非等價轉化導致的錯解例析

王桂芳

【摘 要】轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化要求在轉化的過程中前因和后果是充分且必要的;非等價轉化前后的兩個問題是有區別的，因此要注意對結論的檢驗、調整和補充。轉化的原則是將不熟悉、難解的及尚未解決的問題轉為熟知的、易解的及已經解決的問題，將抽象的問題轉為具體的、直觀的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將一般的問題轉化為特殊的問題，將生活實際中的問題轉為數學問題，從而使問題易于解決。但是只有等價轉化才能保證轉化前后的兩個問題本質上的一致性。而在數學解題過程中，學生常常用非等價轉化代替等價轉化從而出現錯誤。

【關鍵詞】等價;非等價;轉化

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）28-0040-02

美國著名教育家波利亞說過，掌握數學就是要善于解題[1]。解決數學問題，不能只是簡單地套公式，更應該是綜合運用數學思想方法，找到問題本質，做到有的

放矢。

轉化與化歸思想作為一種基本的數學思維方式，已在數學學習中得到了普遍應用，其精髓在于利用化繁為簡、化難為易、化未知為已知等方法，通過轉化將尚未解決的問題變為一個已為人們所熟知的、具有既定方法或程序的問題，最終使問題得到解決2]。在解決數學問題的過程中，等價轉化和非等價轉化都可以得到應用，但是用非等價轉化一定要注意檢查環節，否則很容易出錯，下面就結合具體例題來分析以下這種現象。

1? ?向量夾角與數量積的對應關系不恰當

例1 已知，，且與的夾角為銳角，求實數的取值范圍。

錯解：由與夾角為銳角得，即。

正解：當時，，即，

所以，實數的取值范圍是且。

分析：當與的夾角為銳角時，，但當時，與的夾角可能為銳角也可能為，故與的夾角為銳角的充要條件應為且與不共線。

2? ?函數取極值的等價條件不準確

例2 已知函數在處取得極值10，求、的值。

錯解：

依據題意得，即，解得或。

正解：當，時，，故在上單調遞增，不可能在處取得極值，所以，不符合題意，應舍去。

當，時，，在附近的左側，右側，故在處取得極小值10，符合題意。

綜上，，。

分析：由于函數在一點的導數值為0是函數在該點取得極值的必要條件，而非充分條件，因此，學生在解答本題時很容易漏掉對得出的兩組解進行檢驗的過程，而導致錯誤。

3? ?不等式求最值問題中，忽略等號成立條件

例3 已知，，且，求的最小值。

錯解：因為，即，

又，

所以的最小值為16。

正解：，

當且僅當，即時，等號成立。

所以的最小值為18。

分析：與的最小值為16并不等價，不等式只是給出了一個下界，并不能說明其是最小值。錯解中兩次使用基本不等式，但是等號成立的條件不同，從而中的等號是取不到的，故16不是它的最小值。

4? ?特殊符號處理不當

例4 對于定義域為的函數，存在區間，使在上的值域為，求實數的取值范圍。

錯解：由于為定義域上的增函數，故，即，故、為關于的方程的兩個不相等的實數根。

移項，得;兩邊平方，得，即關于的方程有兩個不等實根。

令，

有，解得。

正解：移項平方，得，即關于的方程有兩個不等實數根。

令，則當時，有，解得;當時，有，無解。綜上，。

分析：錯解的主要原因是原等式中的根式需要有意義，這就限制了自變量的范圍，而進行平方運算之后，沒有根式了，由此需要準確寫出自變量的范圍，由可知，和都要成立，單寫就可能導致范圍變大，出現錯誤。

5? ?消參過程中，忽略參數對變量的限制

例5 將參數方程（是參數）化為普通方程。

錯解：（1）式平方得，（2）式平方得，從而，，所以，普通方程為。

正解：由得。

所以，普通方程為。

正如日本著名數學教育家米山國藏所說，成功的數學教育，應當使數學的精神、思想方法深深刻在學生的腦海中，長久地活躍于他們日常的業務中，雖然那時，數學知識可能被淡忘了[3]。在教學中，教師應該注重培養學生的轉化與化歸思想，并讓學生在解決數學問題時盡可能地用等價轉化，如果非等價轉化不可避免，也要注意對結果進行檢查，以防錯誤答案產生。

【參考文獻】

[1]甘志國.不可忽視的非等價轉化解題[J].高中數學教與學，2016（5）.

[2]陳建啟，李曉艷.轉化與化歸思想的妙用[J].中學數學，2019（9）.

[3]項寶琴，蔡文龍.剖析錯誤解答 用好轉化思想[J].數學教學通訊，2003（11）.