數學核心素養之直觀想象與培養

張棋

摘要： 隨著中國綜合國力的不斷提高，學生的教育不僅要注重知識的教學，同時還要重視對學科核心素養的培養，幫助學生高效地掌握知識以及身心的全面發展。在2017版普通高中數學課程標準中指出六大核心素養，其中直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象來感知事物的形態與變化，它是發現和提出數學命題、理解數學問題、梳理論證思路和運算的輔助工具。基于立德樹人的使命，直觀的想象力能幫助學生“形成數學和直覺”，這是通過數學的眼光觀察世界來建立數學直覺的基本方法。

關鍵詞： 核心素養;直觀想象;幾何直觀;空間想象;培養

一、 直觀想象的內涵

《普通高中課程標準（2017版）》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態和變化，利用空間形式尤其是圖形，理解和解決數學問題的素養。主要包括：利用空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形來分析、描述數學問題;建立形與數之間的聯系，構建一個直觀的數學問題模型，并探索解決問題的方法。從它的定義看，該素養主要涉及了兩個方面，即幾何直觀和空間想象。

（一）幾何直觀

義務教育數學課程標準中，幾何直觀主要是指借助圖形來描述和分析問題。孔凡哲、史寧中教授指出，幾何直觀是指借助見到的（或虛構的）幾何的圖像關系，直接識別和掌握數學研究對象（空間形式或數量關系）的能力。它是學生解決數學問題的手段，有利于學生了解問題的實質，理清思路，探索解決問題的方向。此外，幾何直觀還可以幫助學生直觀地理解數學，并在教學過程中發揮重要作用。例如，在學習分數的加法時，形如 1 2 + 1 4 + 1 8 =1- 1 8 = 7 8 = 4+2+1 8 ，除了用代數理解之外，還可用圖形的折半來輔助理解，往后學生遇到類似的分數加法就可以更加簡便而正確地得出答案。

（二）空間想象

空間想象是數學的基本概念之一，而培養學生的空間想象力更是中學數學的主要任務之一，它包括以下三個方面的內容：（1）能根據描述空間幾何形體的語言或圖片，可以在頭腦中形成相應的幾何圖形，并得到其直觀圖，如一提到正方形，就能想起其模樣;（2）能根據所給出的直觀圖，在大腦中展現出相應的幾何圖形，甚至包括其位置關系和數量關系，例如學生學完三視圖后，能根據三視圖求某一空間圖形的體積等等;（3）能對頭腦中已有的空間幾何圖形進行拆分和組合，得到新的幾何圖形，并對它的位置關系、數量關系以及直觀圖進行分析，如在學習棱臺時，學生能想象到棱臺是指一個棱錐被平行于它的底面的一個平面所截后，截面與底面之間的幾何形狀。

（三）幾何直觀、空間想象與直觀想象的關系

我們知道，幾何直觀是指用圖形來描述和分析問題，這是感性認識;而空間想象是學生對二維平面或三維空間的圖形的位置、數量關系及其性質的理解，是一種理性認識。但是根據人們的認知過程，他們總是從感性知識中認識到理性的理解，然后從理性中認識到實踐的過程，而直觀想象的本質是借助幾何圖形的直觀來拓展想象的思維能力。在實踐過程中，通常將幾何直觀思維和空間想象能力都調動起來，從而去尋求解決問題的方法和途徑。

二、 直觀想象的價值

（一）直觀想象的數學學科價值

1. 直觀想象與其他數學學科核心素養的關系

直觀想象在數學的核心素養中起著重要作用，與其他素養密不可分。直觀想象是數學抽象或數學建模的基礎，在課堂教學中，通常需要經過直觀想象對實際生活情境進行分析，探索其本質，并通過數學抽象或數學建模將其轉化為數學問題。例如在解釋直線垂直于平面時，教師通常將學校中的旗桿與地面的垂直抽象為直線和平面垂直;另外在函數的最值問題和線性規劃中，一般都需要通過直觀想象來建立模型進而解決問題。此外，在進行復雜的邏輯推理或數學運算時，人們需要利用直觀想象來梳理思路，尋找方向，將復雜問題簡單化，如在立體幾何的證明題和導數的運算中，有時要畫出圖形，運用數形結合的思想來得出結果。最后，在進行大數據分析時，人們通常會運用直觀想象來作出直觀的圖表模型，并利用相關的統計方法對數據進行分析和處理，在概率與統計中經常會運用到這一點。

2. 直觀想象在解題中的運用

學數學往往離不開解題，而直觀想象作為高中新課標所提出的核心素養之一，在實踐中可謂應用廣泛。下面舉兩個例子來說明。

【例1】? （2016年高考全國Ⅰ卷，理11）平面α過正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1的頂點A 1，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA 1B 1=n，則m，n所成角的正弦值為 （）

A . ??3? 2? ?B . ??2? 2? ?C . ??3? 3? ?D . ?1 3

解析： 根據題意將圖形畫出來，利用直觀想象來分析和轉化圖形的位置關系。由題可知，平面CBD 1∥平面A 1BD，因α∥平面CBD 1，可以轉化為α∥平面A 1BD，由面面平行的性質可知，m∥BD，n∥A 1B，所以m，n所成的角即為BD和A 1B所成的角，即∠AB 1D=60 ° ，其正弦值為? 3? 2 ，故答案為 A 。

（二）直觀想象的育人價值

學科的育人價值就是該學科能幫助學生在成長過程中形成獨特發展的價值，它側重于學生的發展，以學生為主體，影響和豐富學生生命的意義。而數學教育的價值在于讓學生形成理性思維、科學精神、嚴謹求實態度;應用實踐能力等等。其中，作為數學核心素養之一的直觀想象，它的育人價值表現在學生該達到的目標要求上。首先，通過對數學課程的學習，發展數形結合的思維，提高幾何直觀和空間想象能力;其次，在思考問題時，發揮主觀能動性，可以自覺地調動直觀想象;最后，在實際生活中，能用數學直觀的眼光看待世界并理解事物的本質。綜上，就是要形成學生的數學直觀。