用根和系數(shù)的關(guān)系來求解，便能輕松解決問題。該方法簡單明了，應(yīng)用廣泛，在數(shù)學(xué)競賽中也常用。

教師指導(dǎo)學(xué)生分析，要注意兩個等式的系數(shù)特點(diǎn)，可先化為對應(yīng)相等的形式，在構(gòu)造恰當(dāng)?shù)囊辉畏匠獭?/p>

二、靈巧解題，構(gòu)造圖形

構(gòu)造法的另一種形式為構(gòu)造圖形，當(dāng)題目中的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形之間有著某種緊密關(guān)聯(lián)，或含有顯著幾何意義的時候，學(xué)生可以嘗試立足題設(shè)條件與所求結(jié)論，由“數(shù)”想“形”，用“形”助“數(shù)”，從而構(gòu)造圖形，將原本抽象的內(nèi)容變得直觀起來，化繁為簡，巧妙切入，靈巧解題[2]。

例1：一些題目的條件與結(jié)論比較隱蔽，對此，需要積極發(fā)掘題設(shè)條件中的幾何意義，通過構(gòu)造合適的圖形來聯(lián)系兩者，從而構(gòu)造出幾何圖形，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題，加強(qiáng)問題直觀性，讓問題解決能事半功倍[3]。

解答：就絕對值的幾何意義可以了解到：，表示數(shù)軸上1到5的距離之和等于4的所有點(diǎn)所表示的數(shù)。如下圖1，只要表示數(shù)的點(diǎn)落在1與5之間（包括1與5），那么其到1和5的距離之和都等于4，因而1≤x≤5，選A。

例2：面對幾何題的時候，只要根據(jù)相關(guān)性質(zhì)，巧妙構(gòu)造，便能很快找到解題途徑，不但能使問題迎刃而解，還能更好的強(qiáng)化學(xué)生思維能力與幾何證題水平。

問題：如圖2，△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分線交BC于D點(diǎn)。求證：AB+BD=AC。

解答：教師可引導(dǎo)學(xué)生在遇到三角形的角平分線的時候，可構(gòu)造等腰三角形，依靠等腰三角形相關(guān)性質(zhì)，來尋求到解題途徑。為此，延長CB到F點(diǎn)，讓BF=AB，連接AF，則△BAF是等腰三角形，且∠F=1。在依照三角形外角相關(guān)性質(zhì)，得出∠ABD=∠1+∠F，也就是∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，因而∠C=∠1=∠F，△AFC是等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD是等腰三角形。所以，AF=DF=DB+BF=DB+AB，即AB+BD=AC。

三、高效解題，構(gòu)造函數(shù)

初中階段數(shù)學(xué)知識中的方程、不等式和一些代數(shù)問題，都和函數(shù)密切相關(guān)。一些表面似乎和函數(shù)無關(guān)聯(lián)的問題，也能站在函數(shù)的角度進(jìn)行發(fā)散思考，從而獲得不一樣的解題效果。在解題時，學(xué)生不能抱持固有思維，而應(yīng)積極發(fā)散思考，熟練運(yùn)用構(gòu)造法來構(gòu)造函數(shù)，從而突破解題困局[4]。

例如，如圖3，一位NBA運(yùn)動員跳躍投籃，球沿著拋物線y=運(yùn)行，之后準(zhǔn)確落進(jìn)籃框內(nèi)。已知籃筐高度是3.05m，求球在空中運(yùn)行的最大高度是多少？如果該NBA運(yùn)動員跳起來時，球出手離地面高度2.25m，則他距離籃筐中心水平距離為多少？

解題：在教師的啟發(fā)下，第一題學(xué)生先構(gòu)建完整的函數(shù)圖形，根據(jù)已知條件：球沿著y=運(yùn)行，可知拋物線定點(diǎn)是（0，3.5），驗證可知最高點(diǎn)在定義域內(nèi)，所以可知道球運(yùn)行的最大高度是3.5m。對于第二題，可構(gòu)建上圖坐標(biāo)系，然后求出運(yùn)動員位置橫坐標(biāo)即可得到答案。籃筐處高度y=3.05m，X=1.5（x≥0），再因運(yùn)動員投出手高度y=2.25，則求出x=-2.5（x≤0），因而可得出運(yùn)動員距籃筐水平距離是4m。

四、結(jié)語

總的來說，構(gòu)造法毋庸置疑是一種十分靈活且具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思想方法，其能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)造能力和觀察意識。學(xué)生只有充分掌握構(gòu)造法的技巧，才能在面對各種問題時熟練使用，從而強(qiáng)化數(shù)學(xué)解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]俞秋明. 構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2016（35）：48.

[2]徐向明. 例析構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 數(shù)理化解題研究，2016（08）：32-33.

[3]杜少鋒. 淺談構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2015（14）：43.

[4]朱美芬. 構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用[J]. 高考，2018（30）：208.