利用數形結合提高學生數學能力的策略

潘燦麗

[摘? 要] 數形結合不僅關系到數學能力的達成，同時對學生直觀想象能力的培養也具有十分重要的意義. 對于初中數學而言，數形結合已然成為十分重要的教學手段，文章在此基礎上結合新課標的推進趨勢對數形結合思想方法的滲透進行闡釋，并通過對具體例題的分析提供關于學生能力培養的新路徑.

[關鍵詞] 初中數學;數形結合;以形助數;以數解形;數形互譯

數形結合是學生通過活動對感性素材進行的抽象，它是高度投入、高階認知參與的一種培養學生能力的方法，同時它也是學生在數學解題中常用的思想方法，相對于其他思想方法而言，形象、直觀是其顯著的特點. 數形結合是重要的思想方法之一，也是數學解題中直接性理解和創造性構建的紐帶，對發展學生的思維能力，培養學生的思維品質具有重要意義. 本文結合具體例題分析數形結合在初中數學中的滲透，進而提供關于學生能力培養的新路徑.

以教材內容為載體，培養數形

結合

相較于小學數學，初中教材明顯更具有復雜性和抽象性，同時數形結合思想也貫穿于整個教材中，有效架起了抽象知識與直觀圖形的橋梁，成為學生學習數學的重要方法. 這就要求教師深度挖掘教材內容，運用數形結合思想實現目標定位，在數形轉化中培養學生靈活運用數形結合思想的良好習慣.

1. 通過直觀性圖示，有所感知

在初中數學教學中，不少抽象而復雜的數學問題可以通過直觀圖示的“形”來加深理解，通過豐富的感性素材豐富學生的感性認知，提高分析的精確度. 例如，教學“實數”，學生對正數已經有了一個初步的認識，教師再演示溫度計、水閘蓄水和放水等直觀圖示，導入負數概念和有理數的運算法則，將抽象的正、負數的數量關系放于圖示中分析并解決，再輔以詳細的講解，為本節課難點的突破建構橋梁. 因此，結合直觀性圖示進行分析是滲透數形結合思想的第一步，它有助于提升學生對相關概念的感知程度，有利于抽象思維的提升.

2. 通過實踐性活動，有所體驗

實踐性活動是促進概念理解最常用的方法，借助多種操作性活動引出數學概念最抽象、最本質的屬性，使學生有所體驗. 例如，引入“乘方”的概念時，可安排動手折紙的實驗活動或觀察拉面師傅拉面的場景，從而導出概念. 這樣的過程中，通過對事物的剪、拼、拆、折等方法獲取必要的信息，逐步在腦海中形成清晰的表象，從而為問題的探究和解決指明方向.

以習題特征為突破，培養數形

結合思想

在解題中，需關注到數與形的融合，細細斟酌問題的具體特征，通過形來觀察數的問題，借助數的方法去思考形的問題，并合理掌控好二者的融合，使這兩種方法相輔相成、相得益彰，找尋到解決問題的思路，開闊學生的解題思路.

1. 以形助數

例1？搖 如圖1，已知A（2，2）和B兩點是反比例函數y=■的圖像C與正比例函數y=ax（a≠0）的圖像l的交點，將函數y=■的圖像與直線AB向右平移n（n>0）個單位長度，所得圖像分別為C′和l′，已知圖像C′過點M（2，4）.

（1），（2）略.

（3）試直接寫出不等式■≤ax-1的解集.

分析? 不等式■≤ax-1可轉化為函數y=■的圖像都位于y=ax-1的函數圖像上方，它們的交點分別為（3，2）和B（-1，-2），解集為x<-1或0

評注? 從本題中可以看出，若采用常規代數方法解決這個問題顯然是不大可行的，但若借助圖形特征，則可使本題的難點迎刃而解.

2. 以數解形

例2？搖 如圖2，已知平面直角坐標系中有Rt△OAB，且其中的一個頂點A位于x軸正半軸，頂點B的坐標為（3，■），邊OA上的一點C的坐標為■，0，點P在斜邊OB上移動，則PA+PC的最小值為（? ）

分析? 這道題我們往往習慣選擇以幾何方法進行解決，但通過合理作圖，很容易看出來，如果以勾股定理解決，則可以簡化解題過程，從而彌補幾何問題的一些缺憾. 本題這樣思考：作點A關于OB的對稱點D，連接DC交OB于點P，那么該點P則為所求的點. 構造直角三角形通過勾股定理即可求出CD.

評注? 本題為一道幾何問題，在對題目的條件和問題進行分析和整合的過程中，深入觀察并理清題目中的圖形特征，然后再將這些特征借助相應的公式、定理建立關聯，通過代數方法解決問題.

3. 數形互譯解決應用問題

在解決問題中，常常需要運用到數形互譯的數形結合，從而轉化抽象的數量關系，在觀察、分析和聯想中解決問題.

例3？搖 小李和小陸從A地出發去B地，沿著同一行駛路線，圖3為他們距離A地的距離s（單位：km）與行駛時間t（單位：h）之間的函數關系圖像，觀察圖中信息，可得：①小李和小陸都行駛了20 km;②小陸行駛全程一共用了1.5 h;③兩人相遇后，小李的速度比小陸的小;小李在行駛過程中停留了0.5 h. 以上說法中正確的有（? ? ?）

A. 1個 B. 2個

C. 3個D. 4個

分析? 本題的解決需要學生精準分析圖形，讓原本模糊的問題逐步清晰，學生從圖示以及數量關系著手，通過數形互譯，找尋到相關解題公式，搭建解題路徑.

評注? 若本題僅僅在“形”上進行分析和觀察，則會出現一系列學生不易察覺的解題錯誤.

注意事項

1. 數形結合思想的運用中，大多涉及作圖問題，有些問題只需通過一個草圖作為輔助手段搭建解題路徑，也有一些題目需要精確作圖，此時則需要避免因作圖不夠精確而導致的錯誤.

2. 數形結合思想在解題中，還需關注到圖形的合理性以及分析問題的各種情形，做到不漏不重.

例4？搖 如圖4，已知網格中有一個直角三角形（且網格中每個小正方形的邊長均為1個單位長度），現以此直角三角形的一條邊為公共邊畫出一個新的三角形與原直角三角形構成一個等腰三角形，且此新三角形的頂點位置不限，并與原直角三角形僅有一條公共邊，不存在任何公共點，則滿足該要求的新三角形有______個.

分析? 從題意出發，可以探究得出，以原直角三角形的每條邊為底邊可以構造2個新三角形與原直角三角形構成一個等腰三角形，那么新三角形的個數則為6個;再以原直角三角形的斜邊為腰考慮，可以構造1個新三角形，故新三角形的個數共有7個.

總之，數學解題不是就題論題的過程，而是通過教學策略使學生萌生數學思想，并轉化為解決問題的策略，再到數形結合中體悟核心思想的啟發性成分，進而生成有效的學習經驗，實現數學能力的提升. 雖然本文只是以一些單一的例題為例，但其實具有普遍性的意義，對此我們需做到思之再三.