中學探索型數(shù)學問題解決策略初探

王紹坤

【摘 要】探索型問題常涉及多方面的數(shù)學知識和數(shù)學思想方法，能很好地考查學生的創(chuàng)新能力、應變能力以及數(shù)學核心素養(yǎng)，所以這類問題成了高考和中考的熱點命題源。本文結(jié)合實例就此類問題的解法進行歸納總結(jié)，并撰寫成文，以期供同仁參考。

【關鍵詞】探索型問題;核心素養(yǎng);條件;結(jié)論

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）28-0151-03

如果把一個數(shù)學問題看作是由條件、結(jié)論、解題依據(jù)和解題方法四要素組成的一個系統(tǒng)，那么可以把這四要素中的兩個是未知問題稱為探索型問題。探索型問題一般分為是否存在型問題、條件探索型問題、結(jié)論探索型問題、規(guī)律探索型問題[1]。

1? ?是否存在型問題

是否存在型問題的解法一般是先假設問題結(jié)論存在，通過問題的條件，結(jié)合數(shù)學定義、定理等知識導出矛盾，或者從部分結(jié)論出發(fā)，導出其存在的必要條件，再驗證是否充分。

1.1? 假設存在，驗證推理

圖1

例1 如圖1，在平面直角坐標系中放置一個直角三角板，其頂點為（0，1）、（2，0）、（0，0），將此三角板繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到。①某一拋物線經(jīng)過點、、，求該拋物線的解析式;②是否存在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，使四邊形的面積是面積的4倍？若存在，請求出的坐標;若不存在，請說明理由。

解：問題①：滿足條件的拋物線的解析式為，解略。

問題2：假設存在點（，），>0，>0，使四邊形的面積是面積4倍。

圖2

∵點在拋物線上，

如圖2，連接、、，

∵四邊形的面積是面積的倍，則，

即，解得，

此時，即。

∴存在點（1，2），使四邊形的面積是面積的4倍。

評析：本題的第②問是一個肯定性的存在型問題，解決這類問題可以先假設滿足條件的“對象”存在，承認結(jié)論，即變條件為結(jié)論，并推理論證。若推論無矛盾，則結(jié)論確定存在;若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。

1.2? 假設存在，推出矛盾

例2 已知函數(shù)求證：方程沒有負的實數(shù)根。

解法一：假設存在滿足，則即。

∵

∴，即。

與相矛盾，因此假設錯誤。

∴方程沒有負的實數(shù)根。

解法二：假設存在滿足。

（1）當時，。所以，與矛盾;

（2）當時，。所以，與矛盾。

因此假設錯誤。所以方程沒有負的實

數(shù)根。

評析：本題使用了反證法解題思想，在假設存在的基礎上推出與問題條件相矛盾的結(jié)論，這是解決否定型存在問題的重要方法之一。

2? ?條件探索型問題

條件探索型問題的解決方法是由結(jié)論到條件的逆推探索。它的思維特點是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。其推理實際上是尋求問題成立的充分條件。

2.1? 執(zhí)果索因，分析探求

例3 已知，證明：。

證明：要證，只需要證。

∵，

故只需要證，即要證，只需證，只需

要證，即，而此不等式顯然成立，故原不等式成立。

評析：通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利解決的關鍵。

2.2? 等價轉(zhuǎn)化，尋求條件

例4 設兩點在拋物線上，是的垂直平分線。當且僅當取何值時，直線經(jīng)過拋物線的焦點？證明你的結(jié)論。

解：兩點到拋物線的準線的距離相等。

拋物線的準線是軸的平行線，依題意不同時為0。

∴，

∴上述條件等價于時經(jīng)過拋物線的焦點。即當且僅當時，經(jīng)過拋物線的焦點。

評析：本題是用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法解決條件探索性問題，對問題做等價轉(zhuǎn)化是解探索性數(shù)學問題的常用方法。

3? ?結(jié)論探索型問題

結(jié)論探索型問題解決的過程一般是從命題條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則等，通過演繹推理，逐步接近要探索的結(jié)論，直到完成命題結(jié)論的

探索[2]。

3.1? 合情推理，直接探求

例5 甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問某次數(shù)學模擬考試的成績。老師說：“你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績。”看后甲對大家說：“我還是不知道我的成績?！备鶕?jù)上述信息，以下四種說法正確的有____。（填序號）

（1）乙可以知道四人的成績。

（2）丁可以知道四人的成績。

（3）乙、丁可以知道對方的成績。

（4）乙、丁可以知道自己的成績。

解：因為甲不知道自己的成績，所以乙、丙的成績?yōu)橐蝗藘?yōu)秀一人良好，進而甲、丁兩人一人優(yōu)秀一人良好。乙看到丙的成績則知道自己的成績，丁看到了甲的成績則知道自己的成績，即乙、丁可以知道自己的成績。故只有說法（4）正確。

評析：合情推理主要包括歸納推理和類比推理。數(shù)學研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向。合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確。而演繹推理得到的結(jié)論一定正確（在前提和推理形式都正確的前提下）。

3.2? 巧構(gòu)圖形，直觀探求

例6 正數(shù)滿足條件，求證：。

圖3

解：將正數(shù)同線段類比，從線段之積聯(lián)想到圖形的面積，可構(gòu)造圖形，作邊長為的正三角形，在其三邊上順次截兩段，并依次連結(jié)各截（如圖3），顯然，各邊小三角形的面積總和小于，即，

。

評析：通過上述例題的解法可以發(fā)現(xiàn)，對一些并不涉及圖形的問題，如能適當構(gòu)造出相應圖形，則解題會變得直觀、清晰。

綜上所述，通過對以上中學數(shù)學探索型問題的解決方法可以得到，探索型問題，通?？疾閷W生的數(shù)形結(jié)合、分類與整合、特殊與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想及數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)[3]。在數(shù)學教學中，注重探索型問題教學研究，有利于激發(fā)學生的數(shù)學學習欲望，挖掘?qū)W生的創(chuàng)造潛能，提高學生的思維品質(zhì)。因此，數(shù)學教師在平時的教學中應重視探索型數(shù)學問題的研究和教學。

【參考文獻】

[1]周沛耕.怎樣學好高中數(shù)學[M].北京：科學出版社，1996.

[2]羅增儒.“以錯糾錯”的案例分析[J].中學數(shù)學教學參考，

2001（9）.

[3]李道洲等.初中數(shù)學探索性問題[M].上海：華東師范大學出版社，1999.